第一章空间向量与立体几何单元检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何单元卷，聚焦向量线性运算、基底判定、空间几何量计算，适配单元复习，强化空间观念与向量工具应用，助力提升数学思维与几何直观能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|平行六面体/四棱锥向量表示、基底判断|以典型几何体为背景，考查向量分解与线性运算| |多选题|3|基底性质、长方体向量关系|通过否定式设问，深化基底概念理解| |填空题|3|向量系数求解、基底坐标转换|强化向量运算的灵活性与严谨性| |解答题|5|正四面体向量模长/夹角、直三棱柱线线角|综合运用向量法解决几何问题，如16题结合正四面体证明垂直、求夹角，体现数学思维与空间观念|

高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何 一、单选题 1．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 7．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 8．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 11．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 13．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 14．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 16．如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 17．如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 18．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 19．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D D C A B AC ACD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】由题意得， . 2．A 【详解】由，得， 所以 3．C 【详解】∵与共面， ∴A，B，D不正确，C正确. 4．D 【详解】， 是的中点，故， 故． 5．D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 6．C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 7．A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 8．B 【详解】，由得， ， 代入得． 9．AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 10．ACD 【分析】根据空间向量基底的性质，判断正确结果； 【详解】由题意得向量不共面， 则向量不共面，向量不共面，向量不共面；所以A，C，D正确； 因为与共面，所以B错误； 故选：ACD. 11．AD 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 12． 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 13．2 【详解】因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，即， 因为在三棱锥中，是不共面向量， 由空间向量基本定理知：用表示唯一， 所以，所以. 14． 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 15．(1)； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解； （2）根据空间向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）， 因为分别是，的中点， 所以 ； （2） . 16．(1)， (2) 证明：，所以，同理可证,所以：． (3) 【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. （3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1），， 所以． （2）略 （3）设为异面直线与所成的角， 17．(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 19．(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $