1.1 探索勾股定理 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理同步练，通过基础巩固、能力提升、拓展延伸三层设计，覆盖从概念应用到综合探究，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接应用、平方和计算|单选题1、3，填空题11、15，解答题16、17，夯实概念理解| |能力提升|面积关系、实际应用、证明方法|单选题2、8、9，填空题12、13，解答题18、19，培养几何直观与运算能力| |拓展延伸|规律探索、数学思想、新定义|单选题5、6、7、10，填空题14，解答题20，发展创新意识与推理能力|

1.1 探索勾股定理 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，则的长为（   ） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 2．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．8 B．12 C．6 D．24 3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）． A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定 5．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 6．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，则水深AC为（    ） A．3尺 B．3.5尺 C．3.75尺 D．4尺 9．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程 取是（ ） A．12cm B．10cm C．20cm D．无法确定 10．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长，有下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 二、填空题 11．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 12．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．    13．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 14．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 三、解答题 16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3． 18．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 19．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？    20．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C B C C B D 1．【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等得出答案即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得． 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 4．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解． 【详解】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2， ∴AB2−AC2＝BH2−HC2， 又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2， ∴AB2−AC2＝MB2−MC2， 即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC）， 又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC， 则AB−AC＜MB−MC． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短、用勾股定理构造图形解决问题、 圆柱的展开图 【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开， 底面半径为2cm， ， 在中， ，， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 10．【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：①∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故本选项正确； ②由图可知，，故本选项正确； ③由可得①， 又∵②， ∴得，， 整理得，， ，故本选项错误； ④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即；故本选项正确． ∴正确结论有①②④． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】36 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 16．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 17．【答案】 证明：由题意得S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2， S1+S2＝S3． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是与勾股定理相关的图形面积问题，掌握“勾股定理”是解本题的关键. 18．【答案】 解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意得到是解题的关键．先根据题意得到图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为c，再根据面积之间的关系得到，即可推出． 【详解】略 19．【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】 解：过点作于点， 根据题意可知，千米，千米， 在中，由勾股定理得千米， 答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．      【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 20．【答案】(1)， 证明：设与相交于点E． ， ， 由勾股定理得，， ， ． (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可； （2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可． 【详解】（1）略 （2）连接，相交于点N，交于点M． ， ，即， 又，， ≌， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（1）得，， ，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $