专题03 解直角三角形的应用（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形实际应用，以高频、重点、难点题型为框架，通过生活场景问题构建从单一概念到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |仰角俯角问题|5道|高频实际测量（气球、建筑物高度）|基于直角三角形边角关系，构造含仰角/俯角的直角三角形，运用三角函数建立方程| |方位角问题|5道|高频方向定位（海上、小区位置）|结合方向角定义，转化为三角形内角，利用三角函数或正弦定理求解距离| |坡比坡角问题|5道|重点坡度计算（斜坡、台阶）|通过坡比（垂直高度与水平宽度比）构建直角三角形，关联坡角三角函数值| |解直角三角形综合|5道+18道综合题|难点跨场景应用（摩天轮、光的反射）|融合多个直角三角形，结合几何图形性质与函数思想，体现模型观念与推理能力|

专题03解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 题型1 仰角俯角问题（高频） 题型2 方位角问题（高频） 题型3 坡比坡角问题（重） 题型4 解直角三角形综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 仰角俯角问题 1．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 2．如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为，，则建筑物的高是（     ） A． B． C． D． 3．广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图，为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台的高为，平台距离广告牌的水平距离为，小林用测角仪在点处测得广告牌底端的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 5．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． ◆题型2 方位角问题 6．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 7．如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请用尺规作图找出支管道连接点N（不写作法，保留作图痕迹），使到M小区铺设的管道最短，并求出的长．（参考数据：，，） 8．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 9．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 10．文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） (2)打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） ◆题型3 坡比坡角问题 11．如图，在斜坡的底部处测得点的仰角为（三点共线），从处出发沿斜坡前进米后到达处，此时测得点的仰角为，如果斜坡的坡度，那么的长为______米．（用含的代数式表示） 12．如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为求信号发射塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 13．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 14．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，） 15．隰县小西天，享有中国悬塑艺术之“绝唱”的美誉，寺庙中的大雄宝殿内有1900余尊明代悬塑，佛像最小仅拇指大小，最大达3米，按照33重天宫楼阁布局，殿内的立式木雕佛像为国家级文物．某综合与实践小组开展测量大雄宝殿高度的活动，记录如下． 活动主题 测量大雄宝殿的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，在大雄宝殿的水平地面上点，用测角仪测得，台阶的坡度，在台阶的顶端点处测得宝殿的顶端的仰角为，点，，在一条直线上， 测量仪器 测角仪，卷尺 备注 ，，，结果保留整数 根据以上信息，求大雄宝殿的高度． ◆题型4 解直角三角形综合 16．如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色．如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)经过 分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由； (3)（i）画出点P高度关于运动时间的大致图象，并说明理由； （ii）摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m”的值或“求m的思路”．（可用含t的式子表示） 17．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 18．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 19．【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 20．综合与实践 【项目】为迎接市中学生运动会，某校计划将一片旧操场角落改造成一个符合国际田联（世界田径）标准的铅球投掷场地．作为校“未来工程师”项目组成员，你需要运用所学知识参与设计． 【资料】如图，铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆为铅球投掷圈，扇形部分为铅球落地区，以下是国际田联对铅球场地的关键规定： （1）投掷圈为直径的圆形区域． （2）落地区是以投掷圈圆心为顶点、夹角为、半径为的扇形区域． （3）为保证安全，在场地四周范围内为安全区，均不得有障碍物． 【问题】根据田联标准计算 (1)如图，，平分，当时，求的长．（参考数据：，，） (2)铅球场地占地面积约是多少平方米？（结果保留两位小数，取3.14） (3)规划设计 学校提供的空地呈长方形，长35米，宽20米，如图，请结合空地尺寸和落地区角度，从安全角度判断该空间是否可以建设一个标准铅球场地？如可以，画出简单场地示意图；如不可以，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 2．万花楼是一座八角塔式的古建筑，数学兴趣小组在楼前地面点处，测得到楼顶的距离为千米，仰角为，则观测点到万花楼的水平距离为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 4．“五一”期间，小敏和妈妈到某景区游玩，小敏想利用所学的数学知识测量观景塔高度．如图，小敏在点A处测得塔顶C的仰角为，向塔走到达点B处，测得塔顶C仰角为．已知小敏的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），则观景塔的高度约为（结果精确到，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 5．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 7．五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．“明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（     ）米．（参考数据：，，） A．181.0 B．230.4 C．102.4 D．153.6 二、填空题 9．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 10．在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 11．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为_____．（结果精确到0.1，，） 12．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 三、解答题 13．如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物的高度，他们在处仰望建筑物顶端，测得仰角为，再往建筑物的方向前进到达处，测得仰角为，求建筑物的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：，，，）． 14．如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 15．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 16．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 17．如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 18．渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03解直角三角形的应用 常考题型·精准突破 题型1 仰角俯角问题（高频） 题型2 方位角问题（高频） 题型3 坡比坡角问题（重） 题型4 解直角三角形综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 仰角俯角问题 1．如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 2．如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为，，则建筑物的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，，，由正切的定义得出，最后由计算即可． 【详解】解：如下，过点作于点， 则，，， ∴． ∴． 3．广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图，为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台的高为，平台距离广告牌的水平距离为，小林用测角仪在点处测得广告牌底端的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】广告牌的高度约为 【分析】先作垂线构造矩形得到水平距离、竖直段，再分别在两个直角三角形中利用正切求出与，算出后用减去得到广告牌高度． 【详解】解：如解图，过点作于点． 可得四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴ ∴． 在中，，， ∴． ∴． 答：广告牌的高度约为 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 5．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． ◆题型2 方位角问题 6．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 7．如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请用尺规作图找出支管道连接点N（不写作法，保留作图痕迹），使到M小区铺设的管道最短，并求出的长．（参考数据：，，） 【答案】支管道连接点N如图所示， ，的长为2880米． 【分析】利用尺规作图作出即可，设，求得，，解直角三角形求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：支管道连接点N如图所示， 设， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 答：的长为2880米． 8．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】海里/时 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 9．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米； （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 10．文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） (2)打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得，设，先证明，同理根据等角对等边可证明：，再证明四边形、四边形、四边形也是矩形，利用矩形的性质获得相等的线段，再利用直角三角形的知识在直角三角形中表示出、，进而有，根据，列方程，解方程即可求解； （2）设二者在V点相遇，过点V作于点R，利用表示出、，根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得，在中，，据此列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得， 设， 根据方向角的描述可知：，，，， ∵，点在打卡点的正东方，， ∴，， ∴根据方向角描述：， ∵， ∴， ∴，即， 同理根据等角对等边可证明：， ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证明：四边形 、四边形也是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∵ ，， ∴ ， 解得，即， ∵，， ∴在中， （米）； （2）根据（1）可得：， ∴在中，， 如图，设二者在V点相遇，过点V作于点R， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵小郭与小周的速度之比为， ∴根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得， 即 ， ∵在中，， ∴， 解得： （米）（ ，不符合题意，舍去）， 答：当两人相遇时，小郭跑了米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理清题中各个角度的关系，注意解答时不能先入为主的直接在给出的图形上作辅助线解答． ◆题型3 坡比坡角问题 11．如图，在斜坡的底部处测得点的仰角为（三点共线），从处出发沿斜坡前进米后到达处，此时测得点的仰角为，如果斜坡的坡度，那么的长为______米．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得，，再根据坡度求出，利用三角函数表示出和，设，根据得出，在中利用构建关于的方程求出的长，最后根据共线，在中求出，利用求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，， ∵斜坡坡度， ， ， 在中，， ，， ， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ，， 在 中，， ， 即， 解得， ∵点在斜坡上， 三点共线， ∴， 在中，， ， ． 12．如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为求信号发射塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据已知可得，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理可得米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 答：信号发射塔的高度约为米． 13．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】该汽车超速， 理由如下：过作于点， 于点，则矩形 在中， ． 在中， 设，， 则． ∵矩形中， ，，则， 在中，， ， 在中，， ∴米/秒， ∴米/秒， 则， 所以该汽车超速了． 【分析】作， ，则矩形，根据坡比求出，再设，，可得，然后根据求出，接下来根据勾股定理得，即可得出米/秒，最后比较可得答案． 【详解】略 14．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，） 【答案】(1)的长度为 (2)宣传牌的高度约为 【分析】（1）解即可； （2）过F作于G，由坡度的定义可得，则，解，得到，再解，得到，再由求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 答：长为； （2）解：过F作于G， ∴， ∴， 的坡度为 ∴在中，，                   在中，      在中，，          ∴     答：宣传牌的高度约为． 15．隰县小西天，享有中国悬塑艺术之“绝唱”的美誉，寺庙中的大雄宝殿内有1900余尊明代悬塑，佛像最小仅拇指大小，最大达3米，按照33重天宫楼阁布局，殿内的立式木雕佛像为国家级文物．某综合与实践小组开展测量大雄宝殿高度的活动，记录如下． 活动主题 测量大雄宝殿的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，在大雄宝殿的水平地面上点，用测角仪测得，台阶的坡度，在台阶的顶端点处测得宝殿的顶端的仰角为，点，，在一条直线上， 测量仪器 测角仪，卷尺 备注 ，，，结果保留整数 根据以上信息，求大雄宝殿的高度． 【答案】大雄宝殿的高度 【分析】解：由题意可得，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，，再根据台阶的坡度，得到，即可求出，．设，则，在中，由得到．在中，由，得到，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， 过点作于点，则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，台阶的坡度， ， ， ， ，． ， 设，则， 在中，，，， 则． 在中，，，， 则， ， ． 解得：， ∴， 答：大雄宝殿的高度． ◆题型4 解直角三角形综合 16．如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色．如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)经过 分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由； (3)（i）画出点P高度关于运动时间的大致图象，并说明理由； （ii）摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m”的值或“求m的思路”．（可用含t的式子表示） 【答案】(1) (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ∵摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， ∴摩天轮每分钟旋转， ∴第4分钟时，点旋转了；第8分钟时，点旋转了，如图所示： ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平行于地面水平线， ∴第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高． (3)（i）当时，； 当时，即点在轴正半轴上， ∴； 当时，点到达最高点， ∴； 当时，即点在轴负半轴上， ∴； 当时，点回到起始最低点， ∴； ∴可列出如下表格： 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： ∵当摩天轮开始转第二圈时，点会重复第一圈的过程， ∴点距离地面的高度会呈现周期性变化， ∴点P高度关于运动时间的大致图象会重复的这个图象． （ii）由（i）可得：当或时，点P距离地面的高度才有可能是米， 设地面水平线为，过点作轴，， 当时，，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当时，，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； ∴当时，， ∴． 【分析】（1）点P的起始位置在最低点处，点P首次到达最高点需要转半圈，摩天轮转一圈需要6分钟，点P首次到达最高点需要3分钟； （2）根据摩天轮的旋转速度求出第4分钟和第8分钟点在摩天轮上的位置，再由垂径定理可得平行于地面水平线，即可得出结果； （3）（i）先求出当、、、、时，对应的的值，列出表格，根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象；（ii）由（i）可得：当或时，点P距离地面的高度才有可能是米，设地面水平线为，过点作轴，，求出当或时，点P距离地面的高度是米，据此即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵点P的起始位置在最低点处， ∴点P首次到达最高点需要转半圈， ∵摩天轮转一圈需要6分钟， ∴点P首次到达最高点需要3分钟． （2）略 （3）略 17．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 18．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 19．【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 【答案】观景台的高度约为 【分析】连接并延长交于点，由题意可知四边形，四边形，四边形均为矩形，由矩形的性质可得，，求出，； 设，在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形得出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点，如图， 由题意可知四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴；； 由光的反射定律可知点处观察点的仰角； 点处观察点的仰角； 设， 在中，，； ； 在中，，； ， ； ； 解得 ． ； 答：观景台的高度约为． 20．综合与实践 【项目】为迎接市中学生运动会，某校计划将一片旧操场角落改造成一个符合国际田联（世界田径）标准的铅球投掷场地．作为校“未来工程师”项目组成员，你需要运用所学知识参与设计． 【资料】如图，铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆为铅球投掷圈，扇形部分为铅球落地区，以下是国际田联对铅球场地的关键规定： （1）投掷圈为直径的圆形区域． （2）落地区是以投掷圈圆心为顶点、夹角为、半径为的扇形区域． （3）为保证安全，在场地四周范围内为安全区，均不得有障碍物． 【问题】根据田联标准计算 (1)如图，，平分，当时，求的长．（参考数据：，，） (2)铅球场地占地面积约是多少平方米？（结果保留两位小数，取3.14） (3)规划设计 学校提供的空地呈长方形，长35米，宽20米，如图，请结合空地尺寸和落地区角度，从安全角度判断该空间是否可以建设一个标准铅球场地？如可以，画出简单场地示意图；如不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以．示意图如下： 【分析】（1）由题意易得，，然后根据三角函数进行求解即可； （2）根据扇形面积公式进行求解即可； （3）根据题意进行作图即可． 【详解】（1）解：由题意得，，平分， ． ，， ． 在中，． ， ． （2）解：铅球场地由扇形落地区和圆形投掷圈组成．扇形半径，圆心角，投掷圈直径，半径． 扇形面积：． 投掷圈面积：． 重叠部分（投掷圈内位于扇形内的部分）面积：． 场地总面积：． 答：铅球场地占地面积约是． （3）解：作法提示：空地尺寸为长、宽，需在四周留出安全区，即有效可用区域为长、宽的矩形．标准铅球场地的外接矩形尺寸约为：沿扇形对称轴方向长，垂直对称轴方向宽．由于且，可将场地对称轴沿矩形长边方向放置，并适当调整圆心位置，使整个场地完全位于有效区域内，满足安全区要求．因此，该空间可以建设一个标准铅球场地；示意图略． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，米，， ∴，即， ∴飞机A到控制点B的距离为． 2．万花楼是一座八角塔式的古建筑，数学兴趣小组在楼前地面点处，测得到楼顶的距离为千米，仰角为，则观测点到万花楼的水平距离为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：由三角函数的定义可知，， ∴千米． 3．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．“五一”期间，小敏和妈妈到某景区游玩，小敏想利用所学的数学知识测量观景塔高度．如图，小敏在点A处测得塔顶C的仰角为，向塔走到达点B处，测得塔顶C仰角为．已知小敏的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），则观景塔的高度约为（结果精确到，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，构造两个直角三角形．设，利用和中的三角函数关系表示出和，根据列方程求出的长，最后加上身高即可得出塔高． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意可知：，，，， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， ， ， ． 5．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度的定义求出垂直高度，再利用勾股定理求出斜坡长 【详解】解： ∵坡度， 即 又∵ ∴ 在中， 由勾股定理得： ． 7．五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和交于， ，， ，， ， ， ． 8．“明阳天成号”是目前全球最大的漂浮式风电平台，创造了多个世界第一！它的每个叶片长度为128米，如右图所示，从正面看，两个风机主机舱（右图点B和点C）与主基座（右图点A）构成等腰直角三角形，，，若其在工作中的某一瞬间，叶片与塔筒所在的直线重合，且，当，则塔筒的长度为（     ）米．（参考数据：，，） A．181.0 B．230.4 C．102.4 D．153.6 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由题意得，在中，根据三角函数求出，，证得，得到，在中，根据三角函数求出，即可得到． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由题意得（米）， 在中，， ∴（米），（米）， ∵， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴（米）． 二、填空题 9．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 10．在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 【答案】90 【分析】坡度，构造直角三角形，设竖直下降高度、水平距离分别用含未知数的式子表示，再利用勾股定理结合斜坡总长150米列方程求解． 【详解】解：已知斜坡坡度， 即， 设下降高度米，则水平前进距离米， 由勾股定理，斜坡斜面长， 沿斜坡行进总长150米， ， 解得：， 下降高度米． 11．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度，则支撑窗扇的杆子长为_____．（结果精确到0.1，，） 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形．在中，利用锐角三角函数求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长．最后在中，利用勾股定理求出的长，并根据要求进行近似计算． 【详解】解：如图，过点作于点，在中， ∵，，， ， 由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 12．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 【答案】 【分析】根据题意得出滑动门 的长度等于 的长度，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，进而求出的长． 【详解】解：由题意可知，当点与点重合时，与重合， ∴， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ 三、解答题 13．如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物的高度，他们在处仰望建筑物顶端，测得仰角为，再往建筑物的方向前进到达处，测得仰角为，求建筑物的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】由题意得，，，，设建筑物的高度为，可得，，根据，即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 设建筑物的高度为， 由题意得，在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴建筑物的高度为． 14．如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 15．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，结合题意可得、的长度，由有一个锐角是得的长度，从而可得到； （2）在中，利用正切公式可得的长度，接着在中，利用正切公式可得的长度，从而可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 在中，，， ， ， ， 支柱的高为； （2）解：在中，，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 顶棚M处离地面的高度的长为． 16．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1) (2)塔杆的长度是90米 (3)风叶的长为59米 【分析】（1）由题意可知答案； （2）在中，利用和，计算即可； （3）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用x表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：由题意可知：米； （2）根据题意，可知， ， 米， 塔杆的长度是90米； （3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为米， ， 四边形为矩形， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 风叶的长为59米． 17．如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【答案】(1)试管口比试管底部低的竖直高度为 (2)台面上到的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）延长交于点，根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：延长交于点，如图1， 由题意可知，，， ； （2）由题意知， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 又， ， ． 18．渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 13 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3解直角三角形的应用 内容概览 目常考题型精准突破 题型1仰角俯角问题（高频） 题型2方位角问题（高频） 题型3坡比坡角问题（重） 题型4解直角三角形综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 20tan56° 1. m tan56°-1 2.D 3.【详解】解：如解图，过点A作AF⊥DE于点F. 可得四边形 是矩形， F为 634 E302B ABEF .'AF BE =4m,EF AB=1.2m. 在R△BDE中，∠DBE=30,tm∠DBE= BE DE=BE-tan30°=4x 2≈2.31(m) .DF=DE-EF≈2.31-1.2=1.11(m) 在R1△ACr中，∠C4F=63,tam∠CAF=C F, .CF=AF.tan63≈4×1.96=7.84(m) 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=CF-DF=7.84-1.11≈6.7(m) 答：广告牌CD的高度约为6.7m 4.【详解】(1)解：如下图所示，延长CE交G0的延长线于点H,设EH=x米， 在Rt△FHE中，∠HFE=60°， .∠HEF=30° .HF=xtan30°= 3, 在Rt△OHE中，∠HOE=30°， ..OE=2x, 在Rt△OHE中，∠HOE=30°， c0s30°=0H 3043 3, 3 OE 2x 2 x=15√3， ∴.0E=2x=30W3≈51.9m, 答：OE的长为51.9m: G O FH :70y30°760° D ▣B E (2)解：过O点作OM1AC,交AC于点M, :0E=51.9m,∠H0E=30°， OH=0Ecos∠H0E=51.9 ≈45m, 2 ∴.点O到楼CD的水平距离为45m,即CM=45m, 在Rt△OMA中，OM=80m,∠MAO=70°， ·AM=OM ≈29.09m. tan70° .AC=AM+CM=29.09+45=74.09≈74.1m, 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为74.1米. 2/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F H 70130°760 E A M 5.【详解】(1)解：由题意可知，∠CGF=30°，CG=14m, .四边形BCFE为矩形， ∴.∠EFC=90° .∠CFG=90°， 在RtCFG中，cos∠CGF=co30°=C-FG-5 CG142 可得FG=14x5=7N5≈12m 2 答：台阶GC的水平宽度FG的长度为l2m; (2)解：设AB=m, 在RA4BC中，tan ZCAB=am25°=BC=BC0.47 AB x .BC=0.47xm. 在RtACFG中，∠CGF=30°，CG=14m, CF-CG-7m, ,四边形BCFE为矩形， .EF=BC=0.47xm,BE=CF=7m. 、.AE=AB+BE=(x+7)m,ED=EF+FG+DG=0.47x+12+102=(114+0.47x)m, 在AAED中，am∠D1B=m40-ED-14+047s084. AE x+7 即114+0.47x=0.84(x+7), 则有0.84x-0.47x=114-5.88,解得x≈292m, 即AB=292m, 答：电视塔AB的高度为292m, 6.【详解】(1)解：在△ABC中，∠B=37°，∠BAC=53, 3125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB=180°-37°-53°=90° 在Rt△1BC中，os∠BAC=4C AB' AC=AB-c0s53°≈50×=30（海里）) ∴A,C的距离约为30海里： (2)解：延长DC交AB于点M,由题意得CM⊥AB, ⊙ 379 M 53 76° 在R△AWC中，CM=AC-sn5330x等24（海里）. 5 4W=ACc0s53°≈30×=18（海里） 在Rt△AMD中，tan76°≈4， .DM=AM.tan76°≈18×4=72（海里）， .CD=DM-CM=72-24=48(海里)， 48 =2（小时)， 24 答：缉私艇所用时间是2小时， 7.【详解】解：支管道连接点N如图所示， 北 M B◆ 北E ￥东 西 D.-东 南 设MN=xm, 由题意得∠BAC=74°，∠BAM=37°，∠ECM=53, .AB∥CD, .∠BAC=∠ACD=74° .∠ACM=180°-53°-74°=53°， 4125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CMN=90°-53°=37°，∠MAN=74°-37°=37°， ,tan37°≈ 4 MN 3 CN 3 AN-4'MN 4' 4 3 ：AW=3m,CN=m, 4 ,AW+CN=AC=6000, 43 六3x+4x=600, 解得x=2880, 答：MN的长为2880米. 8.【详解】解：过点B的正北方向作BF⊥LCF于点F,交AC于点E,过点A作AD⊥BF于点D,设A 的正北方向上一点G,如图所示， 北 西一 →东 南 F---- C G 53 18.4 B ∴.∠ADB=∠ADE=∠CFE=90°DFI‖AG .∠GAE=∠AED=∠CEF=53」 sin18.4≈Vi0 10 cosl8.4°≈3V0 10 AB=100N10海里，4C=500海里， 在RaD6中，sml84o-D-D cos18.4P≈3f0_BD_BD 10AB100N10' 10AB100W10' .AD=100海里，BD=300海里. sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， :在Rt△ADE中，sin53°≈0.80=4D_100 AE=AE,则AE=125海里， cos53°≈0.60=ED-ED AE=125,则ED=75海里. :AC=500海里， 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EC=AC-AE=500-125=375海里， 在R△CFE中，sin53≈0.80=CF-CF FCE375,则cF=300海里， c0s53°≈0.60= EF EF CE375,则EF=225海里。 :.FB=BD+DE+EF=300+75+225=600海里， .在Rt△CFB中，BC=VCF2+FB2=V3002+6002=300N5海里. :AC=500海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 么绵 500 10 =50小时， ·BC=300W5海里， -305-6N5海里/附。 50 :乙船的航行速度大约是6V5海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C. 9.【详解】(1)解：由题意知，∠BAD=90°+30°=120°，∠BCD=90°-30°=60°， ,AB‖CD .∠BAD+∠ADC=180° .∠ADC=180°-120°=60°， .∠ADC=∠BCD； (2)解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F, 北 西个东 南 30 30° D .∠AED=∠BFC=90° 由题意得，∠DAE=30° 由(1)可知，∠ADC=∠BCD ∴四边形ABCD是等腰梯形， 在Rt△4DE中，AE=AD:cos∠DAE=20:cos30°=105（千米）， DE=AD.sin∠DAE=20.sin30°=10（千米）， 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， AB∥CD .AE⊥AB,BF⊥AB, ∴.四边形AEFB是矩形， EF=AB=10(千米)，BF=AE=10N3(千米)， .DF=DE+EF=20(千米)， :BD=√DF2+BF2=V202+(10W5)2=10W7(千米)， 答：BD的长度约为10W7千米： (3)解：如图所示，当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N时，此时满足MN=20(千米)，过点M 作MT⊥CD于T, 北 西个→东 M 南 30 30° D E N FT 由题意得，∠BCF=90°-30°=60°， 在R△FcC-nF0-20千*)， BF 10V5 CF= 105 an∠BCFtanc60=10(千米)， BE .CD=DF+CF=30(千米)， 设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=(20-x)千米， 在RIACMT中，CT=CMco∠MCT=(20-os60-（I0千米。 r-wmT-m-iaw5-f米， w=0-w-c7-0-2x-（0-j小0-F米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2=MT2+NT2, 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x=15-55或x=15+55(此时大于BC的长，舍去)， ·.BM=15-5V5千米. 答：甲无人机飞离B处15-5V5千米时，两无人机可以开始相互接收到信号. 10.【详解】(1)解：如图，过点B作BJ⊥AB,交AD于点N,交DE于点J,过点C作CM⊥CD,交 BJ于点M,过点N作NL⊥CD于点L,过点A作AH⊥DE于点H,在AH上取一点G,连接EG,使得 AG=EG. 设MC=x, X 750 45° CI 根据方向角的描述可知：∠XAE=75°，∠DAB=45°，AB∥DE,DE⊥CD, :BJ⊥AB,点D在打卡点C的正东方，CM⊥CD, .BJ∥CD,BJ⊥CM ∴.根据方向角描述：∠BCM=60°， .BJ∥CD .∠ADC=∠ANB=90°-∠BAN=45°， ∠BAW=∠ANB,即AB=BN=180, 同理根据等角对等边可证明：L=LD, .NL⊥CD,BJ⊥CM,CM⊥CD, .四边形NLCM是矩形， 同理可证明：四边形NLDJ、四边形ABH也是矩形， .'MC=NL=DJ=x,AB=HJ=180,AH=BJ MN=CL,NJ=LD, .NJ=LD=x, ..AH=BJ=BN+NJ=180+x,EH=DE-HJ-JD=360-180-x=180-x, 8/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在矩形ABH中，∠BAH=90°， 又：∠XAE=75°， .∠EAH=15°， AG=EG, ∴.∠AEG=∠EAH=15o」 .∠EGH=∠AEG+∠E.AH=30°， ·AG=GE=、EH sin∠EGH =360-2x,GH=5h=5Is0-). tan∠EGH AH=AG+GH=360-2x+V5(180-x), .BJ=180+x,AH=BJ, .360-2x+V3(180-x)=180+x, 解得x=60W3,即CM=x=60√5， .BJ⊥CM,∠BCM=60°， 在R△BCM中，BC= CM coS∠BCM =120V3≈208（米）； (2)根据(1)可得：AH=HD=180+60N3, ∴在Rt△4HD中，AD=V2HD=V2(180+603), 如图，设二者在V点相遇，过点V作R⊥DE于点R, 175° A 45° .-R B 60 C .CD⊥DE,∠ADC=45°， .∠ADE=45°， R⊥DE, .∠RD=∠ADE=45°， .RD-VR-VD-SimLADE-VD 2 9125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'RE DE-RD=360- ,小郭与小周的速度之比为4：3， VE 3 “根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得D4, 即E=3D 4 ,在RtAVER中，E2=RE2+VR2, 层nj-w 14402V2-1 解得：D= > 3744(米)(D= 14025+刊5180+605)=4AD,不符合题意，合 7 去)， 答：当两人相遇时，小郭跑了374.4米. 11.30 12.【详解】解：过点B作BF⊥AE,垂足为F,延长CD交AE于点G, B D 斜坡 的坡度为 A FG E. AB 1:2.4 BF 1 5 AF2.412' .设BF=5x米，则AF=12x米， 在Rt64BF中，AB=VAF2+BF=V2x+5x=13x(米)， AB=26米， .13x=26, x=2, .BF=10米，AF=24米， 由题意得：∠BFG=∠FGD=∠BDG=90°， 10125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形BFGD是矩形， 则BF=DG=10米，BD=FG, 设BD=FG=x米，则AG=AF+FG=(x+24)米， 在Rt△BDC中，∠CBD=66°， .CD=BD.tan66°≈2.25x(米)， :CG=CD+DG=(2.25x+10)米， 在Rt△ACG中，∠CAG=45°， tan45°=CG】 AG ..CG=AG. .2.25x+10=x+24, 解得：x=11.2, .CD=2.25x=25.2≈25（米）， 答：信号发射塔CD的高度约为25米. 13.【详解】该汽车超速， 理由如下：过D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,则矩形DNBM A D d B 在Ri△4BC中an∠ACB=-=4 BC39, .AB=12 在RIADNC中an∠DCN=DX={ NC 3 设DW=x,CW=3x, 则BN=9+3x, 矩形DNBM中， ..BM =DN=x,DM BN=9+3x,AM=AB-BM =12-x, 在R△ADM中，a∠ADM=W-2=m15r=4 DM 9+3x 15 16 ..x= 3’ 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtDCN中，DC=DP+NC=ix=9而， 而+2-}而848米特， 3 片30*36=25=83米/秒， 3 则8.43>8.33 所以该汽车超速了. 14.【详解】(1)解：在Rt△CDE中，CE=6,∠DCE=30° ∴.DE=CE.tan∠DCE=6×tan30°=2√3m 答：DE长为2V3m: (2)解：过F作FG⊥CE于G, F45° 入D 人660 130° G E ∴.∠CED=∠FDE=∠FGC=90°」 .FG=DE =23m,FD=GE, CF的坡度为l:1.5 在RtAFCG中，FG:CG=1:l.5, ∴.CG=1.5FG=1.5x2V3=3V3m .FD=GE=CG+CE=(33+6)m 在RtAAFD中，∠AFD=45° AD=FD.tan∠AFD=(35+6)xtan45°=(33+6)m 在RtABCE中，CE=6,∠BCE=60° BE=CE·tan60°=6V3m ∴.AB=AD+DE-BE=3V3+6+23-6N3≈4.3m 答：宣传牌的高度AB约为4.3m. 15.【详解】解：由题意可得∠AEF=36°， 12/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠BGE=90°， ---- E G D C B .·AB⊥BDDE⊥BD ∴.∠EDB=∠B=90°， .四边形BDEG是矩形， ..DE=BG,DB=EG, 在Rt△DEC中，台阶CE的坡度i=I:V5, ÷tan∠ECD=DE=1_V5 CD3 3 ∴∠ECD=30°， .CE=4m, DE=2CE=2m,CD=CE-c0s30=23m :BG=DE =2m, 设AG=x(m),则AB=x+2(m), 在RA4EG中，∠4GE=909'∠4BG=369,an36s40 EG 则EG= AG x tan36°0.73 医R△MBC中，∠B=909,∠ACB:45m9B BC, 则BC=AB=x+2(m), .DB=EG, x+2+25= 0.73 解得：x≈14.8， .AB=x+2≈17m, 答：大雄宝殿AB的高度17m. 16.【详解】(1)解：，点P的起始位置在最低点处， 13/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点P首次到达最高点需要转半圈， ,摩天轮转一圈需要6分钟， ∴点P首次到达最高点需要3分钟， (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ∵摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， ∴.摩天轮每分钟旋转360°÷6=60°」 ∴第4分钟时，点P旋转了60°×4=240°；第8分钟时，点P旋转了60°×8=480°，如图所示： P 地面水平线 .∠P0P=360°-240°=120°，∠P0P=480°-360°=120°， .∠POP=∠BOP. .∠ROA=∠POA, 又：0=0. .PB⊥OA, .B平行于地面水平线， ∴.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高. (3)(i)当t=0时，h=45-40=5m: 当t=1.5时，即点P在x轴正半轴上， .h=45m: 当t=3时，点P到达最高点， .h=45+40=85m: 当t=4.5时，即点P在x轴负半轴上， .h=45m 当t=6时，点P回到起始最低点， ∴.h=5m; 可列出如下表格： 14125 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t/min 0 1.5 3 4.5 6 h/m 5 45 85 45 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： 0 80 0 50 30 20 1 0123456主 ,当摩天轮开始转第二圈时，点P会重复第一圈的过程， ∴点P距离地面的高度会呈现周期性变化， ∴.点P高度h/r关于运动时间t/in的大致图象会重复0≤t≤6的这个图象. (ii)由(i)可得：当1.5<t<3或3<t<4.5时，点P距离地面的高度才有可能是65米， 设地面水平线为MN,过点P作PDIy轴，PC⊥MN, 当1.5<t<3时，∠D0P=180°-60°，如图所示： 珠 D. O M N地面水平线 C :.OD=cos∠D0P×OP=40xcos(180°-601). .PC=45+0D=45+40×cos(180°-601)， .45+40×cos(180°-60t)=65 :.c0s(180°-60）=2 1 .180°-601°=60°，解得：t=2; 当3<t<4.5时，∠D0P=60t°-180°，如图所示： 15/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P M 地面水平线 :.OD=cos∠D0P×OP=40×cos(60t°-180)， .PC=45+0D=45+40×cos(601°-180)， .45+40×c0s(601°-180)=65 m(6r-1m0）-分 .601°-180°=60°，解得：t=4; .当2≤t≤4时，h≥65， .m=4-2=2min BC 17,【详解】(1)解：在Rt△4BC中，“视线角”a为20·∠A=20,BC=24em,n1= AB AB=BC、24 ≈67(cm)」 tand 0.36 答：眼睛与屏幕的距离约为67cm: (2)解：如图，延长FE交DG于点M, D M G H 则MG=FH,∠DME=90°， :.调整前，DM=DG-MG=DG-FH=100-72=28(cm). 在RtaDAE中，sn∠DEM=DN-28≈093. DE 30 .∠DEM≈69°， ∴∠DEF≈180°-69°=111°，即B≈111°， 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故此时不是正确坐姿。 当∠DEF=100°时，∠DEM=80°. 在Rt△DEM中，DE=30cm' sin∠DEM=DM DE· :调整后，DM=DEsin.∠DEM=30sin80°≈30×0.98≈29(cm）,29-28=1(cm）. 答：桌面应下调lcm才能使肘部形成的“手肘角”B为l00°， 18.【详解】(1)解：①在图(1)中， ,OG部分长为0.45米，点G到地面的距离是1.35米，OG⊥AC,AC与地面BD平行， ∴点C到地面的距离是0G+GP=0.45+1.35=1.8(米)， 在图(2)中，延长OG,交BD于H, AO M 雨线 雨线 K 人60° B DOP H ,AC∥BD,OG⊥AC, .GH⊥BD ∴点C到地面的距离是0G+GH=0.45+1.35=1.8(米)· 综上所述：点C到地面的距离是1.8米. ②：AC=1米，点O为AC的中点， 0c-4c-米 1 .ABI CD, .∠ABD=∠CDP=72°， ,AC∥BD .∠ACK=∠KDP=72°， 在Ra0CK中.oK=0C-am∠0CK*×308=154(米). .PK=0P-OK=1.8-1.54=0.26(米) (2)解：如图，延长PN,交AC于点F,则OF=EG=x, 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c T E xG 雨线 雨线 K 人60° B DOP (2) 1 :.CF=0F+0C=x+2米， ABI CD .∠ABD=∠KDP=60° .AC∥BD .∠FCK=∠KDP=60°， .FK=CF.tan60°= 2 .PK =FP-FK=1.8- 2 -V3x+l8-5V5 10 ·y=-V3x+18-55 10 延长MN交AB于T,过点A作A土MN于I, “=1s16-02,n--房.=n-日-大 ,头部不被淋湿， NT=+M2W即. 15+2x≥0.2， 2√5+9 解得：x 30, x≥0 0sxs23+9 30, ·y与的函数表达式为y=-V3x+18-550sx 10 0sxs23+9 30 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.【详解】解：连接CC并延长交AB于点H,如图， B C --H D A 由题意可知四边形CDD'C',四边形CDAH,四边形C'DAH均为矩形， ∴.CD=C'D'=AH=170cm=1.7m;CC'=DD'=4m； 由光的反射定律可知点C处观察点B的仰角∠BCC'=67°-17°-17°=33°： 点C处观察点B的仰角∠BCH=67°-15°-15°=37°； 设BH=xm, 在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠BCH=33°： tan∠BCH=BH CH BH ..CH= tan∠BCH an330*0.65: 在Rt△BC"H中，∠BHC'=90°，∠BC'H=37°： ∴.tan∠BC'H= BH CH' BH ..CH= an∠BC'H=tan37°≈0.75 ...CC'=CH-CH: XX 0.650.75 4 解得x=19.5 .BH=19.5m. ∴.AB=AH+BH=19.5+1.7=21.2m≈21m: 答：观景台AB的高度约为21m. 20.【详解】(1)解：由题意得，∠A0B=34.92°，OH平分∠A0B, .∠C0G=∠D0G=17.46°」 :MW⊥OH,OD=OC=20m, :.CG-DG=-CD 2 19/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtACOG中，sim∠CoG=C CO ∴.CG=0Csin17.46°≈20×0.3=6m, .CD=2CG=12m. (2)解：铅球场地由扇形落地区和圆形投掷圈组成.扇形半径R=25m，圆心角日=34.92°，投掷圈直径 d=2.135m,半径r=1.0675m 扇形面积：S34.92314×2S3=0.097×3.14×625=190.3625 360 投掷圈面积：S=πr2=3.14×(1.0675)2=3.5782m2 重叠部分（投掷圈内位于扇形内的部分）面积：S重360S=0.097×3.5782=0.3471m2 场地总面积：S=S扇+S国-S重=190.3625+3.5782-0.3471=193.5936≈193.59m2 答：铅球场地占地面积约是193.59m2, (3)解：作法提示：空地尺寸为长35m、宽20m,需在四周留出2m安全区，即有效可用区域为长3lm、 宽16m的矩形.标准铅球场地的外接矩形尺寸约为：沿扇形对称轴方向长25+1.0675=26.0675m,垂直对 称轴方向宽2×25×sin17.46°≈15m.由于26.0675<31且15<16，可将场地对称轴沿矩形长边方向放置， 并适当调整圆心位置，使整个场地完全位于有效区域内，满足安全区要求，因此，该空间可以建设一个标 准铅球场地；示意图如下： 安至X M G E 全 掷O 落地区 安全 20m 安全区 B 35m 综合攻坚知能拔高 一、单选题 题号 2 6 6 7 8 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答案 B B D B 二、填空题 9.1.2m 10.9011.44.712.(60-62) 三、解答题 13.【详解】解：由题意得，CD=9m,∠C=48°，∠ADB=64°， 设建筑物AB的高度为m, 由题意得，在RtABD中，BD=B =AB -x tan∠4DB tan64°2' BC=AB=ABx 10x 中， tan∠Ctan48o-111l, Rt△ABC 10 .BC-BD=CD」 10x_x=9, .112 解得x=22, ∴.建筑物AB的高度为22m 14.【详解】解：由题意知，∠PAC=90°， 在Rt△PAC中，∠PCA=35°，AC=93m, .AP=AC.tan35°=93×0.7=65.lm, ..AB=10m .PB=65.1-10≈55m. 答：这条河的宽度PB为55m, 15.【详解】(1)解：如图，过点C作CN⊥BM,垂足为N,交EF于点P, M FAEF∥ADEF∥MB∠CNB=∠NBA=∠CPF=∠PFA=∠A=9O .四边形ACPF和四边形ACNB均为矩形， .BN PF AC=2m,PC=AF =1m, 21/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△EPC中，∠EPC=90°，∠ECP=45°， .EP PC=1m, PF 2m, ∴.EF=PF+PE=3m, .支柱EF的高为3m: (2)解：在Rt△BNC中，∠BNC=90°，∠BCN=30°，BN=2m, tan30°=BN-V5 CN 3 .CW=23m, 在Rt△MNC中，∠MNC=90°，∠MCN=26.5°， tan26.5°= ≈0.5 CN .MN=3m, BN =2m, :BM=(2+3m, :项棚M处离地面的高度MB的长为2+V5)m 16.【详解】(1)解：由题意可知：∠A0D=120°，DE=120米： (2)根据题意，可知∠ODE=90,∠0ED=37°，DE=120, ·ian∠OED=OD-OD ≈0.75 DE120 .0D=120×0.75=90米， ∴.塔杆OD的长度是90米： (3)如下图，过点A作AH⊥DE于点H,过点O作OG⊥AH于点G, B 设风叶OA的长度为x米， .·∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， ∴.四边形OGHD为矩形， 22/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠G0D=90°，GH=0D=90米， ∠A0C=120°， .∠A0G=30°， AH=AG+GH+90.EH =DE-HD-120-V3 2, ∠AED=59°， 1 a∠AED=h-)+90 EH 120、6*1.7 x 2 :2+90 1 12061.7 解得：x≈59， ∴风叶OA的长为59米. 17.【详解】(1)解：延长BG交AC于点H,如图1， A E B H D 图1 由题意可知，AB=21cm,∠ABG=15, ∴.AH=AB·sinl5°≈21×0.26=5.46(cm): (2)由题意知BE=写4B=7m, .EG=BE.sinl:5°≈7×0.26=1.82(cm), BG=BE.cost15°≈7×0.97=6.79(cm). GD=DE-EG =22.18(cm), 过点B作BK⊥CF于点K,如图2， 23/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B H G K 图2 .∠BGD=∠GDK=∠DKB=909 .四边形GDKB是矩形， ∠KBG=90°，BK=DG, .∠KBF=150°-15°-90°=45°， .BK =KF=DG=22.18 cm 又：MW=NF=4cm ..KN=KF-NF=18.18(cm). DN=DK+KW=6.79+18.18≈25.0(cm) 18.【详解】解：方案一：过点A作AH⊥BC于点H, .∠ABC=45°，∠ACB=63.4° .在Rt△ABH中，AH=BH×tan∠ABC=BH, 在RtACH中，CH=H=4H tan∠ACB2, BH+CH=BC,BC=120m, 4+号4H=120,解得A=80m ∴.这段河道的宽度为80m: 方案二：过点A作AG⊥DE于点G,交BC于点H, D G DE∥BC .△ABC△ADE,AH⊥BC, 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC AH ∴DEAG .BC=120m,DE=150m,h=HG=20m, 120_AG-20 150=4G，解得4AG=100: :.AH=100-20=80m, 答：这段河道的宽度为8Om, 25/25