26.4实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心是运用二次函数顶点坐标解决最大高度、面积等最值问题。课堂导入通过复习二次函数图象和性质，搭建旧知到实际应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 导学案以跳水高度、矩形菜园等实际情境为载体，引导学生抽象变量关系培养数学眼光，通过例题变式和中考演练提升推理与运算能力发展数学思维，习题分层设计助力巩固模型应用，强化数学语言表达，有效提升学生解决实际问题的能力。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决最大高度，最大面积问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决最大高度，最大面积问题。 学习难点： 运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 二、学习过程 （一）复习引入 说一说二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. （二）合作探究 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 分析 重心达到最高点的时间→二次函数取最大值时自变量的取值 重心的最大高度→二次函数的最大值 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11，当 t=- =- ≈0.3. 时，h有最大值 ==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m. 追问 你还有其他解法吗？ 解：∵h=-4.9t2+2.8t+11=-4.9(t-)2+11.4， ∴当t=≈0.3时，h取得最大值11.4， 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点， 最大高度为11.4 m. 思考 函数h=-4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗? 答：运动员在距离水面11米处起跳， 运动秒后到达11.4米的最高点， 起跳大约1.8秒后入水. 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即 S=-2x2+20x (0<x<10). 当x=- =- =5时， S有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 追问1 怎样确定自变量的取值范围？ ∵矩形菜园的边长为正数， ∴x>0，20-2x>0， 解得：0<x<10， ∴自变量x的取值范围是0<x<10. 追问2 你还有其他解法吗？ 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为10- m，矩形 菜园的面积 S=x(10-)， 即 S=-x2+10x (0<x<20). 化为顶点式得 S=-(x-10)2+50， ∴当x=10时，S有最大值50. 因此，当平行于墙的边长为10 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 归纳总结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.设自变量和函数； 2.列函数解析式； 3.定自变量取值范围. （三）典例分析x2−x−56=0 例题变式 如果例2中墙的长度为8 m，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即 S=-2x2+20x (6≤x<10). 化为顶点式得 S=-2(x-5)2+50， ∵-2<0，∴当x>5时，S随x的增大而减小， ∴当x=6时，S取得最大值，最大值=-2(6-5)2+50=48. 因此，当垂直于墙的边长为6 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48 m2. 例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 解：∵h=30t-5t2=-5(t-3)2+45， ∴当t=3时，h取得最大值45， 因此，小球运动的时间是3 s时，小球最高. 小球运动中的最大高度是45 m. 中考演练(2026陕西)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=−0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（   C  ） A．9 cm B．30 cm C．90 cm D．360 cm 中考演练(2024山东泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米． 分析 由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(60−2x)米， ∴0<60−2x≤40．∴10≤x<30． 菜园的面积=x(60−2x)=−2x2+60x=−2(x−15)2+450， ∴当x=15时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． （四）巩固练习 1. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18 m的篱笆围成，墙长DE=8 m，DF=12 m，则花园最大面积为（  B  ） A．72 m2 B．80 m2 C．81 m2 D．96 m2 分析 设AD=x m，则DC=(18−x) m， ∵墙长DE=8 m，DF=12 m， ∴0<x≤8，0<18−x≤12， 解得6≤x≤8， 花园的面积=x(18−x)=−x2+18x=−(x−9)2+81， ∴当x=8时，花园面积最大，最大面积为80 m2． 2. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是s=15t−6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是____． 解：∵s=15t−6t2=−6(t−)2+， ∴当t=秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 3. 如图所示，是一个长16 m、宽9 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x=____m． 解：由题意得， 修改后的花园面积=(16−x)(9+x)=−x2+7x+144， ∴当x=−=时，修改后的花园面积达到最大． （五）当堂检测 (2023山东菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 解：(1)设长为x米，面积为y平方米，则宽为米， ∴y=x×=−x2+40x=−(x−60)2+1200， ∴当x=60时，y取得最大值1200， 此时，宽为=20（米） 答：长为60米，宽为20米时，花园面积最大，最大面积为1200平方米． (2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200−a)平方米，由题意可得 25×2a+15×2(1200−a)≤50000 解得： a≤700， 即牡丹最多种植700平方米， 700×2=1400（株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第1，3，4题. B组题：习题26.4：第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决最大高度，最大面积问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决最大高度，最大面积问题。 学习难点： 运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 二、学习过程 （一）复习引入 说一说二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. （二）合作探究 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 分析 重心达到最高点的时间→ 重心的最大高度 → 追问 你还有其他解法吗？ 思考 函数h=-4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗? 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 追问1 怎样确定自变量的取值范围？ 追问2 你还有其他解法吗？ 归纳总结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （三）典例分析x2−x−56=0 例题变式 如果例2中墙的长度为8 m，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 中考演练(2026陕西)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=−0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（      ） A．9 cm B．30 cm C．90 cm D．360 cm 中考演练(2024山东泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 学习笔记 （四）巩固练习 1. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18 m的篱笆围成，墙长DE=8 m，DF=12 m，则花园最大面积为（    ） A．72 m2 B．80 m2 C．81 m2 D．96 m2 学习笔记 2. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是s=15t−6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 3. 如图所示，是一个长16 m、宽9 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x=____m． 学习笔记 （五）当堂检测 (2023山东菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第1，3，4题. B组题：习题26.4：第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $