重难题型卷(四) 构造全等三角形&(五) 特殊三角形中的分类讨论-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

答案与解析 .△CA≌△MBD(AAS),∴.AC=BM,AM=BD, 'BM=5 m,AB=12 m, ∴.AC=5m,BD=AM=12-5=7(m).故答案为5；7. 16.(1)【证明】：BD⊥AE,CE⊥AE,∴.∠BDA=∠AEC=90°. 又.'∠BAC=90°，'.∠DAB+∠CAE=∠ABD+∠DAB=90°， .∠ABD=∠CAE. (∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠CAE, AB-CA, .∴.△ABD≌△CAE(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD+AE=CE+BD,.BD=DE一CE. (2)【解】BD=DE+CE. 证明：BD LAE,CE⊥AE,∠BAC=90°， .∴.∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°. .∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°， .∠ABD=∠CAE. (∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, AB-CA, ∴.△ABD≌△CAE(AAS),.BD=AE,AD=CE. AE=DE+AD,..BD=DE+CE. 10.重难题型卷（四）构造全等三角形 1.A【解析】如图，延长AC至点E, 使CE=AC,连接DE, 在△ABC和△EDC中， (AC-EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, 第1题答图 ,∴.△ABC≌△EDC(SAS),∴.AB =DE. AB=3,AC=5,.AE=2AC=10,DE=3, ∴.10-3AD10+3,即7<AD13.故选A. 2.【证明】：AD是BC边上的中线，.BD=CD. (DH-DA, 在△BDH和△CDA中，∠BDH=∠CDA, BD-CD. '.△BDH≌△CDA(SAS),.BH=AC,∠CAD=∠H. .·AF=EF,∴.∠CAD=∠AEF 又，∠BEH=∠AEF,.∠CAD=∠BEH, .∠H=∠BEH,.BH=BE,∴.AC=BE 3.【证明1(1)：∠AOB=∠COD=90°，.∠AOC+∠BOD=360 -∠A0B-∠C0D=360°-90°-90°=180°. 又，OA=OB,OC=OD,∴.△OAC和△OBD是“兄弟三角形” (2)如图，延长OP至点E,使PE= OP,连接BE.,P为BD的中点， B ∴.BP=PD.在△BPE和△DPO中， (PE=PO, ∠BPE=∠DPO, BP=DP, ∴.△BPE≌△DPO(SAS), ∴.BE=OD,∠E=∠DOP, ∴BE∥OD,∴.∠EBO+∠BOD= 第3题答图 180. 又.∠BOD+∠AOC=180°，.∠EBO=∠AOC. .BE-OD,OD=OC,.'BE-OC. (OB-AO 在△EBO和△COA中，∠EBO=∠COA, BE=OC, ∴.△EBO2△COA(SAS),∴.OE=AC 又OE=2OP,∴.AC=2OP. 4.A【解析】如图，在AB上截取AD,使AD=AC,连接DP. :AP平分∠BAC,∴.∠DAP=∠CAP. 「AD=AC, 在△ADP和△ACP中，∠DAP=∠CAP, AP=AP, ∴.△ADP≌△ACP(SAS),∴.PD=PC 在△BPD中，BD>PB-PD,∴.BD>PB-PC 又，BD=AB-AD=AB-AC,∴·.AB-AC>PB-PC.故选A A M D B4 B D 第4题答图 第5题答图 5.B【解析】.△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴.BD=CD,∠BCD=∠DBC=30° ,△ABC是边长为3的等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴.∠DBA=∠DCA=90° 如图，延长AB至点F,使BF=CN,连接DF (BF=CN, 在△BDF和△CDN中，∠FBD=∠DCN=90°， DB-DC, ∴.△BDF≌△CDN(SAS),∴.∠BDF=∠CDN,DF=DN, ,∠MDN=60°，∴.∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， ∴.∠BDM+∠BDF=60°，∴.∠MDF=60° (DM-DM. 在△DMF和△DMN中，∠MDF=∠MDN=60°， DF-=DN, ∴.△DMF≌△DMN(SAS),∴.MF=MN, ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN= AB十AC=6.故选B. 6.(1)【证明】如图①，在AB上截取AE=AC,连接DE. AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD. (AE-AC, 在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD, AD-AD, ∴.△AED≌△ACD(SAS),.ED=CD,∠C=∠AED. ∠ACB=2∠B,∴.∠AED=2∠B. '∠B+∠BDE=∠AED,∴.∠B=∠BDE, ∴.BE=ED=CD,∴.AB=AE+BE=AC+CD. F E A D C ① ② 第6题答图 (2)【解】∠B=50° 分析：如图②，在射线BA上截取AE=AC,连接DE, AD为∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD. (AE-AC, 在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD, AD-AD, .'.△AED≌△ACD(SAS),'.ED=CD,∠AED=∠ACD :∠ACB=2∠B,.可设∠B=x,则∠ACB=2x, .∠EAC=3x°，∠EAD=∠CAD=1.5.x°. :∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x°， .∠ADC=0.5x°=25°，解得x=50,.∠B=50°. 11.重难题型卷（五）特殊三角形中的分类讨论 1.50或55【解析】，等腰三角形中两条边的长分别为15cm和 20cm,.当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15 +20=50(cm),此时15+15>20，符合三角形的三边关系；当第 三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20十20= 55(cm),此时15+20>20，符合三角形的三边关系.故答案为50 或55. 2.x十2y=102【解析】：等腰三角形的周长为10， ∴.x+2y=10,.x=10-2y. 由题意得叶之即叶之10-2解得2.5<<5. (y-y<x,y-y<10-2y, 等腰三角形的三边长均为整数，∴.y=3或y=4. 当y=3时，x=10一2y=4,此时等腰三角形的三边长分别为3， 3,4. 当y=4时，x=10一2y=2,此时等腰三角形的三边长分别为4， 4,2.∴.这样的三角形有2个.故答案为x十2y=10;2. 3.8cm【解析】如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,BC=5cm,CD是腰AB上的中线. 设腰长为2xcm,根据题意得(2x十x)一(5十 x)=3或(5+x)-(2x十x)=3, D 解得x=4或x=1,故2x=8或2x=2. 当x=4时，△ABC的三边长分别为8cm, B 8cm,5cm,满足三角形的三边关系； 当x=1时，△ABC的三边长分别为2cm, 第3题答图 2cm,5cm,2十2<5，不满足三角形的三边关系.故等腰三角形 的腰长为8cm. 4.【解】1)根据三角形的三边关系得2m+1)十(m-2)>8, ((2m+1)-(m-2)<8, 解得3<m<5. (2)当m-2=2m十1时，解得m=-3(不符合题意，舍去)； 当m一2=8时，解得m=10(不符合题意，舍去)； 当2m十1=8时，解得m=名，符合题意，则m-2=是. 综上，若△ABC为等腰三角形，则另外两边的长分别为号和8. 5.C【解析】当36°的角是顶角时，底角为号×(180°-36)=72； 当36°的角是底角时，顶角为180°-36°×2=108°.所以该等腰三 角形其他两个内角的度数分别是72°，72或36°，108°.故选C 6.D【解析】（方法1）当顶角较小时，顶角的度数是2十5+5× 2 180°=30，当顶角较大时，顶角的度数是2+2+×180°=100 所以顶角的度数为30°或100°. (方法2)当顶角较小时，设顶角的度数是2x°，则有2x+5x+5x =180,解得x=15,所以顶角的度数是2x°=30°；当顶角较大时， 设顶角的度数是5y°，则有5y十2y十2y=180,解得y=20,所以 顶角的度数是5y°=100°.所以顶角的度数是30°或100°. 7.80°或40°【解析】①当较大的角为顶角时，设顶角的度数为 x°，则x十2(x一30)=180，解得x=80. ②当较大的角为底角时，设顶角的度数为y°，则y十2(y十30)= 180,解得y=40.故顶角的度数为80°或40°. 8.【解设DE是AB的垂直平分线，E为垂足. 如图①，当△ABC为锐角三角形时， ∠ADE=50°，DELAB,.∠A=40°， ·∠ABC=∠C=180°2∠A-70. 2 如图②，当△ABC为钝角三角形时，，'∠ADE=50°， ∴.∠DAE=40°，∴.∠B+∠C=40°. 真题圈数学八年级上5E 又：AB=AC,.∠B=∠C=2×40°=20 当△ABC为直角三角形时，由AB=AC知∠A=90°， ∴.AB的垂直平分线与AC不相交，此种情况不符合题意. 综上，∠ABC的度数为70°或20°. A ① ② 第8题答图 9.【解】(1)36分析：如图①，当a=90°时，作出OA边的垂直平分 线交OB于点P,连接AP,AP即为△AOB的“90°角等分线”，此 时OP=AP=PB.∴.∠OAP=∠MON=36. 0 0 3 3p ③ 第9题答图 (2)①如图②，当a>90时，若存在线段PA为△AOB的“a角等 分线”，则OA=OP,AP=PB或AP=OP,AB=PB, 当OA=OP,AP=PB时，a=108°； 当AP=OP,AB=PB时，a=108°. ②如图③，当a<90°时，若存在线段PA为△AOB的“a角等分 线”，则OP=AP,AP=AB,a=72°. 综上，若存在线段PA为△AOB的“a角等分线”，则a=72°或 108°. 10.90°或40°【解析】①当∠A=90时，△AOP为直角三角形； ②当∠APO=90时，△AOP为直角三角形，此时∠A=40°. 故∠A的度数为90°或40° 11.7cm2或25cm2【解析】若4cm为直角三角形的斜边，此时以 第三边为边长的正方形的面积为42一32=16一9=7(cm2)； 若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得x2=32十4=9十 16=25,此时以斜边为边长的正方形的面积为x2=25(cm). 综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm或25cm2. 故答案为7cm2或25cm. 12.【解(1)∠CAD+∠CAE=180°. 分析：，△ABC的位置固定不动，点D,E在直线MN上运动， CE始终平分∠BCD,∠ACB=90°，点D在点A左侧， ·.∠ACD<90°，·∠BCE=号∠BCDK90, .点E始终在点A的右侧，.∠CAD十∠CAE=180°. (2),'△ABC的位置固定不动，点D,E在直线MN上运动 CE始终平分∠BCD,∠ACB=90°，.点E始终在点A的右 侧，∠DCE始终是锐角. :△CDE是直角三角形，∴.∠CDE=90或∠CED=90°. 若∠CDE=90°，如图①，：∠CAD=∠CAE=60°， .∠ACD=90°-∠CAD=30° :∠ACB=90°，∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°. :CE平分∠BCD, ·∠DCE=∠ECB=Z∠BCD=30 答案与解析 D E D ② € 第12题答图 若∠CED=90°，如图②，.∠CAE=60°， ∴.∠ACE=90°-∠CAE=30°. :∠ACB=90°，∴.∠BCE=∠ACB-∠ACE=60° :CE平分∠BCD,.∠DCE=∠BCE=60°. 综上，∠DCE的度数为30或60° 12.阶段学情调研（二） 题号1234567 8 答案C B BD BC DB 1.C2.B3.B 4.D【解析】由题意，得x一1≠0，x十3≥0，∴.实数x的取值范围 是x≥一3且x≠1.故选D. 5.B【解析】△ABC≌△DEF,.x=EF=BC=30.故选B. 6.C【解析】A.原命题是真命题，逆命题为同位角相等，两直线平 行，也是真命题，不符合题意.B.原命题是假命题，不符合题意 C.原命题是真命题，逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符 合题意.D.当m=0时，mx=my,所以原命题是假命题，不符合 题意.故选C, 7.D【解析】如图，符合条件的点P有4个.故选D 、 P A P 第7题答图 8.B【解析】：∠ACB=90,.∠BCE=180°-∠ACB=90°.在 (AC-BC, △ADC和△BEC中，∠ACD=∠BCE=90°，∴.△ADC≌ CD=CE, △BEC(SAS),∴·AD=BE,∠CAD=∠CBE,故①正确，符合题意. .∠ADC=∠BDF,∠CAD=∠CBE,.∠ACD=∠BFD= 90°，∴.AF⊥BE.AD平分∠BAC,.∠EAF=∠BAF.在 ∠EAF=∠BAF, △AEF和△ABF中，AF=AF, ∴.△AEF≌ ∠AFE=∠AFB=90°， △ABF(ASA),∴.EF=BF,AE=AB,.BE=2BF,故②正确， 符合题意.：AE=AC+CE,AE=AB,CE=CD,∴.AB=AC+ CD,故③正确，符合题意根据三角形面积公式得，只有当BD= 2CD时，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，故④错误，不 符合题意.故选B. 9-号 10.75°【解析】由题图可知∠ACB=30°，∠DBC=45°，∴.∠AEB =∠DBC+∠ACB=45°+30°=75°.故答案为75°. 11.7【解析】.√a-7+(亿-2)2=0，.a-7=0,b-2=0,解得 a=7,b=2.由三角形的三边关系，得7-2<c<7+2,即5<c< 9.又c为奇数，.c=7.故答案为7. 12.17【解析】BD是AC边上的中线，.AD=CD .CAABD=AB+BD+AD,CARCD=BC+CD+BD, ∴.CAD-CABD=BC-AB. 又.BC=8,AB=5,△BCD的周长为20， .C△A8D=20-3=17.故答案为17. 13.4【解析】，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6m,BC 8m,.AB=√AC+BC=√6+8=10(m), ∴.AC+BC-AB=6+8-10=4(m), ∴.提示牌上的“多行数步”是指多行4m故答案为4. 14.0或-1【解析】：分式2x的值为整数，x为整数， ∴.2x+1=士1,2x+1=士2,2x+1=±4， 解得x=0,x=-1,=号x=一号x=是或=一号 1 由x为整数，得x=0或x=-1,故答案为0或-1. 15.相等或互补【解析】如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE, BC=EF,AG,DH分别是△ABC和△DEF的高，且AG= (AB=DE, DH.在Rt△ABG和Rt△DEH中， AG-DH, .Rt△ABG≌Rt△DEH(HL),.∠B=∠DEH,∴若 ∠DEF是锐角，则∠B=∠DEF;若∠DEF是钝角，则∠B+ ∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°.故这两个三角形的第三边 所对的角的关系是相等或互补.故答案为相等或互补. ② ------ H ③ 第15题答图 16.√5【解析】如图，作点D关 于AB的对称点E,连接 PE,BE,CE,则PE=PD, D .'PC+PD=PC+PE. PC+PE>CE,∴.当P, A B C,E三点共线时，PC十PE 取得最小值，且最小值为 CE的长 E 第16题答图 由对称的性质得DB=EB, ∠ABC=∠ABE. :AC=BC,∠ACB=90°， ∴.∠ABC=∠BAC=45°， .∠ABE=45°，∴.∠CBE=90° :D是BC的中点，CD=BD=2BC=1, .BE=1,.CE=√BC+BE=√2+1严=√5， ∴.PC+PD的最小值为W5. 故答案为5.真题圈数学 同步调研卷 八年级上5E 10.重难题型卷（四） 狗 构造全等三角形 嫩 题型一 倍长中线 州 书抑 1.(期中·北京四中)在△ABC中，AB=3,AC=5,延长BC至 点D,使CD=BC,连接AD,则AD长度的取值范围是( ) A.7<AD<13 B.2<AD<14 C.2<AD<7 D.5<AD<11 2.(期末·平谷区)阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，AD是BC边上 的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F,AF=EF,求 证：AC=BE. 小明发现，延长AD到点H,使DH=AD,连接BH,构造 △BDH,通过证明△BDH与△ACD全等，△BEH为等腰三 製 角形，使问题得以解决（如图②） 请写出证明过程. D 精品 金敏育 D ① ② 第2题图 0 附 腔 @ 3.新定义试题规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个 三角形叫“兄弟三角形”.如图，OA=OB,OC=OD,∠AOB= ∠COD=90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是“兄弟三角形”. (2)取BD的中点P,连接OP,请证明AC=2OP. B p 第3题图 题型二截长补短 4.(期中·北京理工大附中)如图，在△ABC中，AB>AC,AP平 分∠BAC,连接PB和PC,则下列结论正确的是( ) A.AB-AC>PB-PC B.AB-AC=PB-PC C.AB-AC<PB-PC D.AB一AC与PB一PC的大小关系不确定 D 第4题图 第5题图 5.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角 形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别 交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长 为() A.5 B.6 C.7 D.8 -31- 6.如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,AD为∠BAC的平分 线.求证：AB=AC+CD. 小明同学经过思考，得到如下解题思路： 在AB上截取AE=AC,连接DE,得到△ADE≌△ADC,从 而易证AB=AC十CD. (1)请你根据以上解题思路写出证明过程. (2)如图②，若AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC 的延长线于点D,∠D=25°，其他条件不变，请直接写出∠B 的度数. ① ② 第6题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 真题圈数学 同步调研卷 八年级上5E 11.重难题型卷（五） 特殊三角形中的分类讨论 题型一等腰三角形中的分类讨论 类型1与边有关的计算 1.(期中·北京二十中)小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰 三角形，若其中两条边的长分别为15cm和20cm,则这根铁 丝的长为 cm. 2.(期中·北京八中)已知一个周长为10的等腰三角形，设底边 长为x,腰长为y,则x与y的数量关系是 ,若这个等 腰三角形的三边长均为整数，则这样的三角形有 个. 3.(月考·北京二中分校)若等腰三角形的底边长为5cm,一腰 上的中线把其周长分为差为3cm的两部分，则该三角形的腰 长为 4.若△ABC的三边长分别为m-2,2m十1,8. (1)试确定m的取值范围. (2)若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长， 精品图书 金星教 类型2与角有关的计算 5.(期中·大兴区)有一个内角是36°的等腰三角形，其他两个内 角的度数分别是() A.36°，36 B.36°，72 C.36°，108°或72°，72°D.36°，144 6.已知一个等腰三角形的两个内角的比值是2：5，则这个等腰 三角形的顶角的度数是() A.309 B.759 C.30°或75° D.30°或100° 7.(期末·石景山区)如果等腰三角形的一个角比另一个角大 30°，那么它的顶角的度数为 8.在△ABC中，AB=AC,若AB的垂直平分线与AC所在的直 线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数. 9.新定义试题已知：如图，∠MON=36°，射线OM,ON上分别 有点A和点B,点P在线段OB上，连接PA,∠OAB=a(0°< a<144). 若线段PA将△AOB分割为两个等腰三角形，则称线段PA 为△AOB的“a角等分线” (1)如图，当α=90°时，画出△AOB的“90°角等分线”，此时 ∠OAP= (2)当a≠90°时，若存在线段PA为△AOB的“a角等分线”， 则a为多少度. 0 0 36 66 B6 M 第9题图 备用图 备用图 -32 题型二直角三角形中的分类讨论 10.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重 合).当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形： 第10题图 11.已知直角三角形两边的长分别为3cm,4cm,则以第三边为 边长的正方形的面积为 12.探究性试题如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A 在直线MN上，△ABC的位置固定不动，点D,E在直线MN 上运动（点D不与点A重合），且始终满足CE平分∠BCD. (I)当点D在点A左侧时，请直接写出∠CAD与∠CAE之 间的数量关系， (2)若∠CAE=60°，在点D,E运动的过程中，当△CDE是直 盗印必 角三角形时，求∠DCE的度数. 爱学子 第12题图 拒绝盗印