第一章 空间向量与立体几何重难点检测卷 -2026-2027学年高二上学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 空间向量与立体几何单元复习卷，19题150分，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，通过正方体、正四面体等模型考查空间观念与推理能力，适配单元重难点检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量共线共面、距离计算|结合三棱锥、长方体模型，考查空间观念| |多选题|3/18|空间向量基本概念、基底判定|辨析共线与共面关系，培养推理意识| |填空题|3/15|四点共面、向量线性表示|设置开放结论判断，提升抽象能力| |解答题|5/77|面面平行证明、线面角、距离计算|综合正方体、正四面体情境，考查运算与逻辑推理|

第一章 空间向量与立体几何重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 2．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 3．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    4．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 5．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 6．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由已知条件求出点坐标间的关系，进而求出线段长度的最小值. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 设，，，则， 由平行于平面，得，整理得， 所以线段长度， 当且仅当时，线段长度取最小值． 故选：D 7．如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异面直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 8．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 10．下列说法正确的是（    ） A．若平面和平面的法向量分别为，则 B．向量，若共面，则 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知点，则与方向相同的单位向量为 【答案】ABC 【分析】根据法向量定义及空间向量垂直坐标关系计算判断A，应用向量共面得出系数关系计算判断B，应用基底定义结合共面列式计算判断C，应用空间向量结合单位向量定义计算判断D. 【详解】选项A，因为法向量，所以，故A正确； 选项B，设，则，所以，故B正确； 选项C，若为共面向量，则存在不全为0的实数使得， 所以， 因为是空间的一个基底，所以得，矛盾， 所以不共面，可以作为空间的基底，故C正确； 选项D，因为，所以与方向相同的单位向量为，故D错误. 故选：ABC. 11．已知异面直线，所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由异面直线所成角确定方向向量夹角，再求夹角的余弦值. 【详解】空间向量夹角范围为，所以当与所成角大小为时，向量与所成角为或，所以或. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 13．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）由于是线段的中点，可得； （2）取的中点，连接，．而，即可判断出； （3）利用，，及（1）即可得出； （4）由于、分别是线段、的中点，，可得与平面不平行，得出不存在实数，，使得． 【详解】解：（1）是线段的中点，，正确； （2）取的中点，连接，．则，因此不正确； （3），因此正确； （4）、分别是线段、的中点，， 与平面不平行， 不存在实数，，使得． 综上可得：只有（1）（3）正确． 故答案为：（1）（3）．    14．已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图，在边长为3的正方体中，点P，Q，R分别在棱，，上，且. （1）求点D到平面的距离； （2）若平面与线段的交点为N，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用空间向量中点到面的距离公式求解即可. （2）设，设，根据共线定理和共面定理列方程，解出，，进而求得，从而得出的值． 【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，. 设平面的法向量为， 则，代入可得， 令，则，，所以， 故点D到平面的距离为. （2）因为点N在平面内，可设（其中m，n为常数）， 又与共线，可设，由图可得， 即， 整理得， 由①③可得④， 由②③可得⑤， 联立④⑤解得，代入②可得， 所以，即. 16．如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 17．已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据A、B、C三点坐标求出向量的坐标，再利于向量夹角公式即可计算其夹角的余弦； （2）求出的坐标，再利用向量模的计算公式即可求解； （3）利用向量垂直，它们的数量积为零即可求解． 【详解】（1）由题意，，， ∴， 即与的夹角的余弦值为； （2）由题意，， ； （3）∵， ， ∵与垂直， ∴，即， ∴或． 18．如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 19．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 【答案】(1)如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)． 从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， 所以，，所以EF∥MN，AM∥BF． 又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD， 因为MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD； (2) 【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案. 【详解】（1）略 （2）因为平面AMN∥平面EFBD， 所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离． 设是平面AMN的法向量， 则有即，可取， 由于＝(0，4，0)， 所以点B到平面AMN的距离为， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 6．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异面直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 8．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 10．下列说法正确的是（    ） A．若平面和平面的法向量分别为，则 B．向量，若共面，则 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知点，则与方向相同的单位向量为 11．已知异面直线，所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 13．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 14．已知空间向量，，若，则_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图，在边长为3的正方体中，点P，Q，R分别在棱，，上，且. （1）求点D到平面的距离； （2）若平面与线段的交点为N，求的值. 16．如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 17．已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 18．如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 19．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $