1-2 有理数及其大小比较 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕有理数的数轴、相反数、绝对值及大小比较展开，通过汽车站牌位置、温度计等生活情境导入，从具体问题抽象出数学概念，构建从情境感知到概念形成的递进式学习支架。 其亮点在于融合情境化与逻辑化教学，借助数轴直观培养几何直观，通过多重符号化简、绝对值性质推理发展推理意识，旧知总结系统梳理知识结构。帮助学生建立数形联系，提升数学思维，教师可高效实施概念教学与能力训练。

有理数及其大小比较 模块一： 数 轴 问题：在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 西 东 思考1：怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系(方向、距离)？ “东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。如图,在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1m长，再用0表示点O,用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点。这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点。 柳树 交通标志杆 汽车站牌 槐树 电线杆 思考2：右图中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和下图有什么共同点？ 用一条直线上的点表示数 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件： (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点(origin); (2)通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，… 0是正数和负数的分界；原点是数轴的“基准点”。 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number axis)。 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 有理数可以用数轴上的点表示 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度。数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点。 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题。 例1：如图，数轴上的点各表示什么数？ 解：点A 表示-3，点B 表示-1.5，点C 表示2.5，点D 表示4，点E 表示0. 例2：画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 3，-4，4，0.5，0，，-1 解：如图所示 1．下列数轴的画法正确的是（ ） A． B． C． D． D 2．如图，点、在数轴上，表示的数分别为和，则、两点之间距离为（     ）   A． B． C． D． C 3．与原点距离为个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 ． 2 +5.5 -5.5 4．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上“0cm ”和“3cm ”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6cm ”对应数轴上的数为（ ） A．-1.4 B．-1.6 C．-2.6 D．1.6 C 5．如图，在数轴上有A、B、C这三个点．   回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ -6 1 4 7 10 解：(3)点B向左移动2个单位 数轴 有理数在数轴上的位置 数轴的定义 数轴的三要素 数轴的判断 由点读数 由数描点 模块二： 相反数 探究：在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数之间有什么关系？与原点的距离是的点呢？ 数轴上与原点的距离是3的点有两个，它们表示的数是3和-3,这两个数只有符号不同。 数轴上与原点的距离是的点有两个，它们表示的数是和- ,这两个数只有符号不同。 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示－a和a，这两个数只有符号不同。 像 3 和－3， 和－ 这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 3 的相反数是－3，－3的相反数是 3；3与－3互为相反数 0的相反数是0 一般地，a和－a互为相反数 这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。 如：当a=1时，－a=－1，1的相反数是－1；同时，－1的相反数是1。 思考：设a表示一个数，-a 一定是负数吗？ 不一定，如果a是一个负数，那么-a就是一个正数 想一想：在任意一个数的前面添上“－”号，得到新的数与原数有什么关系呢？ 新的数就表示原数的相反数 －(+5)=______，－ (-5)=______，－0=______ －5 +5 0 议一议：你能借助数轴说明－(+5)=－5吗？ 0 5 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5 5 5 例1：(1) 分别写出－7和 的相反数； (2) a的相反数是2.4，写出a的值。 解：(1) －7的相反数是7， 的相反数是; (2)因为2.4与－2.4互为相反数，所以a 的值是－2.4. －(－7)＝______； ＋(－7)＝________； －(＋0.68)＝_______； －0＝______； －(－28)＝________； －(－)＝ ________． ＝________； ＝________. 例2：化简下列各数的符号. 7 －7 －0.68 0 28 －3 5 （1）根据相反数的求法，由内向外逐步化简； （2）由“－”号的个数决定：如果“－”号的个数为奇数，那么结果为“－”；如果“－”号的个数为偶数，那么结果为“＋”． 多重符号的化简问题，一般有两种方法： 1．的相反数是（    ） A． B． C．3 D． C 2．下列各数中，互为相反数的是（　　） A．5和 B．和 C．和 D．和5 A 3．化简 ； ； ． 4．写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 解：16的相反数为，的相反数为3，0的相反数为0，的相反数为，m的相反数为，的相反数为n． 5．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 解：（1）点表示的数是． （2）点表示的数是，点D表示的数是． 相反数 多重符号化简的方法 相反数的概念 相反数的表示 数轴上点的位置 模块三： 绝对值 问题1：互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同。这两个数的相同部分在数轴上表示什么？ 到原点的距离 问题2：10和-10互为相反数，在数轴上分别用点A，B表示这两个数，可以发现，点A，B与原点的距离都是多少呢？ 点A，B与原点的距离都是10 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值。 记作 | a | ，读作：a的绝对值。 表示10和-10的点与原点的距离都是10， 所以10和-10的绝对值都是10， 即|10|=10，|-10|=10 这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。 显然|0|=0 探究：一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试看能不能发现规律。 （1）|＋2|＝______， |－| ＝ ______ ，|＋5.2|＝______； （2）| 0 | ＝______； （3）|－3|＝______，|－1.5|＝______，|－5.2|＝______． 2 5.2 0 3 1.5 5.2 0 5 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5 －6 6 ＋2 ＋5.2 0 －3 －1.5 －5.2 一个正数的绝对值是它本身． 如果 a＞0，那么|a|＝a． 一个负数的绝对值是它的相反数． 如果 a＜0，那么|a|＝－a． 0 的绝对值是 0． 如果 a＝0，那么|a|＝0．　 我们可以得到绝对值的性质如下： 任何一个有理数的绝对值总是正数或0．即对任意有理数 a，总有| a | ≥0． 绝对值的非负性 我们可以得到绝对值的性质如下： 如果 a＞0，那么|a|＝a． 如果 a＜0，那么|a|＝－a． 如果 a＝0，那么|a|＝0．　 | a |≥0 例1：写出1，-0.5，的绝对值。 解：| 1 |=1; |-0.5|=0.5; ||= 求一个数的绝对值的两种方法： 方法1：求某个数的绝对值，首先要明确这个数的符号，然后根据“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0”进行求解． 方法2：根据绝对值的几何意义进行求解． 例2：如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 解：因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小。 一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小。 例3：已知 a＝－5，|a|＝|b|，则 b 等于（ ）． A．＋5 B．－5 C．0 D．±5 解：因为 a＝－5，所以|a|＝5． 又因为|a|＝|b|，所以|b|＝5， 所以 b＝±5． 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数． D 例4： 若整数 a，b 满足等式 |a－3|＋|b－2|＝0，则 a＋b 的值是多少？ 解：因为 |a－3|＋|b－2|＝0， |a－3|≥0，|b－2|≥0， 所以 a－3＝0，b－2＝0． 所以 a＝3，b＝2． 所以 a＋b＝3＋2＝5． 分析：根据等式和绝对值的非负性可知，a－3＝0，b－2＝0，即可求出 a，b 的值，从而求出 a＋b 的值． 1．的绝对值是（ ） A．2024 B． C． D． A 2．下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 D 3．写出下列各数的绝对值． (1)；(2)；(3)；(4)；(5) 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 4．已知，则 ． 2 5．如果，，且a，b异号，求a、b的值． 解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． 绝对值 绝对值的性质 绝对值的定义 求绝对值的方法 绝对值与相反数 绝对值的非负性 模块四： 有理数的大小比较 我们已经知道两个正数（或0）是怎样比较大小的，例如 引入负数后，任意两个有理数（例如－4和－3，－2和0，－1和1）之间怎样比较大小呢？ 0＜1，1＜2，2＜3，…． 思考：如图给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？ 最低气温－4℃ 最高气温9℃ 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 －4,－3,－2,－1, 0, 1, 2 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为： －4,－3,－2,－1, 0, 1, 2. 按照这个顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的。你能把这些数在数轴上表示出来吗？ 数学中规定：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 从左到右 由这个规定可知： -6 < -5，-5 < -4，-4 < -3，-2 < 0，-1< 1，…. 数学中规定：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 想一想：你在小学学过的正数及0的大小比较符合这个规定吗？ 符合 利用数轴比较有理数的大小： 小 大 画数轴，从左到右，越来越大 思考：对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？前面最低气温从低到高的排列与你的结论一致吗？ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 越来越大 0 正数 负数 ＜ ＜ 越来越小 两个负数，绝对值大的反而小。 例1：比较下列各组数的大小： (1)5和-2；(2)-3和-7；(3)-(-1)和-(+2) ；(4)-(-0.5)和|-1.5| 解：(1)因为正数大于负数， 所以5>-2. (2)先求绝对值， |-3|=3，|-7|=7. 因为3<7, 即|-3|<|-7|， 所以-3>-7. (3)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2. 因为正数大于负数， 所以1>-2, 即-(-1)>-(+2). (4)先化简，-(-0.5)=0.5，|-1.5|=1.5. 因为0.5<1.5, 所以-(-0.5)<|-1.5| 例2：将下列各组数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接。 -4，+3，+5，0，-6，-2.5 解：把数-4，+3，+5，0，-6，-2.5标在数轴上，如图所示． 所以-6<-4<-2.5<0<+3<+5 1．下列各数中，最小的数是（     ） A．3 B．0 C． D． D 2．比较和的大小，结果正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 A 3．比较下列各对数的大小： (1)和；(2)和；(3)和；(4)和． 解：（1） （2） ， ， （3），， ； （4）， 4．比较大小：（填“”或“”）． （1） ， （2） ； （3） ． 有理数大小的比较 绝对值比较法 数轴比较法 正负比较法 正数＞0＞负数 左边的数小于右边的数 两个负数，绝对值大的反而小 $