重难题型卷(三) 全等三角形的基本模型-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

33>4>2十3，.S的最大值为33. D H ① ② 第28题答图 9.重难题型卷（三）全等三角形的基本模型 1.OD=OB(答案不唯一) ∠AOB=∠DOC, 2.【证明】在△AOB和△DOC中，∠A=∠D, LAB=DC, 所以△AOB≌△DOC(AAS). 3.【解】在同一条直线上.理由：连接EM,MF,如图. .AB∥CD,∴.∠B=∠C E B A 又M为BC的中点， ∴.BM=MC. 在△BEM和△CFM中， BE=CF, ∠B=∠C, D F BM=CM, 第3题答图 ,∴.△BEM≌△CFM(SAS),∴.∠BME=∠FMC. .·∠BME+∠EMC=180°，∴.∠FMC+∠EMC=180°， .三个小石凳在同一条直线上 4.DC=EB(答案不唯一) 5.【证明】，AD=CF,.AC+DC=CF+DC,∴.AC=DF 〔AB=DE, 在△ABC与△DEF中，BC=EF, AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS),∴.∠B=∠E. 6【证明Ir:在R△ABC和R△AC中，GG, '.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). ∴.∠BAC=∠DAC.∴.AC平分∠BAD 7.【证明】.'点P在∠AOB的平分线上，∴.∠AOP=∠BOP, (OA=OB, 在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP, OP=OP, ∴.△AOP≌△BOP(SAS),'.AP=BP. (AB-DC, 8.【证明】在△ABC与△DCB中，AC=DB, BC-CB, .∴.△ABC≌△DCB(SSS), '.∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC, ∴.∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,即∠1=∠2. 9.D【解析】，·△ABD和△BCE是等边三角形 ∴.AB=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°， ∴.∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,即∠ABE=∠DBC. (AB-DB, 在△ABE和△DBC中，∠ABE=∠DBC BE-BC, ∴.△ABE≌△DBC(SAS),故①正确， ∴.∠AEB=∠DCB,∠BAE=∠BDC,AE=DC,∴.∠AFD= ∠DCB+∠EAB=∠AEB+ ∠EAB=∠EBC=60°，故④正确. 如图所示，过点B作BG⊥CD于 点G,BH⊥AE于点H. △ABE≌△DBC,∴.BH= BG.又.BG⊥CD,BH⊥AE, .点B在∠AFC的平分线上， B .FB平分∠AFC,故②正确. 第9题答图 在AE上截取AI=DF,连接BI 真题圈数学八年级上5E AB-DB, 在△ABI和△DBF中，∠BAI=∠BDF, LAI-DF, ∴.△ABI≌△DBF(SAS),∴.∠AIB=∠DFB. 又∠AFD=60°，.∠AFC=120°， ∴.∠IFB=∠BFC=60,∴.∠AIB=∠DFB=120°， ∴.∠BIF=180°-∠AIB=60°，.△BFI是等边三角形， ∴.FI=BF,.AF=AI十FI=DF+BF,故③正确.故选D. 10.【解】，∠ADC=∠ADE+∠3=∠1+∠B,∠1=∠3， .∠ADE=∠B.∠1=∠2， .∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. (∠B=∠ADE, 在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE: AC=AE, .△ABC≌△ADE(AAS),∴.AB=AD,∴.∠B=∠ADB. :∠1=30，·.∠B=∠ADB=号×(180°-30)=75， ∴.∠ADE=75. 11.(1)【证明】在△ABE和△ACD中，·AB=AC,AE=AD,BE =CD,∴.△ABE≌△ACD(SSS), .∴.∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, .∠BAC=∠EAD. (2)【解】∠3=∠1十∠2.证明如下：由题图知，∠3=∠ABE+ ∠BAE,又由(1)知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠2，∠BAE =∠1，.∠3=∠1+∠2. 12.【证明】(1)，·在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE, AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°，∴.∠CAG+∠EAG=∠BAE +∠EAG,∴.∠CAE=∠GAB. (AB-AE, 在△ABG和△AEC中，∠GAB=∠CAE, LAG-AC, .△ABG≌△AEC(SAS),∴.BG=CE. (2)设AG,CE相交于点N, 由(1)得△ABG≌△AEC,∴.∠ACE=∠AGB. .·∠ANC=∠MNG,∴.∠GMN=∠CAG=90°..CE⊥BG. (BF=CD, 13.D【解析】在△BDF和△CED中，∠B=∠C, BD=CE, ∴.△BDF≌△CED(SAS),.∠BFD=∠CDE :∠FDC=∠FDE+∠CDE=∠B+∠BFD, ∠FDE=∠B.又：∠FDE=65,∠B=65°， ∴.∠A=180°-2∠B=50°.故选D, 14.B【解析】，∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°， .∠BAG=∠AEF. ∠F=∠AGB=90°， 在△AEF和△BAG中，∠AEF=∠BAG, AE-BA, .△AEF≌△BAG(AAS),.AF=BG=2,AG=EF=5. 同理可得△BCG≌△CDH,∴.GC=DH=3,CH=BG=2, .FH=FA+AG+GC+CH-12, S形EH=Z(EF+DH)·FH=48,SAAr=SAAG= 合AP,EF-5,Sam=Sam=号CH·DH=3,题图中实 线所围成的图形的面积=48一2×5一2×3=32.故选B. 15.57【解析】，两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置， .∠A=∠B=90°，∴∠C+∠CMA=90°. .∠CMD=90°，∴.∠CMA+∠DMB=90°，∴.∠C=∠DMB. ∠A=∠B, 在△CAM和△MBD中，∠C-=∠DMB, CM=MD, 答案与解析 .△CA≌△MBD(AAS),∴.AC=BM,AM=BD, 'BM=5 m,AB=12 m, ∴.AC=5m,BD=AM=12-5=7(m).故答案为5；7. 16.(1)【证明】：BD⊥AE,CE⊥AE,∴.∠BDA=∠AEC=90°. 又.'∠BAC=90°，'.∠DAB+∠CAE=∠ABD+∠DAB=90°， .∠ABD=∠CAE. (∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠CAE, AB-CA, .∴.△ABD≌△CAE(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD+AE=CE+BD,.BD=DE一CE. (2)【解】BD=DE+CE. 证明：BD LAE,CE⊥AE,∠BAC=90°， .∴.∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°. .∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°， .∠ABD=∠CAE. (∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, AB-CA, ∴.△ABD≌△CAE(AAS),.BD=AE,AD=CE. AE=DE+AD,..BD=DE+CE. 10.重难题型卷（四）构造全等三角形 1.A【解析】如图，延长AC至点E, 使CE=AC,连接DE, 在△ABC和△EDC中， (AC-EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, 第1题答图 ,∴.△ABC≌△EDC(SAS),∴.AB =DE. AB=3,AC=5,.AE=2AC=10,DE=3, ∴.10-3AD10+3,即7<AD13.故选A. 2.【证明】：AD是BC边上的中线，.BD=CD. (DH-DA, 在△BDH和△CDA中，∠BDH=∠CDA, BD-CD. '.△BDH≌△CDA(SAS),.BH=AC,∠CAD=∠H. .·AF=EF,∴.∠CAD=∠AEF 又，∠BEH=∠AEF,.∠CAD=∠BEH, .∠H=∠BEH,.BH=BE,∴.AC=BE 3.【证明1(1)：∠AOB=∠COD=90°，.∠AOC+∠BOD=360 -∠A0B-∠C0D=360°-90°-90°=180°. 又，OA=OB,OC=OD,∴.△OAC和△OBD是“兄弟三角形” (2)如图，延长OP至点E,使PE= OP,连接BE.,P为BD的中点， B ∴.BP=PD.在△BPE和△DPO中， (PE=PO, ∠BPE=∠DPO, BP=DP, ∴.△BPE≌△DPO(SAS), ∴.BE=OD,∠E=∠DOP, ∴BE∥OD,∴.∠EBO+∠BOD= 第3题答图 180. 又.∠BOD+∠AOC=180°，.∠EBO=∠AOC. .BE-OD,OD=OC,.'BE-OC. (OB-AO 在△EBO和△COA中，∠EBO=∠COA, BE=OC, ∴.△EBO2△COA(SAS),∴.OE=AC 又OE=2OP,∴.AC=2OP. 4.A【解析】如图，在AB上截取AD,使AD=AC,连接DP. :AP平分∠BAC,∴.∠DAP=∠CAP. 「AD=AC, 在△ADP和△ACP中，∠DAP=∠CAP, AP=AP, ∴.△ADP≌△ACP(SAS),∴.PD=PC 在△BPD中，BD>PB-PD,∴.BD>PB-PC 又，BD=AB-AD=AB-AC,∴·.AB-AC>PB-PC.故选A A M D B4 B D 第4题答图 第5题答图 5.B【解析】.△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴.BD=CD,∠BCD=∠DBC=30° ,△ABC是边长为3的等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴.∠DBA=∠DCA=90° 如图，延长AB至点F,使BF=CN,连接DF (BF=CN, 在△BDF和△CDN中，∠FBD=∠DCN=90°， DB-DC, ∴.△BDF≌△CDN(SAS),∴.∠BDF=∠CDN,DF=DN, ,∠MDN=60°，∴.∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， ∴.∠BDM+∠BDF=60°，∴.∠MDF=60° (DM-DM. 在△DMF和△DMN中，∠MDF=∠MDN=60°， DF-=DN, ∴.△DMF≌△DMN(SAS),∴.MF=MN, ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN= AB十AC=6.故选B. 6.(1)【证明】如图①，在AB上截取AE=AC,连接DE. AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD. (AE-AC, 在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD, AD-AD, ∴.△AED≌△ACD(SAS),.ED=CD,∠C=∠AED. ∠ACB=2∠B,∴.∠AED=2∠B. '∠B+∠BDE=∠AED,∴.∠B=∠BDE, ∴.BE=ED=CD,∴.AB=AE+BE=AC+CD. F E A D C ① ② 第6题答图 (2)【解】∠B=50° 分析：如图②，在射线BA上截取AE=AC,连接DE, AD为∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD. (AE-AC, 在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD, AD-AD, .'.△AED≌△ACD(SAS),'.ED=CD,∠AED=∠ACD :∠ACB=2∠B,.可设∠B=x,则∠ACB=2x, .∠EAC=3x°，∠EAD=∠CAD=1.5.x°. :∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x°， .∠ADC=0.5x°=25°，解得x=50,.∠B=50°.真题圈数学 同步调研卷 八年级上5E 9.重难题型卷（三） 狗 全等三角形的基本模型 尽 饰 题型一 “8”字型 州 书抑 1.开放性试题如图，AC与BD相交于 点O,OA=OC,那么要得到△AOD ≌△COB,可以添加的条件是 (填一个即可) 第1题图 2.已知：如图AC,BD相交于点O,∠A=∠D,AB=CD, 求证：△AOB≌△DOC. 0 典 第2题图 3.情境题（月考·陈经纶中学)如图，公园里有一条“Z”字形道路 % ABCD,其中AB∥CD.在E,M,F处各有一个小石凳，E,F分 别在AB,CD上，且BE=CF,M为BC的中点，请问三个小石 凳是否在同一条直线上？说出你推断的理由. E D F 第3题图 0 附 圍 品 @ 题型二平移型 4.开放性试题如图，点C是线段 AB的中点，∠DCA=∠EBC. 请你添加一个条件，使△DAC A ≌△ECB.你添加的条件是 第4题图 .(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可) 5.(期末·顺义区)如图，已知AB=DE,BC=EF,AD=CF.求 证：∠B=∠E. D C 第5题图 题型三翻折型 6.(期中·大兴区改编)如图，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠D=90°.求证：AC平分∠BAD, B ◇D 第6题图 -29 7.(期末·平谷区)如图，点P在∠AOB的平分线上，OA=OB, 求证：AP=BP. 第7题图 8.(期中·北京理工大附中)如图，已知AB=DC,AC=DB.求 证：∠1=∠2. 爱学子 第8题图 拒绝盗印 题型四共顶点旋转型 9.（期末·平谷区)如图，在等边三角形ABD和等边三角形BCE 中，A,B,C三点共线，AE和CD相交于点F,连接BF,下列结 论中正确的个数是( ) ①△ABE≌△DBC; ②FB平分∠AFC; ③AF=DF+BF; ④∠AFD=60°. A.1 B.2 第9题图 C.3 D.4 10.(期中·首师大附中改编)如图，点D在BC上，AC=AE,且 ∠1=∠2=∠3=30°，求∠ADE的度数. R 13 D 第10题图 11.(期中·北京四中改编)如图，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD. (1)求证：∠BAC=∠EAD. (2)写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明. 品 第11题图 12.如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG 交于点M,点M在△ABC的外部. 求证：(1)BG=CE. (2)CE⊥BG M B 第12题图 题型五一线三等角 13.(期中·北京四中)如图，在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD, BD=CE,∠FDE=65°，则∠A的度数是() A.45° B.70° C.65° D.50° B 2 3 B D G -H 第13题图 第14题图 14.(期中·北京一六一中学改编)如图，AE⊥AB且AE=AB, BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积是() A.30 B.32 C.35 D.38 -30 15.情境题（期中·北京十一学校）如图，两根旗杆AC和BD垂 直于地面AB放置，它们之间的距离 AB=12m.某人从点B出发，沿BA 方向走了5m到达点M处.此时，他 仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的 夹角∠CMD=90°，且CM=DM,则 M 第15题图 旗杆AC的高度是 m,旗杆 BD的高度是 m. 16.探究性试题(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,AE是过点A的一条直线，且点B,C在AE的同侧， BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,求证：BD=DE-CE. (2)上题中，变成如图②，点B,C在AE的异侧时，BD,DE, CE的数量关系如何？并加以证明。 盗印必穷 ② 第16题图 关爱学子 拒绝盗印