第二章 有理数的运算能力提升自测卷-2026-2027学年浙教版 七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数运算，以济南游客数据、新能源汽车行驶等真实情境为载体，通过基础计算、数轴应用、新定义运算等梯度题型，实现知识巩固与能力提升，适配初中数学第二章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、绝对值、数轴折叠|第1题结合社会热点考查科学记数法，第7题以数轴折叠体现几何直观| |填空题|4/12|有理数大小比较、投资方案选择|第13题通过两种投资方案对比培养应用意识| |解答题|7/58|新定义运算、规律探究、实际应用|第16题新能源汽车电量计算强化运算能力，第21题综合实践以面积折叠探究规律，发展创新意识|

第二章 有理数的运算能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 3．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 5．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0D．2025 6．数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 7．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 8．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 10．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若，，且，则______． 12．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 13．现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 14．材料：N进制数与十进制数之间的转换，只要将N进制数的每个数字依次乘基数N的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数，规定：．如：．现有六进制数，八进制数，则_____． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)； (3) 16．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 17．新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 18．为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 19．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 20．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 21．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为1的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形1，把再按刚才的方法对折，得到第2个长方形的面积又是长方形1的面积的一半即，依次操作下去．．．，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是____________； 知识应用 操作第10次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是____________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想．求的值为____________； （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据183000用科学记数法表示为． 2．计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：． 3．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 4．下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 5．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 6．数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 【答案】A 【分析】分所求点在已知点左侧、右侧两种情况计算，避免漏解. 【详解】解：由题意，， 即数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是和. 7．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 8．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序题型，有理数的加法和乘法运算，周期规律的探索，解题的关键是找出周期规律． 根据程序运算得出结果，探索出周期规律，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 第一次输出结果为24， 第二次输出的结果为12， 第三次输出的结果为6， 第四次输出的结果为3， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为3， 第七次输出的结果为， …… 往后计算为周期为2的循环规律， ∴第2025次输出循环的周期个数为， ∴第2025次输出的结果为6， 故选：B． 10．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若，，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、平方的定义，根据绝对值和平方的性质，确定和的可能值，再结合同号条件筛选，最后求和. 【详解】解：， 或， ， 或， ， 和同号， 当，时，； 当，时，. 12．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及相反数的概念，解题的关键是根据数轴上点的位置确定、的取值范围，再求出、的范围，进而比较五个数的大小； 先由数轴得出，，再推出，，最后比较、、、、的大小． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，， ∴ ， 故五个数中最大的是． 故答案为：． 13．现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据方案分别算出两种回报的总钱数，再进行比较即可． 【详解】解：方案一的总回报：（元）； 方案二最后一天的回报：（元）， 总回报：（元）， ， 故答案为：二． 14．材料：N进制数与十进制数之间的转换，只要将N进制数的每个数字依次乘基数N的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数，规定：．如：．现有六进制数，八进制数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 将六进制数和八进制数转换为十进制数，然后计算它们的差． 【详解】解：六进制数转换为十进制： 八进制数转换为十进制： 因此， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式根据有理数减法法则变形后再运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16.小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 17．新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 18．为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 19．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数； (2)； (3)B 【分析】（1）根据所给算式总结即可； （2）根据（1）中的运算法则计算即可； （3）可通过举反例来判断； 本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； ③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数． 故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数． （2） ． （3）假设 则 ， ， 此时，则结合律不成立； 故选：B． 20．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 【答案】(1)，； (2)①；②，； (3)爷爷现在的年龄是岁，妙妙现在的年龄是岁． 【分析】本题考查了数轴的应用，绝对值的非负性，有理数的乘方． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）①由题意可知，根据，求出，可得，即可求出玩具火车的长； ②根据，，，求出，即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把妙妙与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷与妙妙大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，妙妙与爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比妙妙大，可求爷爷和妙妙的年龄． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即，， 故答案为：，； （2）①解：由题意可知， ∵在数轴上点A表示数a，点B表示数b，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：∵，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：如图： 借助数轴，把妙妙与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比妙妙大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 妙妙比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比妙妙大， 可知爷爷的年龄为（岁），妙妙的年龄为（岁） 故爷爷现在的年龄是岁，妙妙现在的年龄是岁． 21．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为1的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形1，把再按刚才的方法对折，得到第2个长方形的面积又是长方形1的面积的一半即，依次操作下去．．．，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是____________； 知识应用 操作第10次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是____________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想．求的值为____________； （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：． 【答案】规律发现：； 知识应用：； （1）； （2）． 【分析】本题考查了有理数的运算、规律型问题的求解、数形结合思想的运用等知识与方法，正确地找出长方形面积的变化规律是解题的关键． 规律发现：根据找到的规律即可解题； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来相当于从第一个长方形的面积中把最后一个长方形的面积减去，即可解题； （1）由问题情境的方法进行计算； （2）转化成计算即可． 【详解】解：规律发现：折叠1次：长方形的面积为； 折叠2次：长方形的面积为； 折叠3次：长方形的面积为； ； 折叠次：长方形的面积为； 操作第10次后，剪下的第10个长方形的面积是； 故答案为：； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来应该是：； 故答案为：； （1）由问题情境得； （2） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $