25.2 降次——解一元二次方程（配方法）【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“前置-巩固-拓展-探究-中考”五级分层设计，构建从概念梳理到考向应用的完整知识巩固路径，兼顾基础夯实与能力进阶，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|配方法概念与步骤|填空式知识梳理，激活先备经验| |巩固性作业|直接开平方法、配方填空、解方程（系数为1与不为1）|分题型梯度训练，强化运算能力| |拓展探究作业|代数式最值、综合应用、拓展探究问题|情境化问题设计，发展推理意识与创新意识| |中考链接|配方法中考真题|对接考向，提升应用意识|

25.2 降次——解一元二次方程（配方法）【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 直接开平方法】 2 【题型2 配方填空（完全平方式）】 2 【题型3 配方法解方程（二次项系数为1）】 3 【题型4 配方法解方程（二次项系数不为1）】 4 三.拓展性作业（部分参与，选做） 6 【题型1 配方法求代数式最值】 6 【题型2 配方法综合应用】 7 四.探究性作业（部分参与，选做） 9 【题型 拓展探究性问题】 9 五.中考链接（全员参与） 10 六.作业自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于方程：当时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程____实数根。 （2）配方法：通过配方，把一元二次方程转化为的形式。配方的关键是在方程两边都加上____________________。 （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：①______；②二次项系数化为1；③______（两边加上一次项系数一半的平方）；④写成 （x+n）²=p 的形式；⑤______求解。 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 直接开平方法】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 3．（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）． （2）． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【题型2 配方填空（完全平方式）】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）；横线内应依次填入：_________ 、___________； （2）；横线内应依次填入：________、_________； （3）；横线内应依次填入：________、__________． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的数填空： （1），括号内横线处应填入：_________； （2），括号内横线处应填入：_________； （3），括号内横线处应填入：_________； （4），括号内横线处应依次填入：_________，_________． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）填空： （1）+______=（x+________）2； （2）+______=（x-________）2； （3）+______=（x+________）2； （4）+______=（x-________）2． 【题型3 配方法解方程（二次项系数为1）】 1．（24-25八年级下·天津·阶段检测）例题：用配方法解方程： 解：两边同时加9，得________________ 则方程可化为（x+_______）2 = ________ 两边直接开平方得_____________ 即__________________或___________________ 所以__________，___________． 请根据以上提示，用配方法解方程：． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； （1） （2）． 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4 配方法解方程（二次项系数不为1）】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）下面是用配方法解方程：的部分解答过程，请将过程补充完整． 解：移项，得 ， 二次项系数化为1， 得， 配方，得__________， 即（_____）_____， 两边直接开平方，得 ______， _____，_____． 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 配方法求代数式最值】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______． 对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______． 【题型2 配方法综合应用】 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （1）已知，求的值； （2）若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型 拓展探究性问题】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 （1）仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 （2）配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 （1）判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 （2）若可配方成（，为常数），则的值________． （3）已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 （4）已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2025·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 2．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 三、解答题 4．（2026·江苏徐州·中考真题）计算： （1）解方程； （2）解不等式组 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 降次——解一元二次方程（配方法）【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 直接开平方法】 2 【题型2 配方填空（完全平方式）】 4 【题型3 配方法解方程（二次项系数为1）】 7 【题型4 配方法解方程（二次项系数不为1）】 12 三.拓展性作业（部分参与，选做） 19 【题型1 配方法求代数式最值】 19 【题型2 配方法综合应用】 22 四.探究性作业（部分参与，选做） 27 【题型 拓展探究性问题】 27 五.中考链接（全员参与） 32 六.作业自我评价 35 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于方程：当时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程____实数根。 （2）配方法：通过配方，把一元二次方程转化为的形式。配方的关键是在方程两边都加上____________________。 （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：①______；②二次项系数化为1；③______（两边加上一次项系数一半的平方）；④写成 （x+n）²=p 的形式；⑤______求解。 参考答案： （1），；0；无 （2）一次项系数一半的平方 （3）移项；配方；开平方 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 直接开平方法】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用直接开方法求出的值即可； （2）先化简，再利用直接开方法求出的值即可． （1）解：直接开平方，得， 解得，． （2）解：方程可化为， 则， 直接开平方，得， 解得，． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． （1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点拨】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 【题型2 配方填空（完全平方式）】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）；横线内应依次填入：_________ 、___________； （2）；横线内应依次填入：_________、___________； （3）；横线内应依次填入：__________、___________． 【答案】 4 2 10（或） 5（或） 3（或） （或） 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比等式两边系数即可求解． 解：略 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的数填空： （1），括号内横线处应填入：_________； （2），括号内横线处应填入：_________； （3），括号内横线处应填入：_________； （4），括号内横线处应依次填入：_________，_________． 【答案】 2 9 【分析】根据完全平方公式的特征处理即可． 解：（1）； 故答案为：2； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：9； （4）． 故答案为：；． 【点拨】本题考查配方法，完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）填空： （1）+______=（x+________）2； （2）+______=（x-________）2； （3）+______=（x+________）2； （4）+______=（x-________）2． 【答案】 25 5 36 6 【分析】根据配方法进行求解（1）（2）（3）（4）即可． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为25；5；36；6；；；；． 【点拨】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 【题型3 配方法解方程（二次项系数为1）】 1．（24-25八年级下·天津·阶段检测）例题：用配方法解方程： 解：两边同时加9，得________________ 则方程可化为（x+_______）2 = ________ 两边直接开平方得_____________ 即__________________或___________________ 所以__________，___________． 请根据以上提示，用配方法解方程：． 【答案】x1=3，x2=9 【分析】根据例题所给过程仿照求解即可． 解：例用配方法解方程： 解：两边同时加9，得99 则方程可化为（x+3）2 =1 两边直接开平方得x+3=±1 即x+3=1或x+3=-1 所以-2，-4． 用配方法解方程：， 移项，得：， 解：两边同时加36，得， 则方程可化为， 两边直接开平方得， 即或， 所以9，3． 【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：（用配方法）； （1） （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． （1）解： ，； （2）解： ，． 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． （1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． （1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 【题型4 配方法解方程（二次项系数不为1）】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 【答案】（1）降次；完全平方公式；（2）等式的基本性质；（3）三；（4）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． （1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． （1）先将系数化为1，后配方即可得到本题答案； （2）先将常数项移动到等号右侧，再两边同时乘以2系数化为1，再进行配方直接开方即可求解． （1）解：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 整理得：， ∴， ； （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得：， ∴， ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求解方程的根． （1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解； （2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解； （3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解； （4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解． （1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）下面是用配方法解方程：的部分解答过程，请将过程补充完整． 解：移项，得 ， 二次项系数化为1， 得， 配方，得__________， 即（_____）_____， 两边直接开平方，得 ______， _____，_____． 【答案】；；；；；； 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解方程即可． 解：略 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 配方法求代数式最值】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案． 解：由勾股定理可得： 当时，有最小值 ∴的最小值为 所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意； 故选A 【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______． 对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______． 【答案】 1 1 7 【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案． 解： 当时，多项式有最小值，最小值是1． ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7． 【题型2 配方法综合应用】 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； （2）比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；大；8；（2），理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． （1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由如下： 先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）略 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （1）已知，求的值； （2）若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】（1），；（2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）略 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型 拓展探究性问题】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 （1）仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 （2）配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】（1），，，，，；（2）由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； （3）， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． （1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 （1）判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 （2）若可配方成（，为常数），则的值________． （3）已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 （4）已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1）是；（2）；（3）符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； （4）当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． （1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2025·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 二、填空题 2．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 三、解答题 4．（2026·江苏徐州·中考真题）计算： （1）解方程； （2）解不等式组 【答案】（1），；（2）． （1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：, 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $