26.3二次函数与一元二次方程（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.了解二次函数与一元二次方程的联系。 2.能将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，发展应用意识。 学习重点： 了解二次函数与一元二次方程的联系。 学习难点： 将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t−5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多长时间? 追问1 小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间? 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间? 追问3 小球从飞出到落地，需要多长时间? 追问4 你能结合图形谈一谈对以上四个结论的理解吗？ （四）巩固练习 中考演练(2026内蒙古)二次函数y=x2−9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．18 中考演练(2026四川内江)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1，0)、B(5，0)，下列说法正确的是（      ） A．c>0 B．4a−2b+c<0 C．b2−4ac<0 D．图象的对称轴是直线x=2 中考演练(2026四川南充)抛物线y=x2+mx+m−2与x轴交于A，B两点，且AB=，则m的值为 ． 学习笔记 1. 抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是（    ） A．(−1，0) B．(3，0) C．(0，3) D．(0，−3) 2. 二次函数y=mx2−3x−1的图象与坐标系横轴有交点，那么m的取值范围是 ． 学习笔记 （五）当堂检测 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m = ． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对应方程x2−2|x|=0有 个实数根； ②方程x2−2|x|=2有 个实数根； ③关于的方程x2−2|x|=a有4个实数根，a的取值范围是 ． （六）课堂小结 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： （七）布置作业 A组题：习题26.3：第1，3，4题. B组题：习题26.3：第6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.了解二次函数与一元二次方程的联系。 2.能将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，发展应用意识。 学习重点： 了解二次函数与一元二次方程的联系。 学习难点： 将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 解：抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1. ↓ 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. ↓ 方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1. 抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4. ↓ 当x=4时，函数值是0. ↓ 方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.→方程x2-x+1=0没有实数根. 归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t−5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多长时间? 分析 小球的飞行高度能否达到20 m ↓ 二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20 ↓ 一元二次方程20=20t−5t2有无实数根 解：当h=20时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20=20t−5t2， 即 t2−4t+4=0. 解方程，得 t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20， 即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 追问1 小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间? 解：当h=15时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程15=20t−5t2， 即 t2−4t+3=0. 解方程，得 t1=1，t2=3. ∴当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m. 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间? 解：当h=20.5时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20.5=20t−5t2， 即 t2−4t+4.1=0. 因为(−4)2−4 ×4.1<0，所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5 m. 追问3 小球从飞出到落地，需要多长时间? 解：当h=0时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程0=20t−5t2， 即 t2−4t=0. 解方程，得 t1=0，t2=4. ∴小球从飞出到落地，需要4 s. 追问3 你能结合图形谈一谈对以上四个结论的理解吗？ （四）巩固练习 中考演练(2026内蒙古)二次函数y=x2−9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（  B  ） A．3 B．6 C．9 D．18 中考演练(2026四川内江)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1，0)、B(5，0)，下列说法正确的是（  B   ） A．c>0 B．4a−2b+c<0 C．b2−4ac<0 D．图象的对称轴是直线x=2 中考演练(2026四川南充)抛物线y=x2+mx+m−2与x轴交于A，B两点，且AB=，则m的值为_1或3_． 分析 设A(x1，0)，B(x2，0)， 令y=0，得x2+mx+m−2=0， 由根与系数的关系得x1+x2=−m，x1x2=m−2， ∴AB2=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=m2−4m+8， ∵AB=，∴m2−4m+8=5， 解得m=1或m=3． 1. 抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是（ D   ） A．(−1，0) B．(3，0) C．(0，3) D．(0，−3) 2. 二次函数y=mx2−3x−1的图象与坐标系横轴有交点，那么m的取值范围是__m≥− 且m≠0__． 分析 ∵ y=mx2−3x−1是二次函数，∴m≠0． ∵ 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， ∴ 一元二次方程 mx2−3x−1=0 有实数根， ∴ Δ=b2−4ac=(−3)2−4×m×(−1)=9+4m≥0． 解不等式得 m≥− ． ∴m的取值范围是m≥− 且m≠0． （五）当堂检测 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m = 0 ． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． 解：根据表格描点，连线，图象的另一部分如图所示： （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： 解：函数的性质如下：①函数图象关于y轴对称. ②当x<−1或0<x<1时，y随x的增大而减小； 当−1<x<0或x>1时，y随x的增大而增大. （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 3 个交点， 所以对应方程x2−2|x|=0有 3 个实数根； ②方程x2−2|x|=2有 2 个实数根； ③关于的方程x2−2|x|=a有4个实数根，a的取值范围是 −1<a<0 ． （六）课堂小结 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： （七）布置作业 A组题：习题26.3：第1，3，4题. B组题：习题26.3：第6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $