第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷(一）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元测试卷，通过11道选择（58分）、3道填空（15分）、5道解答（77分）的梯度设计，覆盖空间向量运算、线面关系等核心知识，适配单元复习，助力数学抽象、逻辑推理与直观想象素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|空间向量共线（第1题）、对称点距离（第2题）、法向量应用（第3题）|基础巩固与概念辨析结合，如第6题考查基底判定| |填空题|3/15|四点共面（第12题）、异面直线夹角（第13题）|聚焦空间量计算，如第14题动点距离最小值| |解答题|5/77|平行六面体棱长（第16题）、二面角求解（第17题）|综合考查逻辑推理与空间想象，如第19题动态二面角范围|

空间向量与立体几何单元测试卷(一）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解】由题意可知，即，解得. 2．在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 点关于原点的对称点为， 所以点与的距离为， 3．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误． 4．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由可得， 故，故， 5．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 6．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时， ，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 7.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解】取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且， 以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，， ，，，， 三棱锥中， 为直角三角形，所以， 因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为， ，，，，，共面， ，，， ， 平面，，平面，平面， 点轨迹为矩形的四边，如图所示， ，为平面的法向量， 则球心到平面的距离为， 球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C 若，则，，，四点共面 D. 若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解】对于A：由于 则在的投影向量为,故A错误; 对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故 整理得故 故故B正确； 对于C：由于对于 故四点不共面，故C错误. 对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即 所以在基底下满足 整理得解得故，解得， 则在基底下的坐标为故D正确. 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ，故，D正确. 11．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解】以为原点，为轴，为轴，​为轴，建立如图空间直角坐标系， ，设， ，， 所以 故异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 过作，垂足为，因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面，又，故， 又，，平面， 所以平面，平面， 故.所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 而DE=1，故此时的轨迹方程为， 联立 ​，得，， 因为平面，平面， 所以， 根据二面角定义可知​是二面角的平面角， 则 ，故 B正确； 而直角三角形外心为中点，设外接球心为， 由球心到各点距离相等得，即， 解得​，半径，体积 ，故C错误； 得，故，因为的轨迹方程为， 设，得 ， 而，故，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数的值为________. 【答案】1 【解】∵,, ∴,，， ∵四点共面，故根据空间向量基本定理 可知存在实数，使得， 则有 ，解得， 13．在三棱锥中，，，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为________． 【答案】 【解】因为在三棱锥中，，，，， 所以 又由题知所以，所以， 所以. 又因为，，所以， 所以异面直线与所成的角的余弦值为 14．如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则，设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解】（1）． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，，得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以三角形ABC的面积． 16．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解】（1）. （2）证明：因为 ，所以. （3）因为， 所以， .所以. 17如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； (2)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解】（1）连结BE交AD于G，连结FG． 因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点． 因为点F为CE的中点，所以FG是的中位线． 所以，又平面ADF，平面ADF， 所以平面ADF． （2）因为四边形ABDE是矩形，所以． 因为，，且平面，平面， 所以平面ABC， 因为，所以平面ABC． 所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz． 所以，，，，，． 所以，． 设平面ADF的法向量为，所以，． 所以，令，得，，所以． 因为平面ABC，所以． 因为，，平面BCD， 所以平面BCD， 所以为平面BCD的一个法向量． 而． 所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为． 18．如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解】（1）设，因为， 所以，所以． 在三角形ODA与中，因为， 所以，从而， 又，所以，即． 因为平面平面，所以， 又，平面，所以平面． （2）以（1）中的为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，因为， 所以，则， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去），故． 19.如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点，求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； （3）因为， 设，（），则， 可得，，，即，可得， 由（2）知：平面的一个法向量， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则，可得， 因为，结合在上单调递增，得， 则，所以 所以锐二面角的余弦值的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何单元测试卷(一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 2．在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法： ①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 7.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ） A. B. C. D. 8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面 与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C 若，则，，，四点共面 D. 若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数的值为________. 13．在三棱锥中，，，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为________． 14．如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求三角形ABC的面积． 16．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 17如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； (2)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值． 18．如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 19.如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点，求锐二面角的余弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $