23.1 锐角的三角函数（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 分层明确，梯度合理，从三角函数概念辨析到综合应用，构建“基础巩固-能力提升-思维拓展”的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|正切、正弦、余弦的概念辨析及已知值求边长，特殊角三角函数值及混合运算|基础题型为主，结合概念辨析与简单应用，培养抽象能力和运算能力| |B组能力进阶|三角函数在菱形、折叠、坐标系中的综合应用，三角形形状判断|情境化问题设计，强化几何直观和推理意识，衔接知识综合运用| |C组思维拔高|网格问题、动态几何、新定义（倍角互余三角形）、实际测量|跨情境综合与创新题型，发展创新意识和应用意识，提升问题解决能力| |拓展链接中考|中考真题及模拟题，涵盖三角函数实际应用与综合计算|对接中考题型，强化应试能力，体现数学语言表达现实世界的素养|

分层作业 23.1 锐角的三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 题型02 已知正切值求边长 题型03 正弦的概念辨析 题型04 已知正弦值求边长 题型05 余弦的概念辨析 题型06 已知余弦值求边长 题型07 特殊三角形的三角函数值 题型08 特殊角三角函数值的混合运算 题型09 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型10 利用同角三角函数关系求值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )正切的概念辨析 1．（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． ( 题型0 2 )已知正切值求边长 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 6．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． ( 题型0 3 )正弦的概念辨析 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则锐角__________锐角（填、或）． ( 题型0 4 )已知正弦值求边长 10．（2026·广东深圳·二模）电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 11．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，则______． 12．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． ( 题型0 5 )余弦的概念辨析 13．（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 14．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·全国·单元复习）比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） ( 题型0 6 )已知余弦值求边长 16．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 17．（2026·山东淄博·二模）如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·安徽安庆·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 ( 题型0 7 )特殊三角形的三角函数值 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 21．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． ( 题型0 8 )特殊角三角函数值的混合运算 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：__________． 23．（26-27九年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）计算： (1)． (2)． ( 题型0 9 )由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 25．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 26．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 27．（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． ( 题型 1 0 )利用同角三角函数关系求值 28．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知 (为锐角)，则 ___________ 30．（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）与按如图所示位置放置，已知，，点分别是边的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南楚雄·三模）如图，，过点作于点，过点作于点，则下列不能表示的是(    ) A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（湖南株洲市醴陵市明月镇中心学校（醴陵市明月镇大障中学）2025-2026学年九年级下学期4月学情自测数学试题）计算： ________________． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 8．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 9．（2026·浙江·一模）2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 三、解答题 11．（25-26九年级下·陕西西安·期中）计算： 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 15．（2026·宁夏吴忠·三模）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数并作图． 问题解决 (1)如图1，小亮同学在由边长为1的小正方形组成的网格中画出和，请你按照这个思路求_________；（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 (2)如图2，已知，都是锐角，，，则_________． (3)如图3，已知，，都是锐角，，，，则_________． 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南三门峡·一模）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·广东河源·一模）计算：________． 7．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，相交于点O，交于点E，连接．若，，则的值为______． 8．（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 三、解答题 11．（26-27九年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 12．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 13．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 15．（2026·山东聊城·二模）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 16．（2026·广东深圳·模拟预测）【新知概念】在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形． 【基础应用】 (1)如图1，矩形中，点为边上一点，若，求证：为矩形的对边中点三角形． 【延伸拓展】 (2)在中，点为边上一点，为的对边中点三角形． ①如图2，若，则 ； ②如图3，若为菱形，且，求的值； ③若为菱形，边长为，当对边中点三角形的一边长与菱形的对角线相等时，请直接写出的周长． 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 3．（2026·广东·中考真题）计算：． 4．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 23.1锐角的三角函数 参考答案 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 1.C 【详解】解：如图， B 在△ABC中， LC=90°， .'tanB= BC 2.B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键. 【详解】解：：在R1aABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高， .△ABCAADB△ADC均为直角三角形， 又：∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90° ∠B=∠DAC, 在RABD中，an∠B= BD,故A可以表示，不符合题意： 在RIABC中，tan∠B= B,故C可以表示，不符合题意： 1/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIAADC中，an∠B=tan∠DAC=CD : 故D可以表示，不符合题意： C BD不能表示tan∠B?故B符合题意. 故选：B 9 3.- 2 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键.过点P作PA上x轴，根据正切值的定义，列式 求解即可. 【详解】解：过点P作PA⊥x轴， b入 AP 4 x tana= OA 3 6=4 m 3 .-4m=3×6, .∴.-4m=18 9 .m= 2: 故答案为：一2· 题型02 已知正切值求边长 4.c 【分析】连接AC交BD于点O,由同角的余角相等得∠EA0=∠AD0,设OE=a,则OA=2a,从而 OD=4a,进而求得BE、ED,即可求解. 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O, 在菱形ABCD中，AC⊥BD,OB=OD,∠ADO=∠ABD .∠AD0+∠DA0=90°： AE⊥AD, .∠EA0+∠DA0=90°」 2140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAO=∠ADO 即∠EAO=∠ADO=∠ABD, :.tan∠ABD=2: 1 :tan∠EA0=tan∠AD0= 2 OE OA 1 即0A0D2: 设0E=a,则0A=20E=2a, 0D=20A=4a. ∴.BE=OB-OE=OD-OE=3a、ED=OE+OD=5a, BE 3a 3 ∴.ED5a5 A D O E 5. 210 【分析】根据正切的定义求出AC的长，再利用勾股定理计算AB的长即可. 【详解】解：在RtAABC中，∠C=90°， BC 1 根据正切的定义得tanA= AC 3' BC=2, .AC=2×3=6, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V6+22=√40=2√10， 则AB的长为2V10 6.21 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是 解题的关键.过点F作FG⊥AC交于点G,根据锐角三角函数的定义设FG=4x,GC=3x,结合勾股定 理求出FG=8,GC=6,根据折叠的性质得出AC=AE,设AC=AE=y,结合勾股定理列出方程，即可 求解。 【详解】解：过点F作FG⊥AC交于点G,如图： 3/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CFG中，aC=C-4 GC3 CF=10,FC2=FG2+GC2 故设FG=4x,GC=3x, 则102=(4x2+(3x2, 解得x=2(负值舍去)， 故FG=8,GC=6, 根据题意可得AC=AE, 故设AC=AE=y, AF=AE-EF=y-4,AG=AC-GC=y-6, 在RtAAFG中，AF2=AG2+FG, 即(y-4)}=(y-6)}+82, 解得y=21, 即AC=21. 故答案为：21. 题型03 正弦的概念辨析 7.A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键 根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】解：：△ABC,AD⊥BC, :.∠ADB=90°， sin∠ABD=D AB' 故选A. 4/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义， 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边 同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可. 【详解】解：设原RIAABC中，AB=C,AC=b,BC=a, c C0s4= 则sinA=a tanA= b b :三边都缩小为原来的3， 4B-54c-?ac-号 3 a i,sin =BC=3a =sin A. 3 b 同理，csA=AC 3-b cosA,tan4=BC -3= tan A AB'cc b 2 ∴.锐角A的三角函数值都不变. 故选：D 9.< 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案， 熟练掌握相关知识点是解此题的关键. 【详解】解：，在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若sina<sinp,则锐角a<锐角B, 故答案为：<. 题型04 已知正弦值求边长 10.A 【分析】根据正弦的定义求解即可： 【详解】解：·∠B=90,AC=55,sin∠C4B= 2 5/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC 1 AC2' 即：BC= C=55 1 2 2· 11.6 【分析】本思考查根据正弦值求边长，根据正弦的定义，得到$如AC} AB3,进行求解即可. 【详解】解：“∠C=90°，snA=3 3’BC=2 BC 1 ·AB3 .AB=6: 故答案为：6. 12多 【分析】过A作AF⊥BD于点F,则∠AFB=∠AFE=9O°，由四边形ABCD是平行四边形，得ABI‖CD, 8=CD:E明&aF2C0E(,所以Mr=CE-3:sm∠18-G-子 4E3,然后代入即可求解。 【详解】解：如图，过A作AF⊥BD于点F,则∠AFB=∠AFE=90°， D B CE⊥BD, .∠CED=90° .∠AFB=∠CED=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， .ABI‖ICD,AB=CD, .∠ABF=∠CDE 在△ABF和△CDE中， ∠AFB=∠CED=90° ∠ABF=∠CDE AB=CD :.△ABF≌aCDE(AAS), 6140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AF=CE=3, :sin∠AEB=4F_2 AE 3 32 AE3' .A6=9 2 题型05 余弦的概念辨析 13.B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确∠A的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项. 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， A C B AC ∴.C0SA= AB 故选：B. 14.A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果. 【详解】解：，△ABC中，∠C=90° .cos=4 BC tan A=- AB' C,故A选项正确，符合题意. 15.> 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值.当角度在0°~90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论， 【详解】解：.45°<55°， .c0s45°>cos55°. 故答案为：> 7/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 已知余弦值求边长 16.A 【分析】根据定义得到CosB与AB、BC的关系，代入已知条件即可求出BC的长. 【详解】解：：在R1△1BC中，∠A=90,根据能角余弦的定义，得osB= BC 12 又：AB=12' cos B= 13 .12_12 BC13' .BC=13 17.A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在 BC R1AABC,∠B=28°，根据余弦函数的定义即可求得cos∠B= AB 【详解】解：~三角形ABC为直角三角形， .cos∠B= BC AB' cos28°=BC 13 .BC=13c0s28° 18.A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出△ABC为等边三角形，AB=AC=BC=8,∠A=∠C=60°，再 由题意确定4D=CD=4,利用含30度角的直角三角形的性质得出CB=)CD=2,再由余弦函数求解即可 2 【详解】解：：∠A=60°，AB=AC, ∴.△ABC为等边三角形， .AB=AC=BC=8,∠A=∠C=60° 边BC的中点为D, .'BD=CD=4. :DE⊥AC,EF⊥AB, ∠EDC=∠AEF=30°， :.CE-1CD-2, 8140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AC-CE=6. ·cos∠AEF=E E ∴.EF=AE.cos30°-3√3 颗型07 特殊三角形的三角函数值 19.B 【分析】根据正弦的定义可得∠A的度数，进而可得∠B的度数，再由正切的定义可得答案. 【详解】解：在RtA4BC中，☑C=90o'sn43 2 .∠A=60° .∠B=90°-∠A=30° .tanB=tan30°= 5 3 20.2 【分析】根据平行四边形的性质求出∠A=60°，即可得出答案 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， ∠A=∠C,∠A+∠B=180°， ∠A+∠C=∠B .2∠A=∠B, .∠A+2∠A=180°. .∠A=60° .c0sA=c0s600= 2 21 3 【分析】根据多边形的外角即可求出∠CBE=6O°，进而可求出CE的长度，最后根据面积公式即可求解. 【详解】解：，六边形的外角和为360° .∠CBE=360°÷6=60°， .∠BCE=90°，BE=2 9140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE-BE-sinLCBE=2x ∴.正方形的面积为：V3×V3=3. 题刑nR 特殊角三角函数值的混合运算 22.-1 【详解】解：sin245°-tan60°.cos30° =1_3 -22 =-1 23.(1)1-V5 (2)6 【详解】(1)解：cos60°+sin45°-3tan30° y 3 11-5 =2+2 =1-W5; (2)解：V9+2cos30°+V3-2+(-1)26 -3+2x5+2-5+1 =3+V3+2-V3+1 =6 240月 (2)3V3-1 【分析】(1)把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解： (2)把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解. 【详解】(1)解：2sin30°-3tan45°+cos60 10/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2x1-3x1+日 2 =1-3+2 1 (2)解：2sin60°+4cos60°.tan60°-2cos245° =2×5+4x×5-2× 2 2 =V5+25-1 =33-1. 题型09 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 25.A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.根据 tanA和tanB的值求出∠A和∠B的度数，再计算∠C的度数，从而判断三角形类型. 【详解】解：，tanA=1, .∠A=45°， tanB=3 3’ .∠B=30°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°>90°， .△ABC是钝角三角形， 故选：A. 26.B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零， 求出∠A和∠B的度数，再计算∠C,从而判断三角形形状，即可作答. 【详解】解：：(3anA-3+2cosB-=0,且平方项与绝对值项均非负， .3tan 4-3=02cos B-1=0, m4=言=6，B =2 11/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=60°，∠B=60 ∠C=180°-∠A-∠B=60°， .△ABC为等边三角形. 故选：B. 27.等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出sinA与cosB的值，结合锐角条件确定∠A∠B的度数，再通过 三角形内角和求出∠C,最终判定△ABC为等边三角形。 【详解】解：Sin4- 1 -cos B =0 22 ·根据绝对值和平方均非负，inA-5 =0,-c0sB=0 2 .sin 4=3 2” cos B= 2 ,∠A、∠B为锐角， .∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°， .△ABC为等边三角形. 题型10 利用同角三角函数关系求值 28.A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设BC=5k,AB=13k,则AC=√AB2-BC2=12k, 再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：如图， B 5 “∠C=90°， sin A= 13: 12/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC5 AB13' 设BC=5k,AB=13k, 则AC=VAB2-BC2=V(13k)2-(5k)}2=12k, :cosA=4C=12k_12 AB13k13' 故选：A 29.3 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义.将分子和分母同时除以 cosa,化简可得 sina+cosa tana+1 ina-cosa tana-1, 然后代入求解即可. sina 【详解】解：，tanc= cosa sina cosa sina +cosa 故 =cosa cosa= tana+1 sina-cosa sina cosa tana-1' cosacosa 2+1 =3 将tana=2代入，原式2-i 故答案为：3 30.3 13 3 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系.利用同角三角函数的基本关系，由tan=2设sina=3k, cosa=2k,再根据sina+cos2a=l求出k的值，最后计算sina-cosa 对边 对边 邻边 【详解】解：依题意，tana= 邻边 sina= 斜边，cosa= 斜边’ 则tana=sina cosa' .tana= 2,且a为锐角， .设sina=3k,cosa=2k,其中k>0 .sin2 a+cos2a=1, .(3k)2+(2k)2=1, 即9k2+4k2=1, 13/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .13k2=1, 2= 13, 阳市 因此sina= 3, cosa= 、2 13, .'sina-cosa = 321-3 √13√13√1313’ √13 故答案为： 13· B组 能力进阶 1.A 【分析】求出tanB= AC BC=3, 然后利用特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C为直角， .tan B=4C=2_v3 BC6 3 .∠B=30° 2.D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出“的取值范围. 【详解】解：：cos40°=sin(90°-40)=sin50°，且2 =sin30° :原不等式2<sina<cos40°可化为6in30°<sima<sin50r :x是锐角，正弦函数在0°~90°之间随角度增大而增大， .30°<a<50° 3.B 【分析】先由中位线的判定与性质得到AC长度，在Rt△ABC中，由正弦函数值定义代入线段长计算即可. 14/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在△DAC中，点E,F分别是边AD,CD的中点， ∴.EF是△DAC的中位线， EF=7.5 ∴.AC=2EF=2×7.5=15 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=9,AC=15, sin∠BAC=BC-93 AC155 4.B 【详解】解：AC⊥BC,CD⊥AB, ∴.a+∠BCD=90°， ∠ACD+∠BCD=90°. ∴.a=∠ACD AD CD AC .tana tan/ACD=DC BD BC 5.B 【分析】由平行四边形的性质得AO=CO,则EO垂直平分AC,则AE=CE=4,证明△ABE是直角三角 形，解Rt△AEC即可求解， 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO .EO⊥AC, ∴.EO垂直平分AC, .AE=CE=4 :AE2+BE2=42+32=25=AB2, ∴.△ABE是直角三角形，∠AEB=90°， .∠AEC=90°， ∴AC=VAE2+CE2=4V2, :os∠ACE=CE=4-V2 AC4V22· 6.V2-2 【分析】根据30°，45°的特殊锐角三角函数值，再代入原式，按照二次根式混合运算法则计算即可. 【详解】解：3tan230°+，1 -2W5cos30° sin45° 15/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 +6-25×5 -3) 2 =3x3+5-3 =1+V2-3 =√2-2. 7. 直角三角形 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键。 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出∠A和∠B的度数，进 而求出∠C的度数，从而判断三角形的形状， 【详解】解：：V5-3tanB+V2cosA-1=0,小V5-3tanB≥0，v2cosA-1≥0， .3-3tan B=0,v2cos 4-1-0, 3-3tan B=0,2cosA-1=0. tan B=3 3,Cos4= 1 2 ,∠A,∠B是三角形的锐角， .∠A=60°，∠B=30° 则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°， ,△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形 1 8.3 【分析】先根据矩形的性质得BC=AD=10,CD=AB=6,∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得 AF=AD=10,EF=DE,在RtaABF中，利用勾股定理计算出BF=√AF2-AB2=8,则CF=2,设 EF=DE=x'则CE=6-x'然后在RtAECF中根据勾股定理可得到x= 兮，即CE-氵，然后根据正切函 10 数的定义即可求解. 【详解】解：四边形ABCD为矩形，AB=6,AD=10, ∴.BC=AD=10,CD=AB=6,∠B=∠C=90°. :矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， 16/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=AD=10,EF=DE, 在RtAABF中， BF=AF2-AB2 =8, ∴.CF=BC-BF=10-8=2, 设EF=DE=x,则CE=6-x, 在Rt△ECF中， CE2+CF2=EF2, 即x2=(6-x)2+22, 10 解得，x=3 EF=10 3 10 .∴.tan∠EAF= EF_3-1 AF103 3 9 2 【分析】由题意易得BC=3.2米，AD=2.4米，AD⊥BC,∠ABC=日，然后根据三角函数及勾股定理可 进行求解， 【详解】解：由题意得：BC=3.2米，AD=2.4米，AD⊥BC,∠ABC=0, AB=AC, .BD=CD=BC=1.6米， 2 “m0品治3,8=aD+D-号而米， 10.8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可. 【详解】解：当△ABC是锐角三角形时，如图1， BD=2, .BC=6’CD BD=4, AD 2 .tan B= BD 3 .AD=8 3 17/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.SABC=2 BC.AD=1x6 ×6 2 8-8 3 A D 图1 图2 当△ABC是钝角三角形时，如图2， BD ·.·BC=6’CD =2, .BD=12, tanB=D、2 BD 3' .AD=8. SAc2BC·AD- 2×6x8=24, 综上，△ABC的面积为8或24 11.7 【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、正弦，再化简二次根式、计算乘法，最后计算加减法即可. 【详解】解：原式=3-V8+4+4×2 2 =3-2√2+4+2W2 =7」 12.(1)△ABC是锐角三角形. (2)-2-25 【分析】(l)根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数， 进而可得出结论： (2)根据(1)中∠A及∠B的值求出∠C的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 【详解】解：)：0-m+SnB--0 2 tan 4-1.sin B=3 2 .∠A=45,∠B=60, .∠C=180°-∠A-∠B=75°， ∴△ABC是锐角三角形. 18/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 原式=2× 2 -0+V3)2+1=1-1+23+3)+1=-2-2√3 2 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 13.(1)5 a 【分析】(1)利用正切值和已知条件求出AB长度，根据勾股定理即可求出AC长度. (2)根据角平分线的性质定理即可求出AE的长度，以及BD=DE,设参数BD=x,结合已知条件，利 用勾股定理即可求出x的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案。 详解】(1)解：.Rt△4BC中，∠B=90°，a2C4,p t∠C-B3 AB 3 44 AB=3, .在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V32+42=5. (2)解：过点D作DE⊥AC于点E,如图所示， E 平分 B D C:AB⊥BCDE⊥ACAD ∠BAC ∴BD=DE, 又AD=AD, .RIAABD≌RIAAED(HL), .AB=AE=3, 设BD=DE=x, ..CD=BC-BD=4-x,EC=AC-AE=5-3=2, :在Rt△DEC中，X2+22=(4-x, 3 ..X= 2 19/40 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=3 2 3 .Rt△ABD 中，tan∠BAD=BD-2=1 AB 3 2 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已 知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理. 14.(1①)5-V3 ②2 (3)1 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可 cos450 【详解】(1)解：sin45° +2sin60°.tan60°- tan30°+tan45o 1 1429v51 =1+3-V3+1 =5-5: (2)解：sin45°.cos45°+4tan30°.sin60° 2 +4x5x5 22 32 5 2 (3)解：cos60°-2sin245°+2am260°-sn30 3 (2 2 =1 15.(1)45° (2)90° )2 20/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)连接BC,利用等腰直角三角形的性质求解； (2)构造等腰直角三角形ABC可得结论： (3)构造直角三角形DGF可得结论. 【详解】(1)解：如图，连接BC, B 图1 点A,B,C都在格点上， AB=BC=V1+22=V5,AC=V32+1=V10, :AB2+BC2=5+5=10=AC2, .△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90° ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°， tana=tan∠BAD=BE-),aB=tan∠CAD=CE= AE2’ AF 3 .a+B=∠BAC=45°： (2)解：如图，：tan∠ABD=E_2 BE,=3,tan∠CBD=CE3 .∠ABD=∠a,∠CBD=∠B、 点A,B,C都在格点上， .AB=BC=V32+22=√13，AC=V52+1=V26, .AB2+BC2=13+13=26=AC2, ∴.△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90° .∠Q+∠B=∠ABD+∠CBD=∠ABC=90: C 图2 21/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图， G ◆H 图3 由题意知， tama=tan∠GDH=}anB=tan∠HDr- 7 .∠a=∠GDH,∠B=∠HDF .∠a+∠B=∠0 :.∠O=∠GDH+∠HDF=∠GDF, :DG=22+62=210,GF=V12+32=√10，DF=V+72=5√2， ..DG2+GF2=DF2, .△DGF是直角三角形， .tane=tanLGDF=GF10 1 GD2102 C组 思维拔高 1.B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键：因此此题可根据正弦的定义进行求 解即可. 【详解】解：如图， B 22140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由网格可知：AD=V22+2=22,BD=VP+P=V2,AB=VP+32=√10， .AD2+BD2=10=AB2, ∴.∠ADB=90° ∴，sin∠BAC= BD 25 AB 10 5 故选B. 2.B 【分析】过A作AB⊥Lx轴于B,则AB=1,OB=3,在Rt△AOB中，利用正切定义求解即可. 【详解】解：过A作AB⊥x轴于B, B :点A(3,)在第一象限， .AB=1,OB=3 在RtAAOB中，tana= 2=AB 3 OB' AB=2,即t=2, 3.A 【分析】过点P作PA⊥x轴构造直角三角形，根据点P坐标结合正切定义求出PA,利用勾股定理求出 OP,最后根据正弦定义求出sinc即可. 【详解】解：过点P(3,m)作PA⊥x轴于点A,则OA=3, P(3,m) 0 A 在RI0AP中，ana=P-4即PA4 0A3,即3=3， .PA=4, ..OP=PA2+0A2=5, 23/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .sina= PA4 OP5· 4.C 【分析】连接AC交MN于点F,设AB=m,则BC=3AB=3m,利用勾股定理求得AC=V0m,由折叠得 到4仙=Cn至五平分C:则=-号4C=9,南份+w-AR入求得-专 2 2 则MF= m,所以am∠AN你-3，于是得到问题的答案 6 【详解】解：连接AC交MN于点F, E D B M 设AB=m,则BC=3AB=3m, :四边形ABCD是矩形， ∠B=90°， ∴.AC=√AB2+BC2=V10m ,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处， ∴点C与点A关于直线MW对称， .AM=CM,MN垂直平分AC, 24C BM=BC-CM=3m-AM AEM=90 4F=F= 2n, AB2+BM2=AM2, .m2+(3m-AM)2=AM2 2.AM-m, 3 ∴.MF=√AM2-AF2 m 6 V10 tan∠AMN=AF -=3 MF 10 -m 6 24/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.c 【分析】设正方形边长为2x,则AD=AB=CD=BC=2x,根据中点的定义得出AE=x,利用勾股定理求 出DE=5x,可得DF= 2, 根据正方形的性质得出DC∥AB'可得∠AED=∠EDC,进而证明 △ADEAGCD' 根据相似三角形的性质求出DG=25x, 5x,CG=4 5x,根据正切的定义即可得出答案。 【详解】解：设正方形边长为2x,则AD=AB=CD=BC=2x, E是AB边的中点， .AE=x 在Rt△ADE中，DE=VAD2+AE2=V5x, F是DE的中点， ∴DF=DE=5x 2 2 :四边形ABCD为正方形， .DC∥AB .∠AED=∠EDC, CG⊥DE ∴.∠A=∠CGD=90°， ∴.△ADEAGCD DG CG DC DG CG 2 :E0A6D,即x=2x5, 哈36 DG=2 *5x,CG=4 =4V5 V52√5 .tan LGCF-GF-DF-DG_2x- 5x1 CGCG 4v5 -8 6.0 1 【详解】解：原式=2×亏-1 2 =1-1 =0 7.3 25/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分折】由短形的性质可得0A=OC:'∠AC=90心：由正切的定义可得m乙4CB= 3,证明OE垂直平 分AC得出AB=BC,从而得出∠B4C=∠EC4进而可得m∠E10=m乙4CB= 3, 即可得出结果」 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OC,∠ABC=90° .AB=1,BC=3. “tan∠ACB=B-V3 BC-3, :OE⊥AC, .OE垂直平分AC, ..AE=EC, .∠EAC=∠ECA, iam∠EA0=tan∠AcB= 3 tan∠EAo的值为√3： 8.直角三角形 【分析】由非负数的性质求出snA和cosB的值，再根据三角函数值确定角∠A和∠B的度数，结合三角形 内角和定理判断形状. 【详解】解：sinA- 3 Cos B_V3 :0 2 2 sin4-3 =0,cos B- =0 2 2 ".sin 4=3 2:cosB= 2, :∠A,∠B为锐角， .∠A=60°，∠B=30°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°， △ABC是直角三角形. 9.2或5 【分析】根据题意，当2∠B+∠BAP=90°，在AB上取一点D,连接DP,使得DP=DB,过点D作 26/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥BC于E,可证明∠ADP=∠DPB+∠B=2∠B,则可证明∠APD=90°，利用勾股定理求出 4公=7C+C=10:则o9-6-,过而得到分 BD5,设BE=4x,BD=PD=5x'则 BP=8xAD=10-5x,PC=BC-BP=8-8x,由勾股定理得(10-5x}-(5x'=6+(8-8x,解方程即 可得到答案；当2∠BAP+∠B=90°时，可证明AP平分∠BAC,过点P作PH⊥AB于H,则PH=PC, 5m,则pH=CP=8-5m:解直角三角形可得P阳PB=3m,则g-5m=3m解方翘 答案。 【详解】解：如图所示，当2∠B+∠BAP=90°时， 如图，在AB上取一点D,连接DP,使得DP=DB,过点D作DE⊥BC于E, ∴.∠DPB=∠B,BP=2BE, ∴.∠ADP=∠DPB+∠B=2∠B, .∠ADP+∠BAP=90°， .∠APD=90°， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, :.4B=V4C2+BC2=10, .'.cosB= BC 4 AB5· ÷在RABDE中，cosB-E=4. BD 5, 设BE=4x,BD=PD=5x, .BP=8x,AD=10-5x. .PC=BC-BP=8-8x. 由勾股定理得AP2=AD2-PD2-AC2+CP2, .(10-5x2-(5x)}2=6+(8-8x2, 解得=石成x0合去)， 如， 27/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 、 PE B 如图所示，当2∠BAP+∠B=90°时， .∠BAC+∠B=90°， .∠BAC=2∠BAP, ∴.AP平分∠BAC, 如图所示，过点P作PH⊥AB于H,则PH=PC, 设BP=5m,则PH=CP=8-5m, sin B=PHI_AC 3 PBAB5· ∴.PH三3PB=3m, .8-5m=3m, .m=1, .BP=5; y H P B > 综上所述，BP的长为2或5： 10.8 【分析】过A作AG⊥BC交BC于点G,过D作DH⊥BC交BC于点H,分别进行解直角三角形，求得 AG,DH,HC,HE的长度即可. 【详解】解：如图，过A作AG⊥BC交BC于点G,过D作DH⊥BC交BC于点H, D H 在RAG,4G=s∠B=12x5-65（米)， 28/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是梯形， .∴四边形AGHD为矩形， .DH=AG=6N3(米)， 在Rt△DCH中，由勾股定理得， HC=VDC2-DH2=√432-108=18（米）， HE=-DHL=6V3=26 在 中， tan∠E3√3 (米)， Rt△DEH 13 .CE=HE-HC=26-18=8(米)， 1.(0)4 (2)2 【分析】(1)先代入特殊三角函数值，再计算即可： (2)先计算绝对值、特殊三角函数值、零指数幂和算术平方根，再计算即可. 【详解】(1)解：sin260°-tan30°.cos30°+tan45 x5+ 2- 32 31 +1 42 49 西解26nw--t■5 =2+1-2+1 =2. 12.(①2 24 (225 【分析】(1)先利用余弦定义和勾股定理求得AB=15,再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可： (2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得BE=36 5,在Rt△BDE中，利用余弦定义求解即可. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠ACB=90°， ∴cosA=AC3 AB5· 29140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AC=3x,则AB=5x, .BC=V√AB2-AC2=4x, BC=12 ∴.4x=12,解得x=3, AB=15,AC=9, D是AB的中点， D Γ29 (2)解：，D是AB的中点， 0-a-5, Sc=9m-28m,即CD-BE-×4CBC, 1 1 2 22 115BE= 11 .22 ×5×9×12. 22 BE=36 5· 六在RUABDE中，0s∠ABE=BE=24 BD 25 13.(1)45 (2)(24+85m 【分析】(I)过点C作CF⊥AB于点F,由三角形内角和定理得∠BAC=60°，在RtABD中， ∠ADB=75°，可得∠BAD=15°，从而可求出∠DAC: (2)过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,求出CE=l6m,再求出CG=16m, Dc=16m可得4C-(6+16)m,进得出4-4C=(区+83（回.，甲可求出AB 【详解】(I)解：过点C作CF⊥AB于点F,如图， 30°C 75a B D E 则∠AFC=90° 30/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACF=30° .∠CAF=180°-90°-30°=60° 在RtAABD中，∠ADB=75°，∠ABD=90°， .∠BAD=180°-90°-75°=15° .∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-15°=45°： (2)解：过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,如图， i=1:3, ∴.tana= CE 13 DE√53 .a=30°， 设CE=x,则DE=V3x, 在Rt△DCE中，CD=32m,DE2+CE2=CD2, :（5x+x2=322, 解得x=16(负值舍去)， .CE=16m, :CF⊥AB,FB⊥BE,CE⊥BE」 ∴四边形CFBE是矩形， ∴.FB=CE=16m, CF⊥AB,FB⊥BE, CF∥BE, .∠DCF=∠CDE=30° .∠DCA=∠DCF+∠FDA=30°+30°=60° 又∠ADB=75°， .∠ADC=180°-∠ADB-CDE=180°-75°-30°=75°， .DG⊥AC,即∠DGC=90°，且∠ACD=60°， .∠CDG=180°-90°-60°=30°， .∠ADG=45°： 在Rt△CDG中，CD=32m,∠CDG=30°， :CG=,cD=16(m), 2 .DG=VCD2-DG=V322-16=163(m), 31/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠DAC=∠ADG=45°， .AG=DG=163(m), AC=AG+CG=(165+16(m), 4f=24C=(8+85jm. .AB=AF+FB=8+83+16=(24+85)m 14.(1)解：如图所示即为所求， B D (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】(I)因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到BC的中点D,连接AD即可，利用网格 格点可直接确定线段中点. (2)因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足S,4s=2S。Cs,需使AE:EB=2:1,利 用平行线分线段成比例的网格作图方法确定AB上的分点E (3)因为国∠ABF-意味若角所在直角三角形对边与邻边比为1：2所以先构造出正切值为且以万 为顶点、一边为AB的角，该角的另一边与AC的交点即为F,可借助网格格点构造符合要求的直线， 32/40 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：直接取BC的中点D,即BC上距离B点2个单位的格点，连接AD,AD即为所求. (2)解：利用网格平行线分线段成比例找到AB上靠近B的三等分点E,连接CE，CE即为所求， 理由：取格点M,N, .·BM IEN AE AN ·BEMN =2 ,△ACE和△BCE同高，高均为点C到AB的距离，设为h, S4E=2 1 AE.h AE=2 BE.h BE 2 S。ACE=2S,CE. M N (3)解：过B作横跨4格、纵升2格的直线BG,交AC于点F,点F即为所求， 理由：连接AG, AG2+BG2=(P+22）+(22+42)=25=32+42=AB2, ∴△ABG是直角三角形，∠G=90°， :tan∠ABF=AG-V5_1 BG 25 2 15.(1)b=5√2 ②255+ 3 (3)AB≈73.47 nmile 【分析】(1)利用题目总结出的结论，代入数值计算即可： (2)先求得AB的长，然后根据三角形的面积公式，即可； (3)利用题目中总结出的正结论代入求解即可. 【详解】(1)解：由题意得sin AsinB' 33/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 6 .sin45° sin30°， 解得b=5√2 (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, .sind=CD_CD AC b CD=bsind= 5V2=5, 2 .∠A=45° .AD=CD=5. .∠B=30°， .∠BCD=60°， si∠BCD= BD BC =sin60°=BD 0 BD=sin60×10=5 ×10=55, 2 .'AB=AD+BD=c=5+53, s-4xD-*6+55=2间 C a CD (3)解：由题意可得，BC=40×1.5=60,∠ACB=60°，∠BAC=75°-30°=45°： AB 60 由题意得sin60°-sin45°， .AB=30W6≈73.47. 答：AB≈73.47 amile 16.(I)证明：，四边形ABCD是矩形， AD=BC,∠D=∠C=90°， 又，AE=BE, .RtAADE RtABCE(HL). :.DE=CE,即点E是CD的中点， 34/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABE为矩形ABCD的对边中点三角形： (2②Dg0°：②c0s∠DAB=3 :③。4BE的周长为16+4V6 【分析】(I)利用矩形的性质证明R△ADE≌RtABCE(HL)可得DE=CE,再利用矩形ABCD的对边中点 三角形的定义即可证明结论： (2)①如图所示，取AB的中点F,连接EF,证明四边形ADEF是平行四边形，可得EF=AD,进而得 到EF=AD=AF=BF,再根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可；②如图所示，过点E作 ET⊥BC于T,根据菱形的性质可得AB=BC=CD,AB∥CD,AD∥BC,易证△AEB∽aBCE可得 BE AB BE 2a CE=BE,设AB=BC=CD=2a'进而得到a=BE,解得BE=V2a:设CT=b,则 3 BT=BC-CT=2a-b,利用勾股定理列方程可得b=4;最后在Rt△CET中利用余弦的定义求解即可： ③分AE=BD、BE=BD、AB=BD三种情况，分别利用全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定 理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①如图所示，取AB的中点F,连接EF, D E F :四边形ABCD是平行四边形，， .AB∥CD,AB=CD」 ,△ABE为口ABCD的对边中点三角形， .E为CD的中点， 1 .DE =-CD 2 ,F为AB的中点， AF-BF-1AB 21 .'AF=DE, 又：AF∥DE, ∴.四边形ADEF是平行四边形， .EF=AD, AB=2AD 35/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EF=AD-1AB=AF-BF, 2 .∠FAE=∠FEA,∠FEB=∠FBE .∠FAE+∠FEA+∠FEB+∠FBE=180°， ∠FEA+∠FEB=90°，即∠AEB=90°： ②如图所示，过点E作ET⊥BC于T, D E B ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD,ABII CD,ADII BC ∴.∠CEB=∠EBA,∠BAD+∠D=∠C+∠D=180°， .∠C=∠BAD ,'∠AEB=∠DAB, ∴.∠C=∠BEA, .△AEBABCE, BE AB ·CEBE 设AB=BC=CD=2a, ,△ABE为口ABCD的对边中点三角形， CE-CD=d, BE 2a a=BE’ .BE=V2a或BE=-V2a(舍去)： 设CT=b,则BT=BC-CT=2a-b, 由勾股定理得ET2=BE2-BT2=CE2-CT2, .2a2-(2a-b)}2=a2-b2 :b=40, 3 3 在 中，cosC=C-49_3, a Rt△CET CE a 4 36/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .cos∠DAB=cosC=3 ③如图3-1所示，当AE=BD时，分别过点D、E作AB的垂线，垂足分别为G、H,则四边形DEHG是矩 形， DG-EH.GH-DE-CD-4. .RtADGBS≌RtEHA(HL). .AH =BG ∴.AH-GH=BG-GH, A4G=BH=4B,G0=2, 2 AH=8-2=6, .·AG=BH,∠AGD=∠BHE=90°，DG=EH. .△ADG≌aBEH(SAS). .BE=AD=8. 在RtABEH中，由勾股定理得EH2=EB2-HB2=60, Rt△AEH中，由勾股定理得AE=√AH+EH=√6+60=4V6, .AE+BE+AB=8+8+4V6=16+4V6. ∴此时AABE的周长为16+4V6;, D 9 H B 图3-1 如图3-2所示，当BE=BD时，过点B作BK⊥DE于K,过点A作AL⊥CD交CD延长线于L, x=欧0e-m-2 .CK=CE+KE=4+4=6 在RtABKC中，由勾股定理得BK2=BC2-CK2=28, 在RtABKE中，由勾股定理得BE=√BK2+EK2=4V2, 由菱形的性质可得CD∥AB, ·AL⊥CD,BK⊥CD」 37/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AL=BK, 在Rt△ADL中，由勾股定理得DL=√AD-AL2=6, EL=DL+DE=10, 在RtAAEL中，由勾股定理得AE=√AL+ED=62, .AE+BE+AB=8+4V2+8V2=8+122, ∴此时△ABE的周长为8+12√2. 图3-2 如图3-3所示，当AB=BD时，则由菱形的性质可得BD=CD=BC=AB,CD∥AB .△BDC是等边三角形， .BE⊥CD, ∴.BE⊥AB, 在Rt△BDE中，由勾股定理得BE=VBD2-DE2=4N3, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√AB2+BE2=4√7， AE+BE+AB=8+4V5+4V万. ∴此时△4BE的周长为8+4V3+4V7: D E B 图3- 综上所述，△ABE的周长为16+4V6或8+122或8+4V3+4√7， 拓展 链接中考 38/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 【分析】设正方形ABCD的边长为a,则CE=2a,利用正方形性质求出AC、CF的长及∠ACF=90°，在 Rt△ACF中利用正切定义求解. 【详解】解：连接AC,如图： G D 设BC=a, ,四边形ABCD和CEFG是正方形，CE=2BC, .AB=BC=CD=DA=a,CE=EF=FG=GC=2a,∠B=∠E=90°， .AC=AB2+BC2 =2a,CF=CE2+EF2=22a, :AC、CF分别是正方形ABCD、CEFG的对角线， .∠ACD=45°，∠GCF=45°， ∴.∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°. 在R△ACr中，m∠MC-C=,20-{ CF 22a 2 2.6 【分析】根据余角的性质及已知条件∠I=∠2推导出∠AOD=∠BOC，再根据锐角三角函数的定义在 RtAOBC中计算BC的长即可. 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜AB, ∴.∠1+∠A0D=90°，∠2+∠B0C=90°， ,1=∠2 .∠AOD=∠BOC, :tan∠A0D=3 4 ·tan∠BoC=3 在RtAOBC中，∠OBC=90°，OB=8. :tan∠BOC=BC-BC3 OB 8 4 .BC=6 39/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：原式=1+3-3-！+2 2 2 4.一定能，理由如下： 在BIARC中，ZC=90,s跏ZA=C7 AB 10 =0.47 sin28°≈0.47， .∠A≈28°， 28°<35°， ∴.该机器人一定能爬上斜坡AB, 【分析】根据正弦函数的定义计算sin∠A,求出∠A,与35°比较，结合题意即可得出结论 【详解】略 40/40 分层作业 23.1 锐角的三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 题型02 已知正切值求边长 题型03 正弦的概念辨析 题型04 已知正弦值求边长 题型05 余弦的概念辨析 题型06 已知余弦值求边长 题型07 特殊三角形的三角函数值 题型08 特殊角三角函数值的混合运算 题型09 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型10 利用同角三角函数关系求值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )正切的概念辨析 1．（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． ( 题型0 2 )已知正切值求边长 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点O，由同角的余角相等得，设，则，从而，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 在菱形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； 设，则， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正切的定义求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在中，， 根据正切的定义得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 则的长为． 6．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． ( 题型0 3 )正弦的概念辨析 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 8．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则锐角__________锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． ( 题型0 4 )已知正弦值求边长 10．（2026·广东深圳·二模）电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 11．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查根据正弦值求边长，根据正弦的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6． 12．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 题型0 5 )余弦的概念辨析 13．（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 14．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 15．（25-26九年级上·全国·单元复习）比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. ( 题型0 6 )已知余弦值求边长 16．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 17．（2026·山东淄博·二模）如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 18．（2026·安徽安庆·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ( 题型0 7 )特殊三角形的三角函数值 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． 【答案】 3 【分析】根据多边形的外角即可求出,进而可求出的长度，最后根据面积公式即可求解． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∵, ∴, ∴正方形的面积为：． ( 题型0 8 )特殊角三角函数值的混合运算 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解： 23．（26-27九年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解； （2）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ( 题型0 9 )由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 25．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 26．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 27．（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． ( 题型 1 0 )利用同角三角函数关系求值 28．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 29．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 30．（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 2．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）与按如图所示位置放置，已知，，点分别是边的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由中位线的判定与性质得到长度，在中，由正弦函数值定义代入线段长计算即可． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∵， ， 在中，，，， ∴． 4．（2026·云南楚雄·三模）如图，，过点作于点，过点作于点，则下列不能表示的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， . 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得，则垂直平分，则，证明是直角三角形，解即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 二、填空题 6．（湖南株洲市醴陵市明月镇中心学校（醴陵市明月镇大障中学）2025-2026学年九年级下学期4月学情自测数学试题）计算： ________________． 【答案】 【分析】根据，的特殊锐角三角函数值，再代入原式，按照二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 【答案】 直角三角形 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 8．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理可得到，即，然后根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ，， 在中， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得，， ， ． 9．（2026·浙江·一模）2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 【答案】 【分析】由题意易得米，米，，，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：米，米，，， ∵， ∴米， ∴，米． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ，， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 三、解答题 11．（25-26九年级下·陕西西安·期中）计算： 【答案】 【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、正弦，再化简二次根式、计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， ， 在中，． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（2026·宁夏吴忠·三模）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数并作图． 问题解决 (1)如图1，小亮同学在由边长为1的小正方形组成的网格中画出和，请你按照这个思路求_________；（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 (2)如图2，已知，都是锐角，，，则_________． (3)如图3，已知，，都是锐角，，，，则_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，利用等腰直角三角形的性质求解； （2）构造等腰直角三角形可得结论； （3）构造直角三角形可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C都在格点上， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，∵，， ∴， ∵点A，B，C都在格点上， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴； （3）解：如图， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南三门峡·一模）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 5．（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 二、填空题 6．（2026·广东河源·一模）计算：________． 【答案】0 【详解】解：原式 ． 7．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，相交于点O，交于点E，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，由正切的定义可得，证明垂直平分，得出，从而得出，进而可得，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， 的值为． 8．（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】根据题意，当，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案；当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当时， 如图，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴平分， 如图所示，过点P作于H，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 三、解答题 11．（26-27九年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入特殊三角函数值，再计算即可； （2）先计算绝对值、特殊三角函数值、零指数幂和算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． 13．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得，从而可求出； （2）过点作于点，过点作于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【详解】（1）解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． （2）解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴， ∴． （3）解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 15．（2026·山东聊城·二模）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得． （2）解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 16．（2026·广东深圳·模拟预测）【新知概念】在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形． 【基础应用】 (1)如图1，矩形中，点为边上一点，若，求证：为矩形的对边中点三角形． 【延伸拓展】 (2)在中，点为边上一点，为的对边中点三角形． ①如图2，若，则 ； ②如图3，若为菱形，且，求的值； ③若为菱形，边长为，当对边中点三角形的一边长与菱形的对角线相等时，请直接写出的周长． 【答案】(1)证明；∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点E是的中点， ∴为矩形的对边中点三角形； (2)①；②；③的周长为 【分析】（1）利用矩形的性质证明可得，再利用矩形的对边中点三角形的定义即可证明结论； （2）①如图所示，取的中点F，连接，证明四边形是平行四边形，可得，进而得到，再根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可；②如图所示，过点E作于T，根据菱形的性质可得，易证可得，设，进而得到，解得；设，则，利用勾股定理列方程可得；最后在中利用余弦的定义求解即可；③分、、三种情况，分别利用全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的对边中点三角形， ∴E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②如图所示，过点E作于T， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的对边中点三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，， ∴． ③如图所示，当时，分别过点D、E作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为； 如图所示，当时，过点B作于K，过点A作交延长线于L， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为． 如图所示，当时，则由菱形的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此时的周长为； 综上所述，的周长为或或． 1．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 2．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 3．（2026·广东·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $