1.2 一定是直角三角形吗 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“1.2一定是直角三角形吗”同步练习，以三层递进设计实现从勾股数概念到综合应用的巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数定义、直角三角形判定（如1、3题）|直接应用概念，夯实基础| |能力提升|图形与网格应用（如4、8题）、规律探索（如9题）|结合几何直观，发展空间观念| |拓展应用|综合证明与实际问题（如15、17题）|体现模型意识，培养推理能力|

1.2 一定是直角三角形吗 同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 2．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 3．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．下列四个说法：①若，，是勾股数，且最大，则一定有；②以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③0.3，0.4，0.5不是勾股数，以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，其中正确的是（   ） A．③④ B．②③ C．①② D．①④ 7．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（　　） A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km 8．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 9．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________，第组勾股数是________． 10．在中，，如果满足，则的形状是_______． 11．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 12．如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 13．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 _______________． 三、解答题 14．如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点，且，求证：． 15．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．    16．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 17．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A A D A A 1．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、和是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、、不是整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、是分数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、均为正整数，且，符合勾股数定义，是勾股数； 故选：． 2．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 3．【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 4．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 5．【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理的逆定理可得：，即，利用三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，掌握勾股定理的逆定理判断出是直角三角形是解题关键． 6．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足两个较小的数的平方和等于较大数的平方的三个正整数，叫做勾股数，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，，是勾股数，且最大，则一定有；故①正确； 以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是正整数，不是勾股数；故②错误； 0.3，0.4，0.5不是勾股数，但以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，故③错误； 若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④正确； 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、垂线段最短 【分析】首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，确定BD为最短距离，然后利用面积相等求得BD的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC，垂足为D， ∵62＋82＝102， ∴BC2＋AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， S△ACB＝AB•CB＝AC•BD， ×6×8＝×10×DB， 解得：BD＝4.8， ∴学校B到公路的最短距离为4.8km， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 8．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 9．【答案】 11，60，61 ，， 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 10．【答案】直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 11．【答案】7 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 12．【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 13．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 【详解】解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 14．【答案】 证明：设正方形的边长为， 即， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，，， ∵， ∴， ∴． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理解三角形以及勾股定理逆定理，设出边长根据勾股定理求解边长是解决本题的关键． 设出正方形的边长，根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明即可． 【详解】略 15．【答案】四边形ABCD的面积为234平方米． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可求出空地的面积． 【详解】连接AC． 在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252， 在△ADC中， CD＝7，AD＝24，AC＝25， ∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米）， ∴四边形ABCD的面积为234平方米．    【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 16．【答案】 证明：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】略 17．【答案】(1)16；63；65 (2)第n组勾股数为：，，； 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数． 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，数字规律探索，解题的关键是根据给出的数据得出一般规律． （1）根据给出的数据，得出一般规律，求出第7组勾股数即可； （2）根据一般规律写出第组，根据勾股数定义和整式混合运算法则进行证明即可． 【详解】（1）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65； （2）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $