25.2.1配方法（分层作业，11大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“配方法”为核心，通过A、B、C三级分层设计，构建从基础操作到综合应用再到思维创新的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接开平方法、不同系数配方、构造完全平方式|聚焦配方法基本步骤，通过辨析题强化运算能力| |B组|含参问题、根的情况分析、代数式最值、几何综合|结合参数讨论和实际应用，发展推理意识| |C组|复杂代数式最值探究|通过多变量情境培养抽象能力与创新意识|

分层作业 25.2.1 配方法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法解一元二次方程 题型02 二次项系数为1，常规配方法解方程 题型03 二次项系数不为1，先化1再配方 题型04 去括号整理后再配方解方程 题型05 补全常数项，构造完全平方式 B组 能力进阶 题型01 配方法解决含参问题 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 题型03 配方法求代数式最值 题型04 利用配方法比较大小 题型05 配方法几何/实际综合应用 C组 思维拔高 题型 利用配方法求代数式的最值 直接开平方法解一元二次方程题型01 1．一元二次方程的解是（         ） A． B． C．， D．， 2．在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）方程的根是______． 4．用直接开方法解方程： 5．解方程： (1) (2) 二次项系数为1，常规配方法解方程题型02 1．用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是（　　） A．x2+32x＝3 B．x2﹣4x＝5 C．x2+8x＝1 D．x2﹣16x＝4 2．（24-25九年级上·广西南宁·月考）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）把方程配方后，可变形为____________． 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 5．计算：； （2）解方程：． 二次项系数不为1，先化1再配方题型03 1．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（24-25九年级上·山东济宁·月考）若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 3．解方程：． 4．解方程：2x2﹣4x﹣3＝0． 5．（24-25九年级上·山东菏泽·月考）解下列方程： (1)； (2)． 去括号整理后再配方解方程题型04 1．一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·月考）将一元二次方程化成的形式，则_________． 3．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 4．（25-26九年级上·山西朔州·月考）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________． (2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整． (3)请用“平均数法”解方程：． 5．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得……第一步 移项，得……第二步 配方，得，即……第三步 由此，可得……第四步 所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 补全常数项，构造完全平方式题型05 1．（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 2．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式； (2)若可配方成（m，n为常数），则___________； (3)探究问题：已知，求的值． (4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则k的值为_________． 配方法解决含参问题题型01 1．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 4．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 根据一元二次方程根的情况求参数题型02 1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南·期末）已知一元二次方程有一个根为0，则________． 3．（24-25九年级上·山东滨州·月考）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 配方法求代数式最值题型03 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 3．求代数式的最小值． 4．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． (1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．统计思想 (2)已知，则a的值为_______，b的值为_______； (3)求代数式的最值． 利用配方法比较大小题型04 1．，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 2．（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 3．（2025·河北唐山·模拟）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 4．阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 5．（25-26八年级上·湖南·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 配方法几何/实际综合应用题型05 1．如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为，点在点右侧，则，间的距离至少为___________． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序如下：将二次多项式的二次项系数乘以作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项．例如：，经过程序处理得到． 【知识应用】关于的二次多项式经过程序处理得到关于的一次多项式，已知． 根据上述阅读材料，解答下列问题． (1)若，求，的值． (2)若的结果中不含的一次项，求关于的方程的解． (3)若，请直接写出的值（用含的式子表示）． 3．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． (1)如图1，若，求． (2)如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 5．（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 利用配方法求代数式的最值题型 1．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则 A． B．8 C． D．10 2．已知整式：，其中，，…，，为互不相等的非负整数，且，若，且为奇数．下列说法： ①当，，满足条件的整式有个； ②若，，则有最小值为； ③当，时，若能被整除，则满足条件的所有整数之和为． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 3．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 5．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：． 解原式． ②，利用配方法求M的最小值． 解． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据以上材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.1 配方法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法解一元二次方程 题型02 二次项系数为1，常规配方法解方程 题型03 二次项系数不为1，先化1再配方 题型04 去括号整理后再配方解方程 题型05 补全常数项，构造完全平方式 B组 能力进阶 题型01 配方法解决含参问题 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 题型03 配方法求代数式最值 题型04 利用配方法比较大小 题型05 配方法几何/实际综合应用 C组 思维拔高 题型 利用配方法求代数式的最值 直接开平方法解一元二次方程题型01 1．一元二次方程的解是（         ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】直接开平方即可得到x﹣9=0，从而得出x的值． 【详解】开方得：x﹣9=，解得：x1=x2=9． 故选A． 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，是基础知识，比较简单． 2．在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题是新定义型，正确理解并熟练运用新定义的规则是解题的关键． 根据定义的新运算规则，先计算括号内，再代入方程，转化，再利用开平方法解方程即可． 【详解】解：根据定义， 原方程变为 ，即 ． 化简得 进一步得 解得 ，即 ，． ∴方程的解为 ，， 故答案选： C． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）方程的根是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：， ． 4．用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程两边同除以2后再运用直接开平方法即可求解； （2）方程移项后运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 二次项系数为1，常规配方法解方程题型02 1．用配方法解下列一元二次方程，其中应在方程两边同时加上16的是（　　） A．x2+32x＝3 B．x2﹣4x＝5 C．x2+8x＝1 D．x2﹣16x＝4 【答案】C 【分析】根据配方时方程两边加上一次项系数一半的平方判断即可． 【详解】解：A．用配方法解一元二次方程x2＋32x＝3时，应当在方程的两边同时加上256，不合题意； B．用配方法解一元二次方程x2−4x＝5时，应当在方程的两边同时加上4，不合题意； C．用配方法解一元二次方程x2＋8x＝1时，应当在方程的两边同时加上16，符合题意； D．用配方法解一元二次方程x2−16x＝4时，应当在方程的两边同时加上64，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·广西南宁·月考）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【详解】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）把方程配方后，可变形为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． 5．计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【详解】试题分析：（1）先化二次根式为最简二次根式、负整数指数幂以及特殊角的函数值；然后根据实数运算法则进行计算； （2）把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 试题解析：解：（1）原式==； （2）移项，得：x2﹣4x=1 配方，得：x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5， 开方，得：x﹣2=±，解得：． 二次项系数不为1，先化1再配方题型03 1．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程的方法和步骤，掌握配方法的一般步骤是解决问题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤判断即可． 【详解】解：小思的解答开始出错的步骤是第一步，因为在处理二次项系数化1时，等号右边没有除以2， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东济宁·月考）若方程能配成的形式，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方得到，则，据此可得直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：化简，得． 配方，得，即． 开平方，得或． 解得，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4．解方程：2x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】x＝ 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣3=0， ∴2x2﹣4x=3， 则x2﹣2x=， ∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， ∴x﹣1=±， ∴x=． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数. 5．（24-25九年级上·山东菏泽·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用配方法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：． 去括号整理后再配方解方程题型04 1．一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查一元二次方程中配方法，掌握配方法是解题的关键． 首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【解答】∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南信阳·月考）将一元二次方程化成的形式，则_________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 3．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 4．（25-26九年级上·山西朔州·月考）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________． (2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整． (3)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)平方差 (2) ，， (3) 解：原方程变形为：， ， ， ， ，． 【分析】本题考查了解一元二次方程、平方差公式的应用，弄清楚题中的新定义是解此题的关键． （1）根据阅读材料中的信息即可得出平方差公式； （2）利用直接开平方解方程即可； （3）利用平均数法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 根据乘法公式中平方差公式， 故答案为：平方差； （2）略 （3）略 5．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得……第一步 移项，得……第二步 配方，得，即……第三步 由此，可得……第四步 所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③三；，；任务二：， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： 任务一：①根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；②根据等式的基本性质，进行作答即可；③第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可； 任务二：利用配方法的步骤解方程即可． 【详解】解：任务一：①体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）． ②变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③第三步出现错误，方程两边应同时加1； 配方，得，即， 由此，可得， ∴，； 任务二： 解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 补全常数项，构造完全平方式题型05 1．（25-26九年级上·湖北黄石·期中）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]3，6，7，10四个数中的“雅美数”是_____． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为_____； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)10 (2)12 (3)25 (4) 证明：∵实数，是“雅美数”， 令，，为整数）， ∴ ∵为整数， ∴均为整数， ∴是“雅美数” 【分析】本题主要考查完全平方公式，配方法的应用； （1）根据新定义逐一判定即可； （2）根据配方法得到，代入计算即可； （3）根据配方法得到，得到，计算即可； （4）令，，为整数），得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴10是“雅美数”， 故答案为：10． （2）解：； ∴， ． 故答案为：12． （3）解： ， 要使为“雅美数”，其表达式应为两个整数的平方和的形式， ∵是整数， ∴是整数， ， ∴； （4）略 2．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式； (2)若可配方成（m，n为常数），则___________； (3)探究问题：已知，求的值． (4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则k的值为_________． 【答案】(1) (2)2 (3)-2 (4)13 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵29是“完美数”， ∴； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2； （3）解：， ， ， ∴， 解得， ∴； （4）解：当时，S是完美数， 理由如下： ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∴S是一个“完美数”． 故答案为：13 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 配方法解决含参问题题型01 1．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 2．（25-26八年级·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 4．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据配方法解得，再根据关于的方程只有一个负根，列出一元一次不等式组，解之即可求解． 【详解】解：由配方法解方程得：， ， ， ，且原方程只有一个负根， ， ， 的取值范围：． 根据一元二次方程根的情况求参数题型02 1．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·海南·期末）已知一元二次方程有一个根为0，则________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程得到，然后结合一元二次方程的概念求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程得：， 解得：， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·山东滨州·月考）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 配方法求代数式最值题型03 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 2．∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 3．求代数式的最小值． 【答案】1 【分析】通过配方法把化成，便可根据完全平方数的性质求得代数式的最小值． 【详解】解： ∵， ， 的最小值是，此时． 4．“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)当时，多项式有最大值，最大值是5． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是5． 【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． (1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．统计思想 (2)已知，则a的值为_______，b的值为_______； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)B (2)， (3)代数式的最大值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想，即可得解； （2）根据题意可得，从而得出，，计算即可得解； （3）根据题意得出，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）解：， ∴，， 解得：，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为5． 利用配方法比较大小题型04 1．，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【答案】A 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个解，且， ， ，， 故选：A 2．（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，； （2）， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）略 （3）拓展： ， 故． 3．（2025·河北唐山·模拟）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】(1) (2) 证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 【详解】（1）解：； （2）略 4．阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)， 理由如下： ， ∵， ∴； (3)2 【分析】（1）将代数式配方可得最值； （2）作差并配方，可进行大小比较； （3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即代数式的最小值为1； 故答案为：1； （2） 略 （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型． 5．（25-26八年级上·湖南·期末）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法、因式分解以及作差法比较大小： （1）通过配方法将多项式转化为平方项减常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）把等式左边拆分为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出的值，再代入计算； （3）通过作差法比较与的大小，将差式配方后，利用平方的非负性判断差的正负，从而确定大小关系． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ． （3）解： ， ， ， 即， 则． 配方法几何/实际综合应用题型05 1．如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为，点在点右侧，则，间的距离至少为___________． 【答案】2 【分析】本题考查数轴与一元二次方程的结合，先通过A、B两点的位置关系，构造表示A、B两点间距离的代数式；再通过配方法求该式子的最小值，即可得到A、B间距离的最小值. 【详解】由题意，得． ， ， 即，间的距离至少为2． 故答案为：2. 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序如下：将二次多项式的二次项系数乘以作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的一次项系数作为一次多项式的常数项．例如：，经过程序处理得到． 【知识应用】关于的二次多项式经过程序处理得到关于的一次多项式，已知． 根据上述阅读材料，解答下列问题． (1)若，求，的值． (2)若的结果中不含的一次项，求关于的方程的解． (3)若，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，单项式乘多项式，多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握相关运算法则和理解题目中程序的设置定义． （1）根据已知程序的定义求出，与已知的对比，列出关于和的方程，解答即可； （2）先根据已知程序的定义求出，根据的结果中不含一次项，列出关于的方程，求解出的值，进而求解关于的方程的解． （3）先根据已知程序的定义求出，与已知的对比，列出关于的方程，求出，然后把的值代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，． （2）解： ， 的结果中不含的一次项， ，解得． ， ，解得． （3）解：的值为或．理由如下： ， ， ，即 ， 当时， ； 当时， ． 故的值为或． 3．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． (1)如图1，若，求． (2)如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 【答案】(1) (2)①解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵在矩形中，对角线与交于点， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴， ∴； ∵点为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； ③ 【分析】（1）由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理可得答案； （2）①连接，由矩形的性质可得；可证明，由三线合一定理得到，则可证明，再证明，得到，则是等腰三角形；②以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，根据中点坐标公式表示出点E，点F和点G的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；③求出直线的解析式为；直线的解析式为，则可求出；再分三种情况：、和，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，对角线与交于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴是的中位线， ∴； （2）①略； ②解：如图所示，以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵对角线与交于点， ∴点O为的中点， ∴，即； ∵点，分别为，中点，点为的中点， ∴，即， ∴，且轴， ∴； ③由（2）②得，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 综上所述，． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 5．（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 利用配方法求代数式的最值题型 1．已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则 A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 2．已知整式：，其中，，…，，为互不相等的非负整数，且，若，且为奇数．下列说法： ①当，，满足条件的整式有个； ②若，，则有最小值为； ③当，时，若能被整除，则满足条件的所有整数之和为． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给定条件，结合平方的奇偶性，依次判断三个说法的正误即可求解． 【详解】解：①当，时， ，为非负整数， 可取， 为奇数， 为偶数，即为偶数， ∴符合条件的为，共个， ∴满足条件的整式有个，故①正确； ②当，时，即，，为互不相等的非负整数， ，， ， 若，则，仅符合条件，得，配方得，最小值为，故②错误； ③当，， ∵，时， ∴所有符合条件的系数组合为，即或， ∵，，能被整除， ∴分别是与的因数， ∴或，或或或， 解得，，，，，，，，，，，， ∴满足条件的所有整数之和为，故③错误； 综上，说法正确的个数是． 3．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 【答案】6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 5．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：． 解原式． ②，利用配方法求M的最小值． 解． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据以上材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； 【答案】(1) (2) (3) 解：△ABC是等边三角形，理由如下： ∵，      ∴， 即，     ∴， 解得，        ∴， 即是等边三角形； 【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性、等边三角形的判定，读懂题意，掌握配方法是解题关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出的值，然后判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， 则M的最小值为； （3）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $