2.5-2.7 有理数的乘方和有理数的混合运算（知识解读）-2026-2027学年浙教版七年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦乘方、科学记数法、近似数核心知识点，系统梳理乘方定义、符号法则、混合运算顺序，衔接乘方逆运算、符号规律及应用，延伸至科学记数法表示大数和近似数的四舍五入与精确度，构建完整知识链作为学习支架。 资料以10类题型为载体，通过“拉面问题”“算24点”等实例培养应用意识，概念辨析题提升抽象能力，混合运算题强化运算能力，典例与变式结合助力教师授课，随堂检测便于学生课后查漏补缺。

2.5-2.7 乘方（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1·有理数幂的概念理解】 2 【题型·2·有理数的乘方运算】 3 【题型·3·有理数乘方逆运算】 5 【题型·4·乘方运算的符号规律】 6 【题型·5·乘方的应用】 8 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 10 【题型·7·算“24”点】 13 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 14 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 18 【题型·10·近似数的有关概念】 19 知识点1 乘方 1.乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an a：底数，表示相乘的因数 n：指数，表示相同因数的个数 An叫做幂，读作：a的n次方。 ⚠️易错区分： (-2)4：底数是-2，表示 4 个-2相乘； -24：底数是2，表示24的相反数。 2.乘方符号法则e 1.-正数的任何次幂都是正数; 2.+负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负; 3.-0的任何正整数次幂都等于 0。 3.·有理数混合运算顺序。 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减; 2.同级运算，从左向右依次计算; 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型·1·有理数幂的概念理解】 【典例1】关于的说法正确的是（       ） A．底数是−9 B．表示4个−9相乘 C．表示9个−4相乘 D．底数是9，指数是4 【答案】D 【分析】根据乘方的定义解决此题即可． 【详解】解：A．根据乘方的定义，中的底数是9，故A错误； BC．根据乘方的定义，表示4个9相乘的积的相反数，故BC错误； D．根据乘方的定义，的底数是9，指数是4，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键． 【变式1-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义，即可求解． 【详解】解∶ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握求几个相同因数乘积的运算是乘方是解题的关键． 【变式1-2】表示的意义是（    ） A．与3相乘 B．与3相加 C．3个相乘 D．3个相加 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的意义，表示个的积． 【详解】解：； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方，关键是理解（为正整数）的意义． 【变式1-3】比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 【答案】D 【分析】根据有理数幂的概念解答即可． 【详解】解：的底数是3，指数是3，表示3个3的乘积的相反数，运算结果为， 的底数是，指数是3，表示3个的乘积，运算结果为， 故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同， 所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答的关键是熟练掌握有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数． 【题型·2·有理数的乘方运算】 【典例2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解： A： ，故该选项不合题意； B： ， 故该选项不合题意； C： ， 故该选项不合题意； D： ，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列各组数中结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，通过计算每组表达式的值，判断是否相等．注意指数运算的优先级和负号的位置． 【详解】解：对于选项A：，，，不合题意； 对于选项B：，，，符合题意； 对于选项C：，，，不合题意； 对于选项D：，，，不合题意； 故选：B． 【变式2-2】下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值等知识， 通过直接计算每个选项的两个表达式的值，判断是否相等即可． 【详解】解：A．∵ ，， ，∴和不相等； B．∵ ，， ，∴和不相等； C．∵ ，， ，∴和不相等； D．∵ ，，∴和相等； 故选：D． 【变式2-3】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个等式的左右两边的数值，判断是否相等． 【详解】解：A：∵ ，，∴ ，正确； B：∵ ，，∴ ，错误； C：∵ ，，∴ ，错误； D：∵ ，，∴ ，错误． 故选：A． 【题型·3·有理数乘方逆运算】 【典例3】已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的大小比较，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点；根据绝对值，乘方的定义，有理数的大小比较求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，的值为， 当时，的值为， 的值为或． 故选：． 【变式3-1】若，，且，那么的值是（    ） A．或 B．1或 C．5或 D．5或1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先利用绝对值和有理数乘方的性质求出，，再分4种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，，则，符合题意，此时； 当，，则，符合题意，此时； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； ∴综上所述，的值是5或1． 故选：D． 【变式3-2】若有理数满足，，且，则的值为（　　） A．或1 B．7或1 C．7或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的性质，熟练掌握绝对值和平方的意义是解题的关键．由已知可得，或，，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 故选：D． 【变式3-3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【题型·4·乘方运算的符号规律】 【典例4】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 【变式4-1】已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选C 【点睛】本题考查的是有理数的乘方的法则，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式4-3】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 【题型·5·乘方的应用】 【典例5】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再这伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出1024根面条，需要拉伸的次数是（   ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方在找规律问题中的应用，熟练掌握乘方的意义以及寻找规律的方法是解题的关键． 通过分析每次拉伸后面条数量的规律，建立指数方程求解拉伸次数． 【详解】解：∵第一次拉伸后面条数量为根， 第二次为根， 第三次为根， 以此类推，第次拉伸后面条数量为根． 令， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式5-1】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及加减运算，解题的关键是理解题意；由图可知即图中①②③④⑤的面积和，然后根据整体思想利用正方形的面积减去剩下部分的面积即可求解． 【详解】解：由图可知：； 故选B． 【变式5-2】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用．每天截取剩余木棍的一半，总截取长度可用总长度减去剩余长度求得． 【详解】解：原木棍长1米，每天截取后剩余长度为前一天的．第5天截取后剩余长度为：（米）， 总截取长度为原长减去剩余长度：（米） 故第5天截取后总长度为米， 故选：D． 【变式5-3】阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可. 【详解】设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即， 即， 故选：B. 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 【典例6】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入，则输出的结果是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据程序流程图列式计算即可得解，读懂程序流程图，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由程序图可知，若输入， 则 ， 第二次， 则 ， 输出的结果是， 故选：C． 【变式6-1】按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A． B．12 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，根据流程图列出算式是解题的关键．根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：若开始输入的值为， ∴ ∴ ∴最终输出的结果是11． 故选：C． 【变式6-2】如图，小明做了一个程序图，当输入的数为0时，n的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据流程图计算和有理数混合运算，解决本题的关键是看懂流程图并正确的计算； 根据程序流程图列式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为2， ∴， 故选：D； 【变式6-3】如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是（   ） A．7 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了理数的混合运算，程序框图的含义．熟练掌握以上知识点是关键． 根据题目所给程序步骤，将代入计算即可求解． 【详解】解：根据题目所给程序步骤，将代入计算得： 当时，， 当时，． ∴输出的数是7． 故选：A． 【题型·7·算“24”点】 【典例7】有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃，李老师拿出这4张牌给同学们算“”，竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次，注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内，算式是_______．（只列出一式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用—算“点”．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 由题意知，根据，构造，即满足要求，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴算式可以是， 故答案为：． 【变式7-1】有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子： 现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-2】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 【变式7-3】“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解“算24”的游戏规则，灵活运用运算法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 【典例8】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-3】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点2 科学记数法 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据183000用科学记数法表示为． 【变式9-1】被誉为“新世界七大奇迹”之一的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 【变式9-2】据联合国近期公布的数字，我国内地吸引外来直接投资已居世界第四，年期间，吸引外资累计为亿美元，用科学记数法表示正确的是（     ）亿美元 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为 ，要求 ， 为整数， 的值等于原数的整数位数减1. 【详解】解：∵原数为 ，是4位整数， ∴， 又∵，符合科学记数法对的要求， ∴， 因此选B. 【变式9-3】安徽省2025年第二季度制造业产值为亿元，其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得亿； 知识点3 近似数 1.求一个数的近似数 常用方法:四舍五入法。 按照指定的精确度，观察下一位数字，大于等于5 进1，小于5 舍去示例:元≈3.14(精确到百分位) 2.求近似数的精确度 精确度:看近似数最后一位数字所在的数位。 示例:2.40，最后一位在百分位，精确到百分位; 2.40 x 10³还原后为 2400，末位 0 在十位，精确到十位。 注意:近似数末尾的 0不能随意去掉，2.4和2.40精确度不一样， 【题型·10·近似数的有关概念】 【典例10】用四舍五入法，按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，根据四舍五入法，分别计算每个精确度的近似值，判断错误选项即可． 【详解】解：∵精确到十分位，需看百分位，0.05019的百分位是5，，∴进位，得0.1，A正确； ∵精确到百分位，需看千分位，0.05019的千分位是0，，∴舍去，得0.05，B正确； ∵精确到千分位，需看万分位，0.05019的万分位是1，，∴舍去，得0.050，但选项C为0.05（仅两位小数），未保留千分位，∴C错误； ∵精确到0.0001（万分位），需看十万分位，0.05019的十万分位是9，9≥5，∴进位，得0.0502，D正确； 故选：C． 【变式10-1】由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的法则． 需先将以“万”为单位的近似数还原为普通整数，再根据最后一个有效数字所在的数位确定精确到的数位． 【详解】解：∵万， ∴近似数万中最后一个有效数字8位于百位， 即该近似数精确到百位， 故选：C． 【变式10-2】一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（   ） A．3.08 B．3.05 C．2.89 D．2.95 【答案】D 【分析】本题考查近似数，分别按“四舍五入”法保留一位小数求出各选项的近似数，即可解答． 【详解】解：A、（保留一位小数），故不符合题意； B、（保留一位小数），故不符合题意； C、（保留一位小数），故不符合题意； D、（保留一位小数），故符合题意． 故选：D． 【变式10-3】下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握判断近似数精确位数的方法是解题的关键．先将以“万”为单位的数还原，再根据末位数字所在的数位判断精确度，最后逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵万， ∴最后一个有效数字在百位， ∴万精确到百位，不是百分位，故A项错误； ∵万， ∴最后一个有效数字在十位， ∴万精确到十位，不是万位，故B项错误； ∵的末位数字在个位， ∴精确到个位，故C项正确； ∵的末位数字在千分位，的末位数字在百分位， ∴和的精确度不同，故D项错误， 故选：C． 随堂检测 【随堂检测】 1．数据2200000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 2．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据绝对值的性质、相反数的性质和乘方运算的法则逐一计算即可． 【分析】解：A．，此选项不符合题意； B．，此选项不符合题意； C．，此选项符合题意； D．，此选项不符合题意； 3．近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确位数，解题的关键是将带单位的近似数转化为实际数值，再确定最后一位有效数字对应的数位． 将“3.5万”转化为具体数值，根据有效数字的位置判断其精确到的数位． 【详解】解：因为3.5万， 观察转化后的数值，其中数字“5”位于千位上， 所以近似数3.5万精确到千位． 故选：D． 4．定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 5．如图，是一个简单的运算程序，如果输出的结果为，则输入的数为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，解一元一次方程，根据流程图，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得； 故选B． 6．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（    ） A．13 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，根据二进制转十进制的规则，从右到左每一位乘以2的幂次并求和即可得到答案． 【详解】解：， ∴将二进制数转化成十进制数的结果为11， 故选：B． 7．根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【分析】观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 8．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 9．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5-2.7 乘方（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1·有理数幂的概念理解】 2 【题型·2·有理数的乘方运算】 2 【题型·3·有理数乘方逆运算】 3 【题型·4·乘方运算的符号规律】 3 【题型·5·乘方的应用】 3 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 4 【题型·7·算“24”点】 5 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 6 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 7 【题型·10·近似数的有关概念】 8 知识点1 乘方 1.乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an a：底数，表示相乘的因数 n：指数，表示相同因数的个数 An叫做幂，读作：a的n次方。 ⚠️易错区分： (-2)4：底数是-2，表示 4 个-2相乘； -24：底数是2，表示24的相反数。 2.乘方符号法则e 1.-正数的任何次幂都是正数; 2.+负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负; 3.-0的任何正整数次幂都等于 0。 3.·有理数混合运算顺序。 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减; 2.同级运算，从左向右依次计算; 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【题型·1·有理数幂的概念理解】 【典例1】关于的说法正确的是（       ） A．底数是−9 B．表示4个−9相乘 C．表示9个−4相乘 D．底数是9，指数是4 【变式1-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】表示的意义是（    ） A．与3相乘 B．与3相加 C．3个相乘 D．3个相加 【变式1-3】比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 【题型·2·有理数的乘方运算】 【典例2】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各组数中结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-2】下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型·3·有理数乘方逆运算】 【典例3】已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【变式3-1】若，，且，那么的值是（    ） A．或 B．1或 C．5或 D．5或1 【变式3-2】若有理数满足，，且，则的值为（　　） A．或1 B．7或1 C．7或 D．或 【变式3-3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【题型·4·乘方运算的符号规律】 【典例4】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式4-3】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【题型·5·乘方的应用】 【典例5】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再这伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出1024根面条，需要拉伸的次数是（   ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【变式5-1】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-3】阅读材料：求的值． 解：设，记为①式，将①式两边同时乘以2得： ，记为②式， 将②式减去①式，得即 即 仿照此法计算（其中为正整数）的结果为（   ） A． B． C． D． 【题型·6·程序流程图与有理数计算】 【典例6】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入，则输出的结果是（    ） A． B．7 C． D． 【变式6-1】按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A． B．12 C．11 D．10 【答案】C 【变式6-2】如图，小明做了一个程序图，当输入的数为0时，n的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式6-3】如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是（   ） A．7 B． C．5 D．11 【题型·7·算“24”点】 【典例7】有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃，李老师拿出这4张牌给同学们算“”，竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次，注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内，算式是_______．（只列出一式即可） 【变式7-1】有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子： 现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为________ 【变式7-2】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 【变式7-3】“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是______． 【题型·8·含乘方的有理数混合运算】 【典例8】计算： (1)． (2) 【变式8-1】计算： (1)； (2) 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 知识点2 科学记数法 科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【题型·9·用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】被誉为“新世界七大奇迹”之一的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】据联合国近期公布的数字，我国内地吸引外来直接投资已居世界第四，年期间，吸引外资累计为亿美元，用科学记数法表示正确的是（     ）亿美元 A． B． C． D． 【变式9-3】安徽省2025年第二季度制造业产值为亿元，其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 知识点3 近似数 1.求一个数的近似数 常用方法:四舍五入法。 按照指定的精确度，观察下一位数字，大于等于5 进1，小于5 舍去示例:元≈3.14(精确到百分位) 2.求近似数的精确度 精确度:看近似数最后一位数字所在的数位。 示例:2.40，最后一位在百分位，精确到百分位; 2.40 x 10³还原后为 2400，末位 0 在十位，精确到十位。 注意:近似数末尾的 0不能随意去掉，2.4和2.40精确度不一样， 【题型·10·近似数的有关概念】 【典例10】用四舍五入法，按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【变式10-1】由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【变式10-2】一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（   ） A．3.08 B．3.05 C．2.89 D．2.95 【变式10-3】下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 随堂检测 【随堂检测】 1．数据2200000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 3．近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 4．定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是一个简单的运算程序，如果输出的结果为，则输入的数为（   ） A．4 B． C． D． 6．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（    ） A．13 B．11 C．10 D．9 7．根据规律，“？”处应填___________． 8．计算：_______． 9．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 10．计算： (1)； (2) 11．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $