高频专练11 解直角三角形及其应用（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练11解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 ●考点一解直角三角形及其应用●一 ◆题型1解直角三角形的相关计算 1.B 【详解】解：：B=4C,∠4=12o,得∠C-1804=30r. 2 :ED⊥AC, .∠EDC=90°， RtADEC中，DC= DE an30°-6， :点D为AC中点， 故AC=12 2.B 【详解】解：在%OHB中，sna= OB· OB=AB、V2 sina sina 在RtAOBC中，OB2+BC2=OC2, ..OC2=OB2+BC2= +(2}= 2 +2 sina sin2a 3.V2+1 【详解】解：如图，作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=45°，再延长CB到点D,使BD=BA,连接AD, D B 则∠D=∠BAD, 又∠ABC=∠BAD+∠D, 1/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2D-号4c=225, 设AC=t,则BC=t,AB=V2t, :BD=t, :.CD=BC+BD=(2+1), 在R△HDc,m25=mtD-2-5+业-万l AC ,10√520W5 4.4)3；3 (2)10W3:10 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，b=10,∠B=60°， b1010203 a=,b=10105,c= -sinB sin60°√33： tanB tan60°3 2 (2)解：在Rt△ABC中，c=20,∠A=60° a=m4=20x5-105,b=6eos4=20x10 2 ◆题型2构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 81W3 4 【详解】解：连接BD、AE,分别交MN于G、K,过点C作CH⊥BD,垂足为H; A M D ,边长为6的正六边形ABCDEF, ÷AB=BC=CD=6,∠ABC=∠BCD=∠BAF-1s0x6-2)=120, 6 .∠CBD=∠CDB=30°，∠DBA=∠CBA-∠CBD=120°-30°=90°， 同理：∠BAE=90°， :AB∥MN, 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BGK=∠AKG=90°， ∴四边形ABGK是矩形， ∴.AB=GK=6, .BC=CD,CH⊥BD, BID-BD-BCcos /CRD-6x ∴.BD=6V5 设BG=x则在RtabNG中，NG=BGm∠NBG=xm30°-5 x, 同理可求KM= 3t, ∴.MW=NG+KG+KM=6+ 2v 3*:GD=BD-BG=63-x ,AB∥DE,MN∥AB, .MN∥DE ∴，点P到MW的距离小于等于DG, 当P在DE上时，点P到MN的距离最大，最大值为GD=6V3-x,此时△PMN的面积最大， 5.35281V5 △PMN 的面积最大值6+号565-)=3) 4； 当x= )3时，APM心的面积最大值为 ,81W3 4 144 .19 6. 25或525 【详解】解：，∠B=90°，AB=8,BC=6, ∴.AC=VAB2+BC2=10, 由旋转性质可知：DG=CG=6,∠F=∠A,∠AGF=∠FGH=90°， .'.AG=FG=4. tanF=tan4=6-3 84 :GN=4G-amA=4×3-3, 4 3 GH=FG·tanF=4×2=3, 4 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH=AG+GH=7, .HM=AH.sin A=7x 6=21 828 0=5,AM=AH·cosA=7x 105, 1 ,两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为S△AMm-S△NG= 八>王、八 之两个三角形承叠部分图中阴部分》的面积为，×兮。，×4x314 25 144 故答案为25· 7.(25-5v5) 【详解】解：如图，延长BC,ED相交于点M,过点E作EV⊥AB于点N, A N E D B 则四边形BMEN是矩形， .EN BM,BN EM, ,坡度i=DM:CM=1:V3, :设DM=x米，则CM=V5x米， 在RtACDM中，CD=VCM2+DM2=2x=10, 解得x=5, DM=5米，CM=5V3米， :BC=30米 :.EN=BM=BC+CM=(30+5W5)米， 由题意得：∠AEN=45°， 在RIAAEN中，AN=EN,tan∠AEN=(30+5V)米， AB=60米， 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EM=BN=AB-AN=(30-5V5)米， .DE=EM-DM=(25-5V5)米， 故答案为：(25-5V5). 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造 直角三角形是解题关键。 8.(1)坡顶A到水平面BC的距离约为210米； (2)斜坡CD的长度约为240米 【详解】(1)解：(1)过点A作AE⊥BC于E, B E 在R△ABE中，∠B=42°，AB=300米， 则AE=AB·sinB≈300×0.70=210（米）， 答：坡顶A到水平面BC的距离约为210米： (2)解：过点D作DF⊥BC于E,DG⊥AE于G, Gh- D B E F 则四边形EFDG为矩形， ..GE=DF, 在Rt△AGD中，∠ADG=60°，AD=150米， 则4G=4Dsim∠ADG=150x9130c米). .DF=GE=AE-AG=80(米)， CD的坡比i=1:2W2, DF:FC=1:22, DF:CD=1:3, 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=3DF=240(米)， 答：斜坡CD的长度约为240米. ◆题型3解非直角三角形 11 9.5 【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F,连接AD A B 由翻折可知，AE=CE,DE⊥AC, AB=AC, ∴.∠B=∠C,BF=CF. 设AF=x, 在RaBr中，an∠B=C=是 BF2· .BF=CF=2x, .AB=AC=AF2+BF2=5x, 在RIACDE中，tan∠C=tan∠B=DE-是 CE2 CE=1A 2, ·DE=5x 4, CD=DE+CE= 4x, 则BD=BC-CD=2BF-CD= 4, 11 11 CD5 5· 4 11 故答案为：5· 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.3-V3/-V3+3 【详解】解：过点D作DG⊥AC,如图： D E G :LDEF=90°，EC平分∠DEF, .∠DEG=45°， .'.DG=EG, ,在矩形ABCD中，AB=2,BC=2√. ∴.CD=2,AD=2N3,∠ADC=∠ABC=90°， ∴.AC=VAD2+CD2=4, .sin∠ACD=D-V5 AC2,Cos∠ACD=CD1 EG-GD=CDsin LACD=2x 2 GC=CDcos.∠ACD=2×5=1. 2 .AE=AC-EG-GC=4-V3-1=3-V3, 故答案为：3-V5 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作DG⊥AC构造△DEG是等腰直角三 角形，再解三角形. 11.42m 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E B 517-- D C 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意可知，EC=AD=-10m,∠BAE=45°，∠EAC=17°. 在RaEC中，tan∠EAC=EC E· .AE=- EC 10 tan∠EAC tan17°· 在Rt△ABB中，an∠BAE=BE AE BE=AE,tan∠BAE=I0 tan17 ×tan45o BC=BE+CE. ·.BC=10 tanl7元xtan45+10 10 ×1+10≈42 0.31 答：该建筑BC的高度约为42m. 【点睛】本题考查了解斜三角形，通过作高化斜三角形为直角三角形，并准确求解是解题的关键 12.(1)200海里： (2)无危险，理由： 作DF⊥AC于F, 设AF=y,则DF=V3y, '∠DAC=60°，∠ADC=75°，· .∴.∠DCA=45°. ..CF-DF-3y, 则y+V3y=200 解得，y=100(V3-1), ∴.DF=V5x100(V5-1)=100(3-5), .100(3-√3)>100， ∴，巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中无触暗礁危险. 【详解】(1)作CE LAB于E, 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N B D 59 E 60° M 设AE=x海里， 在RIMEC中，CE=AExtan.∠EAC=V3x, 在Rt△BEC中，∠EBC=45°， :.BE=EC=3x, 则x+V3x=100(3+1), 解得，x=100, ∠ACE=30, .AC=2x=200, 答：A与C之间的距离为200海里； (2)略 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键. ◆题型4仰角俯角问题 13.A 【详解】解：由题意可知，∠ARL=B,AL⊥RL,AR=a千米， .'AL=AR.sin ZARL asin 0 14.D 【详解】解：如图，过A作水平线OC的垂线，垂足为C,过B作BD⊥CO于D,过A作AE⊥BD于E, 9/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B〉 ∴.∠AED=∠EDC=∠ACD=90°， ∴四边形AEDC为矩形， .AC=DE. .∠A0C=a,A0=24, .'AC A0.sina =24sina, .∠BOD=B,B0=24,∠BD0=90°， BD=BO.sin B=24sin B. .BE BD-DE BD-AC=24sin B-24sin a 15.145.5m 【详解】解：设AG=m,FG=m,由题意知CD=200m, .AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, .BGII DF II CE, 又，CE=DF=BG. 即CEIIDF且CE=DF, ∴四边形CEFD为平行四边形， .CE⊥BC,即∠C=90°， ∴四边形CEFD为矩形， 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， .EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， :tan∠AEG=AG、x EG EF+FG 200+y an∠AFG=4C=0.72. FG y x tan∠4EG=200+y=y≈0.36=1 ·tan∠AFGx200+y0.722' y 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得y≈200 .x≈0.72y=144 .AB=AG+BG=x+1.5=145.5m. 16.(1)23米 (2)4.3米 【详解】(1)解：过点F作FG⊥EC于G. B 45 609 30P G E 依题意知FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°. 四边形DEGF是矩形， .'.FG=DE, 在Rt△CDE中， DE=CE,tan∠DCE=6×tan30°-25（米）， ∴点F到地面的距离为2V3米： (2)解：斜坡CF的坡度i=1:l5=FG:CG, ∴.Rt△CFG中，CG=1.5FG=2V3×1.5=3W3(米)， :FD=EG=(33+6)米 ·∠AFD=45°，∠ADF=90°， .∠AFD=∠FAD=45°， .AD=FD=33+6. 在Rt△BCE中，BE=CE.tan∠BCE=6×tan60°=63（米）， .AB=AD+DE-BE=3V3+6+2N5-6W5=6-5≈4.3（米）. 答：宜传牌的高度约为4.3米。 ◆题型5方位角问题 17.A 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M, M □ A 北 B 西 之东 ∴.∠CMB=∠BMA=90°.BM=200m :当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的 西北方向上， ∠ABM=60°，∠CBM=45°， ∴.CM=BM.tan45°=200m,AM=BM.tan60°=200W3m, .CA=CM+AM=200+200N3(m)」 这列动车的平均车速为10 200+2005-201+5)(m/s). 18. 28.2 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 北 D-- B 229 A 设CD=x海里， 在RtABCD中，灯塔C在B港的东北方向， .∠CBD=45 .BD=CD=x海里，BC=Ms。=V2x海甲 sin45° 在RtAACD中，∠A=22°，AD=AB+BD=(30+x)海里. tan A=CD AD' ∴.tan22°= 30+x 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即0.40≈ x 30+x 解得x≈20」 .BC=V2x≈1.41×20=28.2（海里）. 故灯塔C与B港之间的距离约为28.2海里。 19.该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里 【详解】解：由题意，得AB=20×3=60海里，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°-45°=45°， 过点C作CD⊥LAB于点D, 北 45 60° B·.∠ADC=∠BDC=90° 在Rt4CD中，AD=CD =3CD tan30° 在RtACDB中，∠ABC=45°， .BD=CD AB=60海里， ..3CD+CD=60, 解得CD≈22海里. 答：该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里 20.(1)∠BAC=37°，∠C=30° (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 【详解】(1)解：如下图所示， ∠BAD=23°，∠DAC=60° ∴.∠BAC=60°-23°=37°，∠CAE=30°， BC‖AE. .∠C=∠CAE=30°： 13/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北D B A E东 (2)解：如下图所示，过点B作BF⊥AC, 北D B F A 龙东 在Rt△ABF中，∠BAF=37°，∠AFB=90°，AB=20海里， .BF=ABsin37°=0.6×20=12海里，AF=AB cos37°=20×0.8=16海里， 在RtABCF中，∠C=30°，∠CBF=60°， ian∠CBF=C F’BC=2BF=24海里， :.CF=BF tan60°=12V3海里， AC=AF+FC=16+12W3≈37海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.A2.C3.C 二、填空题 6W5 4.5 5.3 三、解答题 6 【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G,如图所示： 14/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 30°459 45C C E G 由题意得：CE=80m,DF=10m,∠AEF=∠ADE=45°，∠ACE=30° ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴.AG=EG=DG, 设AG=EG=DG=X, CG=_AG tan30° =3x x+80=V3x 解得：x=40W3+40 :.4G=EG=DG=(405+40)m .EF=ED-DF=2(405+40-10=(805+70)m 答：隧道F的长度805+0）米 7. 【详解】解：连接CD,延长CD交MN于点E, AC=BD=a,AB=b, 由题意知， NE=AC=BD=a,CD=AB=b 设ME=x, DE=ME 则 tan B tan p CE-ME tana tana, .CE-DE CD, ..-x__x =b tana tan B btana.tanB X= 解得tanB-tana， MN=ME+NE=btana.tan B +a tan B-tana 8. 【详解】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, D 北 C B 一东 Ai .∠CBD=75°-15°=60°， 设BD=x,在RtACBD中，CD=BD·tan∠CBD=V3x, 在Rt△ACD中，∠CAD=60°-15°=45°=∠ACD, .AD=CD=3x, 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .V5x-x=73. 解得x≈100， .AC=V2AD=V6x≈245 16 .5小时20分钟3小时， 245 ≈46 16 .平均速度为3 (海里/小时) 答：快艇前往C处的平均速度约为46海里/小时. 9. 【详解】解：(1)过A点作AD⊥BC于D点，过C作CE⊥AB于E点，如图1， A Eh D a 图1 在Rt△ABD中，： sinB=AD AB, .AD=c.sinB, 在RtAACD中， sin∠ACD=AD AC, ∴.AD=bsin∠ACD. ∴，c.sinB=bsin∠ACD b c .sinB sin∠ACD 在RtABCE中， SinB=CE BC, ∴.CE=a.sinB, 在RtAACE中， .sin∠CAE=C C, ∴CE=b.sin∠CAE, .a.sinB=bsin∠CAE, b a .sinB sin∠CAE a b a b ∴.sin∠CAE sin.∠Bsin∠ACD即sinA sin B sinC; (2)如图3， 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 W A 350 25 图3 根据题意，∠BAW=90°-25°=65°，∠BNA=90°-35°=55°， .∠B=180°-65°-55°=60° AN AB 由(1)的结论得sinB sin∠BNA AN207 即sin60°sin55o 207x AN= 2≈218.36(m) 0.8 在RtAAMN中， .tan∠MaN=Mw AN :.MW=218.36×tan30°≈126.2(m) 答：和合塔的高度MN为l26.2m. 10. 【详解】(1)解：根据题意，可知∠ODE=90°，ED=100m,∠OED=37°， tan∠0ED=0D-0D=0.75 ED100 ∴.OD=100×0.75=75米. 答：塔架OD的长为75米， (2)解：如图，过点A作AH⊥ED于点H,过点O作OG⊥AH于点G, A B G-- C E H D 设风叶OA的长度为2xm, ∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， 四边形ODHG为矩形， .∠GOD=90°，OD=GH=75m, .∠A0C=120°. .∠A0G=30°， G-0=G-HD-0Axcos0x :.AH=AG+GH=(x+75)m EH=ED-HD=(100-3x)m 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AED=60° tan∠AED=AH -5 EH x+75 =5 100-V3x .x+75≈100W3-3x, 解得x≈24.5， .0A=2x=49米. 答：风叶OA的长为49米. 18/18 高频专练11解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形及其应用 题型1 解直角三角形的相关计算（重点） 题型2构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（高频） 题型3解非直角三角形（难） 题型4仰角俯角问题 题型5方位角问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形及其应用 ◆题型1 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 2．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 4．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． ◆题型2构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5．如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 6．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为______________． 7．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 8．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） ◆题型3解非直角三角形 9．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 10．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分_______________．    11．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数），参考数据：，，． 12．如图在南北方向的海岸线上，有两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上． （1）求的长； （2）已知距离观测点处100海里范围内有暗礁，若巡逻船沿直线去营救船．在去营救的途中有无触礁的危险? ◆题型4仰角俯角问题 13．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 14．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 15．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 16．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． ◆题型5方位角问题 17．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 18．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 19．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 20．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，点D在上，且，连接，过点A作．垂足为点F，点E为中点，连接EF，若，则的长为_____． 5．如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 三、解答题 6．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 7．综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 8．某天10∶00海警于A处测得北偏东方向距离为73海里的B处有一艘不明船只正在沿北偏东方向航行，海警立即派出一艘快艇沿北偏东方向航行，并于当天15∶20在C处成功拦截该不明船只．求快艇前往C处的平均速度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 9．课本再现 （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 迁移应用 （2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学实践小组想测量和合塔的高度，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为，然后从点A处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东方向上．根据以上信息，求和合塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 10．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频专练11解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形及其应用 题型1 解直角三角形的相关计算（重点） 题型2构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（高频） 题型3解非直角三角形（难） 题型4仰角俯角问题 题型5方位角问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形及其应用 ◆题型1 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 在中， ∵， ∴． 3．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 4．已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． (1)若，，求a，c的长； (2)若，，求a，b的长． 【答案】(1)； (2)； 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ，； （2）解：在中，，， ，． ◆题型2构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5．如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 【答案】 【分析】设，由图可得当在上时，点到的距离最大，即边的高的最大值为，再利用，从而得出点在上时，的面积关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：连接、，分别交于、，过点作，垂足为； ∵边长为6的正六边形， ∴，， ∴，， 同理：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则在中，， 同理可求， ∴，， ∵，， ∴， ∴点到的距离小于等于， 当在上时，点到的距离最大，最大值为，此时的面积最大， 的面积最大值， 当时，的面积最大值为． 6．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 7．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 8．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． ◆题型3解非直角三角形 9．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分_______________．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 11．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数），参考数据：，，． 【答案】42m 【分析】如图，过点A作，垂足为E．利用，求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为E． 由题意可知，，，． 在中，， ∴． 在中，， ． ∵， ∴ ． 答：该建筑的高度约为． 【点睛】本题考查了解斜三角形，通过作高化斜三角形为直角三角形，并准确求解是解题的关键． 12．如图在南北方向的海岸线上，有两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上． （1）求的长； （2）已知距离观测点处100海里范围内有暗礁，若巡逻船沿直线去营救船．在去营救的途中有无触礁的危险? 【答案】（1）200海里； （2）无危险，理由： 作DF⊥AC于F， 设AF＝y，则DF＝y， ∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°， ∴∠DCA＝45°， ∴CF＝DF＝y， 则y＋y＝200， 解得，y＝100（−1）， ∴DF＝×100（−1）=100（3−）， ∵100（3−）＞100， ∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险． 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，根据正切的概念求出CE，根据题意列方程，解方程即可； （2）作DF⊥AC于F，设AF＝y，用y表示出DF，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）作CE⊥AB于E， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE×tan∠EAC＝x， 在Rt△BEC中，∠EBC＝45°， ∴BE＝EC＝x， 则x＋x＝， 解得，x＝100， ∵∠ACE＝30°， ∴AC＝2x＝200， 答：A与C之间的距离为200海里； （2） 略 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． ◆题型4仰角俯角问题 13．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 14．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 15．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． ◆题型5方位角问题 17．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 18．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 19．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 20．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 2．如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 3．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 二、填空题 4．如图，在中，，点D在上，且，连接，过点A作．垂足为点F，点E为中点，连接EF，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先由锐角三角函数分别求出的长及的长，再利用勾股定理求出的长，证，求出的长，再证，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，过点作，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时有最小值，即的长度，然后通过解直角三角形求得的长度，从而利用面积法求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， 过点作，交于点，过点作于点， ，所以， 这时有最小值，即的长度， ，，， ， ， ，， ， 即， ， 的最小值是3． 三、解答题 6．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 【答案】隧道EF的长度米． 【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解． 【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示： 由题意得：， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：隧道EF的长度米． 【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 7．综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度． 【详解】解：连接，延长交于点， ，， 由题意知，， 设， 则，， ， ， 解得， ． 8．某天10∶00海警于A处测得北偏东方向距离为73海里的B处有一艘不明船只正在沿北偏东方向航行，海警立即派出一艘快艇沿北偏东方向航行，并于当天15∶20在C处成功拦截该不明船只．求快艇前往C处的平均速度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】46海里/小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在中，，在中，，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：过点C作交的延长线于点D， ∴， 设，在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵5小时20分钟小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 答：快艇前往C处的平均速度约为46海里/小时． 9．课本再现 （1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高） 迁移应用 （2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学实践小组想测量和合塔的高度，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为，然后从点A处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东方向上．根据以上信息，求和合塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，仰角俯角． （1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1，根据正弦的定义得到，，则，所以，同理可得，所以； （2）如图3，根据题意，，，则，利用（1）的结论得，则可计算出，然后在中利用正切的定义计算出的长． 【详解】解：（1）过A点作于D点，过C作于E点，如图1， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴即； （2）如图3， 根据题意，，， ∴， 由（1）的结论得， 即， ∴， 在中，∵， ∴． 答：和合塔的高度为． 10．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $