第一章 空间向量与立体几何（一） 单元试卷（培优卷）- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元培优卷，覆盖空间向量运算、基本定理及坐标表示，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配单元复习，培养数学抽象、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量坐标运算、共面条件、投影向量|结合正方体、三棱锥模型，考查空间观念与推理意识| |填空题|3题15分|基底下坐标、三点共线、曲池文化情境|融入《九章算术》素材，体现文化传承与数学眼光| |解答题|5题77分|坐标系建立、向量平行垂直、新定义线性相关|综合考查建模能力与创新思维，如多面体中点共面证明|

人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（一） 同步章末检测试卷（培优卷） 考试范围：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则两点间的距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称关系可知，即可得，再由空间向量模长的坐标表示可求得. 【详解】根据题意可知，点关于平面对称的点的坐标为； 又，可得 所以两点间的距离为. 故选：A 2．（24-25高二上·山东东营·阶段检测）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 4．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断. 【详解】因为，， 所以向量与的夹角余弦值为. 故选：D. 5．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用空间向量的共面定理进行推理可得结果. 【详解】当，，时， 即则有 又因为,所以， 根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面； 反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理， 设， 即, 即, 即，，， 因为，所以不止这一组， 故“，，”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件. 故选:A. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 7．（24-25高二上·浙江金华·阶段检测）在三棱台中，，，的重心为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为空间基底表示出向量，再由模长和夹角计算可得. 【详解】如下图所示： 即，则，； 由结合棱台性质可知， 又，再由重心性质可得， 因此， 即 . 故选：A. 8．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（   ） A．向量，，共面 B．平面 C．若四面体各棱长均为4，则 D．若是和的交点，则对空间任意一点，有. 【答案】ABD 【分析】对于A，通过即可判断；对于B，由线面平行的判定定理证明即可；对于C，通过确定为正方形可判断；对于D，由向量的加法性质化简即可得出结论. 【详解】由，，，分别是，，，的中点. 所以， 又在平面内，在平面外， 所以平面，故B正确； 易得：为平行四边形，， 所以，故向量，，共面，A正确； 对于C：若四面体各棱长均为4，结合A，可得为边长2的菱形， 又 ， 所以，也即，所以为边长2的正方形， ，故C错误； 对于D: ，，四边形为平行四边形． 又 是和的交点， ，被点平分． ．故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高二上·安徽·阶段检测）在坐标系中，x，y，z轴两两之间的夹角均为，向量，，分别是与x，y，z轴的正方向同向的单位向量.空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则，夹角的余弦值的最小值为 【答案】ACD 【分析】理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理以及数量积运算即可. 【详解】对于A，由，，得，， 所以，则，A正确; 对于B， ，B错误; 对于C，由题意知三棱锥是边长为2的正四面体，则该四面体的高为， 所以三棱锥的体积为，C正确; 对于D，由，得，，，， ，， 所以， 则，夹角的余弦值的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·山东枣庄·阶段检测）若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是________． 【答案】 【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解. 【详解】因为在基底下的坐标是，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 因此，所以， 即， 即向量在基底下的坐标为． 故答案为： 13．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 14．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则与成角的余弦值为___________；以点为球心，为半径的球面与曲池上底面的交线长为___________. 【答案】 /0.8 【分析】建立空间坐标系，用空间向量法计算空1异面直线的夹角余弦值，根据题意做出辅助图，然后利用几何关系计算空2的值，从而求解. 【详解】对于空1：圆弧的圆心为原点，为轴，为轴过圆心垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系如下图： 则 ，，，，故， ， 设与所成夹角为，， 所以； 对于空2：做如下俯视图： ，即以为球心，为半径的球刚好过点是球面与底面唯一的交点， 因为，在球面上， 设与圆弧的交点为，则 ， 解得 ，故， 球面与上底面的交线是以为圆心，半径为1的圆弧 ，则， 圆心角，由图知：，得. 所以圆弧的长为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】(1)垂直 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 16．（15分）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标． (2)若向量分别与、垂直，且，求的坐标． (3)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标； （2）求出平面的一个法向量的坐标，设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标； （3）利用空间向量的数量积可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得以、为邻边的平行四边形的面积. 【详解】（1）解：由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）解：设平面的一个法向量为，，， 则，解得，取，可得， 因为向量分别与、垂直，则，设，其中， 则，解得， 所以，或. （3）解：，因为，则， 所以，以、为邻边的平行四边形的面积. 17．（15分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题可得，再利用模长公式求解即可； （2）同理（1）用向量，，表示，计算出与的数量积，再用夹角公式求解. 【详解】（1）由题意知 ． 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为． （2）因为，， 由（1）知，以，，， 所以 ． 又 ， 所以． 设直线AG与所成角为，则， 即直线AG与所成角的正弦值为． 18．（17分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由见解析 (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 19．（17分）（24-25高二下·江西·期中）若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， (1)对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； (2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】(1)①线性相关，②线性相关 (2)线性无关，理由：假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. (3)证明：设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解； （3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证. 【详解】（1）对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. （2）略 （3）略 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（一） 同步章末检测试卷（培优卷） 考试范围：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则两点间的距离为（    ） A．6 B． C． D． 2．（24-25高二上·山东东营·阶段检测）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25高二上·浙江金华·阶段检测）在三棱台中，，，的重心为，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（   ） A．向量，，共面 B．平面 C．若四面体各棱长均为4，则 D．若是和的交点，则对空间任意一点，有. 11．（24-25高二上·安徽·阶段检测）在坐标系中，x，y，z轴两两之间的夹角均为，向量，，分别是与x，y，z轴的正方向同向的单位向量.空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则，夹角的余弦值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·山东枣庄·阶段检测）若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是________． 13．（24-25高二上·贵州毕节·阶段检测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 14．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则与成角的余弦值为___________；以点为球心，为半径的球面与曲池上底面的交线长为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 16．（15分）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标． (2)若向量分别与、垂直，且，求的坐标． (3)求以、为邻边的平行四边形的面积． 17．（15分）（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 18．（17分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 19．（17分）（24-25高二下·江西·期中）若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， (1)对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； (2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，均有， 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $