第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元检测卷，适用于单元复习，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面考查空间向量应用及立体几何综合能力，体现空间观念、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系、向量共面、线面角|结合平面方程新材料考查法向量与方向向量关系，基础巩固与能力提升结合| |多选题|3/18|面面垂直、二面角、异面直线所成角|动态几何问题（如正方形折叠、动点轨迹），考查空间想象与推理意识| |填空题|3/15|点到轴距离、点到直线距离、体积与外接球|综合几何与代数，如第14题体积最大时外接球表面积，体现模型观念| |解答题|5/77|线面角、点面距离、二面角、线面垂直证明|结合正方体、四棱锥等模型，向量法解决综合问题，培养应用意识与运算能力|

第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷2026-2027学年 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 2．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为2的正方体中，点为的中点.动点满足，，.给出下列四个结论： ①平面平面； ②设直线与平面所成角为，则的取值范围是； ③设平面，则三棱锥的体积为； ④以的边所在直线为旋转轴，将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是. 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．已知平面，是两个不重合的平面，其法向量分别为，，给出下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．将正方形沿对角线折成直二面角，则（   ） A． B．，所成的角为 C．为等边三角形 D．与平面所成角为 11．如图，设正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为的中点时，点到平面AEF的距离为 B．当F为的中点时，记与平面AEF的交点为M，则 C．存在F，使得异面直线与BF所成的角为45° D．存在F，使得点F到直线AE的距离为3 三、填空题（共15分） 12．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 13．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 14．正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若、分别与直线所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________. 四、解答题（共77分） 15．如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 16．如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 17．如图，三棱锥中，，，，平面平面分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．如图，四边形为矩形，平面平面，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． s 19．在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行. 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷2026-2027学年》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D C C D C AC ABC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 2．A 【分析】可知点关于平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案． 【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是. 故选：A. 3．A 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】显然不共线，故可设，即， 从而，，，故. 故选：A. 4．D 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量的坐标，再求出平面的法向量；最后利用向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为正四棱柱中底面ABCD是正方形，且，所以. 以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以， ，. 设平面的法向量为， 则且. ，  . 令，解得，. 所以. 设直线与平面所成角为，则. . ，. 所以. 故选：D. 5．C 【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角． 【详解】由条件，知． ， ，即， 所以二面角的大小为 故选：C． 6．C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 7．D 【分析】①如图建立坐标系，求出平面与平面法向量，即可判断两平面关系；②由坐标系可求出表达式，后由表达式几何意义可得其范围，即可得范围；③由空间几何知识可得点P位置，后由题可得，由空间向量知识可得点P到平面距离，即可得三棱锥的体积；④由题可得轨迹，画出平面图，由圆外一点到圆上点距离最值可得的取值范围. 【详解】①如图建立以D为原点的空间直角坐标系， 则. 则，，，. 设平面法向量为，则， 取.设平面法向量为， 则，取. 注意到，则①平面平面，故①正确； ②由①可得，则， 又，则. 又平面的法向量可取， 则. 注意到表示点 到点的距离. 如下图所示，则当与S无限接近时，； 当无限接近或时，， 则，则. 故②正确； ③如图，连接，过作MC平行线，则N为AD中点，四点共面， 连接，则与交点即为P.注意到与相似， 则，则. ，设平面的法向量为， 则，取， 则点P到平面距离为：， 又. 则，故③正确. ④连接，设，中点为F. 由题可得，则轨迹为以为圆心，以为半径在 平面上的圆.又M在平面上的射影为中点G， 则，因，则. 如下列平面图，连接EF，则，则. 则如图，当E，H，G三点共线时，最短，为； 当G，E，I三点共线时，最长，为. 则，即的取值范围是. 故④正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：对于较复杂立体几何问题，常建立坐标系，将空间中点，线，面关系，角度，距离转化为空间向量表达式. 8．C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以 ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 9．AC 【分析】利用空间位置关系的向量证明逐项判断即可. 【详解】对于AB，由，得，A正确，B错误； 对于CD，由，得，则，C正确，D错误. 故选：AC 10．ABC 【分析】根据直二面角的性质、线面垂直的判定定理，结合异面直线所成角的定义、线面角的定义、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】设与相交于点O，折成的直二面角为，如图所示， 对于选项A， 因为，，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以，即选项A正确； 对于选项B， ， 所以， 因为异面直线夹角的取值范围为， 所以，所成的角为，即选项B正确； 对于选项C，设正方形的边长为2，则， 所以， 所以为等边三角形，即选项C正确； 对于选项D，因为平面，所以即为与平面所成角，而为等腰直角三角形，所以，即选项D错误． 故选：ABC 11．AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断A，利用共线向量与共面向量基本定理判断B，利用异面直线夹角的向量公式判断C，利用点到直线距离的向量公式判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 当为的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 令得，又， 则点到平面的距离为，故A正确； 设，则， 又点M在平面内，则，所以，解得， 所以，，所以，所以B正确； 设，，则，， 若异面直线与所成的角为，则， 平方化简得，解得，又，所以方程无解， 故点不存在，所以C错误； ，，，所以， 则点到直线的距离为，平方化简得， 解得或，又，所以方程无解，故点不存在，故D错误. 12． 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 13． 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】    如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以，所以， 所以点到直线的距离是， 故答案为：. 14． 【分析】利用异面直线所成角的定义可得出，利用余弦定理结合三角形面积公式可求出面积的最大值及其点的位置，可得出三棱锥体积的最大值，然后建系，设球心为，根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求出外接球的半径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】在正方体中，， 所以与直线所成角为，与直线所成角为， 因为平面，平面，所以， 所以，同理， 由题意可知，可得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，由余弦定理可得 ， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时为等腰直角三角形， 因为，此时点， 易知点、、， 设三棱锥的外接球球心为， 由可得，解得， 即点，此时三棱锥的外接球半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值. （2）由（1）中信息，利用空间向量求出点到面距离. 【详解】（1）由侧面为矩形，得，又平面，平面， 则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知，平面的法向量，， 点到平面的距离. 16．(1) (2)设平面的法向量为， ，， 所以，所以，解得， 令，则，所以平面的法向量为， 因为，所以，所以， 所以平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用，求出异面直线的夹角； （2）求出平面的法向量，进而得到，所以，所以平面. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    得，，，，，， 所以，， ， 所以异面直线EF与所成角为； （2）略 17．(1)证明如下： 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 因为平面，所以． 因为，，，所以， 又，，所以，所以． 综上，因为，，平面，平面，， 所以平面． (2)． 【分析】（1）由面面垂直的性质证明，由勾股定理证明，可证平面； （2）过点作，垂足为点，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为点，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    由（1）知平面，平面，所以， 在Rt中，，则． 又，所以，得， 故，，， 则，，，，， ，，． 设平面的一个法向量为，则 取，则，，得， 设平面的一个法向量为，则 取，则，得， 设二面角的大小为，易知为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． 18．(1)证明：法1： ，， ，又． 四边形为矩形，． 平面平面，且平面平面，平面, 平面．平面，． 平面,平面． 法2：平面平面，且平面平面， 且平面,, 平面．平面，． 由两两垂直，则以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． , ， 由．可得，， 平面，平面． (2)． 【分析】（1）结合线面垂直及面面垂直的知识，先证平面，再证平面； （2）利用向量法求出平面的法向量，求出直线与平面所成角即可. 【详解】（1）略 （2）结合上问可知：， 设平面的法向量为 则，． 即，令，则．即． 因为， 设所求角的大小为．则 故直线与平面所成角的大小. 19．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得出结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量法即可得出答案； （3）假设存在，设此时，分别求出，根据，可得存在唯一的实数，使得，列出方程组，根据解的情况即可得证. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面； （2）在平面PDC内过点D作，交PC于点H． 因为平面PDC，平面PDC，平面PDC， 所以，，所以AD，CD，DH两两垂直． 以D为原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为，， 则，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，故可取． 易知平面的一个法向量为， 因为． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． （3）假设存在，使得，易得， 依题意，存在唯一的实数,使得，， 则， 因为，则， 所以存在唯一的实数，使得，即， 所以，方程组无解，故题设不成立，故不存在一点，使. 即对于棱上任意一点，与都不平行. 答案第8页，共16页 答案第7页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $