2.3-2.4 有理数的乘法与除法（知识解读)-2026-2027学年浙教版七年级数学上册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理从乘法法则（同号得正、异号得负及绝对值积）、倒数概念与求法（分数、整数、小数等类型）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律），到多个有理数相乘符号法则，再到除法法则（除以倒数、符号法则）、乘除混合运算转化，最终到四则混合运算及实际应用的完整知识链，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于题型系统归纳（9大题型含例题与变式），通过逆用乘法分配律等简便运算题培养运算能力与推理意识，结合杨梅销售、水果店盈利等实际应用题发展模型意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与现实问题解决能力。

2.3-2.4 有理数的乘法与除法（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 3 【题型 3·倒数】 6 【题型 4·有理数乘法运算律】 7 【题型 5·有理数的除法运算】 10 【题型 6·有理数乘除混合运算】 12 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 15 【题型 8·有理数四则混合运算】 18 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 22 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-1】计算的结果为（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据“同号得正，异号得负，再把绝对值相乘”的规则计算即可． 【详解】解：． 【变式1-2】计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法运算，掌握有理数乘法法则即可直接计算出结果． 【详解】解：． 【变式1-3】计算：____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则并正确计算是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的乘法规则，多个有理数相乘，先确定乘积符号，再利用乘法交换律、结合律简化计算，最后计算绝对值得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2-3】计算：． 【答案】． 【分析】此题主要考查有理数的乘法运算，熟知有理数乘法运算的法则是解题的关键． 直接利用有理数乘法运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式 ． 【题型 3·倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为． 【变式3-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义是乘积为的两个数互为倒数直接求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：B． 【变式3-2】若a，b互为倒数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本道题主要考查了倒数的定义及性质，解题的关键是熟记倒数的定义与性质； 根据倒数的定义，a与b互为倒数则，代入计算即可． 【详解】因为a，b互为倒数， 所以． 所以． 故答案为：． 【变式3-3】的倒数的绝对值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查倒数和绝对值的概念．先求给定数的倒数，再求该倒数的绝对值即可． 【详解】解：的倒数为．的绝对值为，即的倒数的绝对值是6． 故答案为6． 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： 【答案】258 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，逆用乘法分配律，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】计算：． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，运用乘法分配律计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4-2】如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法公式，解决本题的关键是熟练并灵活运用乘法公式. （1）利用乘法分配律简便运算. （2）利用乘法分配律简便运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式4-3】下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法分配律的逆用，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加法，然后计算乘法即可得； （2）先根据有理数乘法分配律的逆用将原式变形为，再计算加减法，然后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键； （1）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （2）利用两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算即可； （3）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （4）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答； （5）根据0除以任何一个非零的数等于0即可； （6）根据除以一个数等于乘以它的倒数即可解答；； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式5-1】计算： (1)． (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 利用有理数的除法法则计算各题即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式5-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握有理数除法运算法则. （1）先定符号，将带分数转化为假分数，再将除法转化为乘法进行运算. （2）先定符号，将分数转化为转化为整数加分数，再利用乘法分配律简便运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算： （1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可； （2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式6-1】计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化除为乘，再由2个负因数确定结果符号为正，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （2）先化除为乘，再由2个负因数确定结果符号为正，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （3）先化除为乘，再由1个负因数确定结果符号为负，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （4）先化除为乘，再由1个负因数确定结果符号为负，最后按照有理数的乘法法则计算即可； 本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ．    （2）解：原式 ．    （3）解：原式 ．    （4）解：原式 ． 【变式6-2】计算下列各题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算、有理数的运算律、有理数的混合运算， （1）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先根据有理数的混合运算法则和运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-3】计算下面各题． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分数的乘除混合运算，解题的关键是掌握分数乘法和除法的计算法则（分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分；分数除法：除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数）． （1）分数连乘运算，按从左到右顺序，先约分再计算； （2）分数连除运算，先把除法转乘法（乘倒数），再按分数连乘计算； （3）分数乘除混合运算，把除法转乘法后约分计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-1】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 【变式7-2】脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2700 (2)66 (3)1000 (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、运算律，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用逆用乘法分配律简便运算即可； （2）利用加法交换律和结合律简便运算即可； （3）利用乘法交换律和结合律简便运算即可； （4）先把除法转化为乘法，再逆用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-3】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及加减乘除运算，需掌握运算顺序和符号法则． （1）根据有理数的减法进行计算即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加法即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号和绝对值，再按照有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）按照有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先算括号内的运算，再按照有理数的乘除法运算法则求解即可； （3）先将除法变成乘法，再按照乘法分配律的逆运算进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)80 (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除及乘方运算法则，根据运算顺序求解是解决问题的关键． （1）先根据变号法则去括号，再进行加减计算； （2）根据除一个数等于乘它的倒数将除法改为乘法，再按乘法法则计算； （3）根据除一个数等于乘它的倒数将除法改为乘法，再根据乘法分配律计算； （4）先计算乘方，绝对值，乘法，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【答案】(1)4； (2)1423元 【分析】（1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据每千克售价乘以重量列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“精品杨梅”的质量大于等于5千克，即其与标准质量的差值大于等于0．表格中差值大于等于0的有，共4盒，所以“精品杨梅”有4盒， 最重的一盒杨梅（千克）． （2）解：由题意得： （元） 答：出售这批杨梅总共1423元． 【变式9-1】某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1) 这箱苹果的总质量是千克 (2) 全部售出可获利元 【分析】（1）根据箱苹果，每箱千克，用再把多的加上，少的减掉； （2）用销售额减去进价即可得到所获得的利润． 【详解】（1）解：（千克）， 答：这箱苹果的总质量为千克； （2）解： （元）， 答：全部售出可获利元． 【变式9-2】某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米 (2)这次养护小组的汽车共耗油升 【分析】（1）利用正负意义的量及有理数加减混合运算法则即可求解； （2）先求出高速公路养护小组当天的行驶总路程，再乘以汽车行驶每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解： (千米)， 答：养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米． （2）解： （千米）， ∴（升）． 答：这次养护小组的汽车共耗油升． 【变式9-3】普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ 【答案】(1)24 (2)30袋样品一共3003克，总计超过3克 【分析】（1）先求出超过部分多于及不足部分多于的不合格袋数，即可求得质量合格的袋数； （2）计算出30袋的标准总质量和30袋与标准质量的总偏差， 即可求得样品总质量和超过或者不足多少克． 【详解】（1）解：由表知：超过部分多于及不足部分多于的袋数共有：（袋）， ∴这批抽样茶叶中质量合格的共有（袋）． （2）解：30袋的标准总质量为， 30袋与标准质量的总偏差为 ， ∴30袋样品一共，总计超过标准质量， 答：30袋样品一共3003克，总计超过3克． 随堂检测 【随堂检测】 1．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 4．如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴原点左侧的数为负数，在数轴原点右侧的数为正数；数轴上的点到原点的距离表示该数的绝对值；A选项用有理数加法法则判断，B选项用有理数减法法则判断，C选项用有理数乘法法则判断． 【详解】解：由图可知：，，，故选项D符合题意； ，异号相加，取绝对值大的符号，即，故选项A不符合题意； ，减去一个数等于加上这个数的相反数，即，，负数加负数等于负数，，故选项B不符合题意； ，负数乘正数等于负数，，故选项C不符合题意． 5．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 6．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 7．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 8．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可； （2）先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 (1)若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ (2)若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 【答案】(1)元 (2)再过周粮库储存的粮食会降低到吨 【分析】（1）根据 “运进的粮食装卸费运出的粮食装卸费这一周要付的装卸费”列式化简即可； （2）先求出进出记录的和，判断增减，再列式计算即可． 【详解】（1）解： ； 答：这一周要付的装卸费一共是元钱． （2）解： (吨)， ∵结果为负, ∴每周粮库中的粮食都会减少10吨， ∴（周）， 综上所述，再过9周会降低到100吨． 11．王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【详解】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3-2.4 有理数的乘法与除法（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 3 【题型 3·倒数】 3 【题型 4·有理数乘法运算律】 4 【题型 5·有理数的除法运算】 5 【题型 6·有理数乘除混合运算】 6 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 7 【题型 8·有理数四则混合运算】 8 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 9 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算的结果为（     ） A．1 B． C．5 D． 【变式1-2】计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【变式1-3】计算：____． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】计算： (1)； (2) 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】计算：． 【题型 3·倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C． D．2 【变式3-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若a，b互为倒数，则的值为__________． 【变式3-3】的倒数的绝对值是_____． 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 【变式4-3】下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式5-1】计算： (1)． (2) (3)． 【变式5-2】计算： (1)． (2)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)． 【变式6-1】计算 (1) ． (2)． (3)． (4)． 【变式6-2】计算下列各题： (1)； (2)； 【变式6-3】计算下面各题． (1) (2) (3) 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式7-1】简便计算： (1)； (2)． 【变式7-2】脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 【变式7-3】用运算律简便运算 (1) (2) 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】计算题 (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】计算： (1)； (2)； 【变式8-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式8-3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中一盒质量大于等于5千克的杨梅称为“精品杨梅”． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） (1)这6盒杨梅中“精品杨梅”有___________盒，最重的一盒杨梅___________千克； (2)若“精品杨梅”每千克售价50元，其他杨梅每千克售价40元，则出售这批杨梅总共多少元？ 【变式9-1】某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 【变式9-2】某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【变式9-3】普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ 随堂检测 【随堂检测】 1．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 4．如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 6．计算： ______． 7．计算的结果是________． 8．若规定，则________． 9．计算： (1)； (2)； 10．某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 (1)若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ (2)若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 11．王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $