26.3 二次函数与一元二次方程 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程”，核心内容包括二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数关系，以及利用函数图象求方程近似解。通过自主预习的预学思考，先回顾方程根的判别式，再关联函数图象特征，搭建从代数到几何的学习支架，衔接前后知识。 该资料以数形结合思想为主线，自主预习的知识点填空和自学检测帮助学生初步构建知识框架，合作探究的题型精讲（如交点与根的关系、近似解判断）培养直观想象和逻辑推理素养，课堂检测强化应用意识，分层设计助力学生逐步深化理解，提升运用代数方法解决函数问题的能力。

26.3 二次函数与一元二次方程 素养目标 1.知道二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,体会数形结合思想. 3.体会函数与方程的内在联系,发展直观想象、数形结合与逻辑推理素养,提升运用代数方法解决函数问题的能力. 重点 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 【自主预习】 预学思考 知识点一 利用一元二次方程解决二次函数问题 　　阅读课本26.3第1课时的内容,补全下列新知要点: 1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是 ,因此x= 是方程ax2+bx+c=0的一个根.  2.可通过根的判别式的情况确定二次函数的图象与x轴的公共点情况: 当Δ>0时,二次函数的图象与x轴有 个公共点;  当Δ=0时,二次函数的图象与x轴有 个公共点;  当Δ<0时,二次函数的图象与x轴 公共点.  知识点二 利用二次函数解决一元二次方程问题 　　阅读课本26.3第2课时的内容,补全下列新知要点: 利用二次函数的图象与x轴公共点的位置确定一元二次方程的根的近似值的方法如下: 1.作出二次函数y=ax2+bx+c的图象. 2.找到两个点(x1,y1),(x2,y2),一般x1,x2都为整数.若y1y2<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根.  3.取xm= ,计算它对应的函数值ym.若y1ym<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根;若ymy2<0,则方程ax2+bx+c=0在 之间有根.  4.不断重复上述步骤,直到找到满足精确度要求的根的近似值为止. 自学检测 1.二次函数y=x2-3x的图象与x轴的两个公共点的坐标分别为 ( ) A.(0,0),(0,3)　　　　 B.(0,0),(3,0) C.(0,0),(-3,0)　　　　 D.(0,0),(0,-3) 2.根据表中二次函数y=x2-2x-2的自变量x与函数值y的对应值估算一元二次方程x2-2x-2=0的一个根x的范围是 ( ) x -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 y=x2-2x-2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75 A.-0.9<x<-0.8　　　　　 B.-0.8<x<-0.7 C.-0.7<x<-0.6　　　　 D.-0.6<x<-0.5 【合作探究】 题型精讲 题型1 抛物线与x轴公共点的横坐标与一元二次方程根的关系 例1　已知二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的图象与x轴的一个公共点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根是 ( ) A.x1=1,x2=-1　　　　 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0　　　　 D.x1=1,x2=3 题型2 抛物线与x轴的公共点的个数与b2-4ac的关系 例2　已知函数y=x2-mx+m-2. (1)求证:不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的公共点. (2)若m=2,求函数与x轴的公共点的坐标. 题型3 根据表格信息或图象信息判断方程的近似解 例3　根据下表中的对应值判断: x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的取值范围是 ( ) A.3<x<3.23　　　　　　　 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25　　　　 D.3.25<x<3.26 题型4 直线与抛物线相交问题 例4　如图,直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B,C两点. (1)求抛物线的解析式. (2)如图,E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),△BEC的面积记为S,当S取何值时,对应的点E有且只有三个? 课堂检测 1.若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+bx=0的根为 ( ) A.x1=0,x2=2　　　　 B.x1=0,x2=4 C.x1=2,x2=4　　　　 D.x1=0,x2=-4 2.已知一次函数y=-2x与二次函数y=x2+bx+c的图象在第二象限内有两个公共点,则函数y=x2+(b+2)x+c的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.0　x0 2.2　1　没有 知识点二 2.x1,x2 3.　x1,xm　xm,x2 自学检测 1.B　2.B 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1　D 题型2 例2 解:(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0, ∴二次函数的图象与x轴恒有2个不同的公共点. (2)当m=2时,y=x2-2x,与x轴的公共点为(0,0),(2,0). 题型3 例3　C 题型4 例4 解:(1)当x=0时,y=-x+3=3,则B(0,3), 当y=0时,-x+3=0,解得x=4,则C(4,0), 把B(0,3),C(4,0)代入y=ax2+x+c得 所以该抛物线的解析式为y=-x2+x+3. (2)当点E在直线BC下方的抛物线上时,一定有两个对应的点E满足△BEC的面积为S, 所以当E点在直线BC上方的抛物线上时,只能有一个对应的E点满足△BEC的面积为S, 即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点, 设此时直线解析式为y=-x+b, 方程组只有一组解, 方程-x2+x+3=-x+b有两个相等的实数解, 则Δ=122-4×3×(-24+8b)=0,解得b=,解方程得x1=x2=2, 所以点E的坐标为(2,3), 此时S△BEC=×4×(3-)=3, 所以当S=3时,对应的点E有且只有三个. 课堂检测 1.B　2.B 学科网（北京）股份有限公司 $