专题05 全等三角形综合（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期北京版

专题05 全等三角形综合 1大高频考点概览 考点01 全等三角形综合 地 城 考点01 全等三角形综合 一、解答题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②结论：，见解析 【分析】（1）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②证明，即可； （2）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②结论：．设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接．证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析： (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，，则，根据对称的性质得到，求得 ，于是得到． （3）如图：延长到M，使，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则得到，再运用等量代换即可解答． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： ． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点C关于直线的对称点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段之间的数量关系是，证明如下： 证明：如图：延长到M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；证明见解析 【分析】（1）根据即可证明，进而可以解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②延长到点，使，证明，得，，所以，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴在证明时，使用的判定依据是， 故答案为：； （2）①解：如图，即为补全的图形； ②． 证明：如图，延长到点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． (1)依题意补全图形； (2)判断和的数量关系，并证明； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与以及性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定以及性质． （1）依题意补全图形即可． （2）由直角三角形两锐角互余可得出，由垂线的定义得出，则，等量代换可得出． （3）连接．由等腰三角形的判定以及性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】（1）解：依题意补全图形如下； （2）解：数量关系：； 证明：于点E， 是的高， ． ． （3）证明：连接． ，， ． 是的高， ． ． ． 点E是的中点， ，． ， ， ． 由（2）知，， 在与中， ， ． 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）： ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时()，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①由，得出； ②作交于，可证得，，进而得出≌，从而，，从而得出，进一步得出结论； （2）作交于，得出，从而，，进而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ，， ， ； ②解：如图1， 作交AD于F， ， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作交BD于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， 6．(24-25八上·北京燕山·期末)已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． (1)当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意，作出图形即可；②根据轴对称的性质可得：垂直平分，得出，，确定是等边三角形，利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得，证明，得到，结合图中线段间的数量关系即可证明； （2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点在线段上时，，②当点在点的左侧时，，③当点在点右侧时，，根据等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①补全图1如 下： ②，证明如下： 点关于射线的对称点为， 垂直平分， ， 又， ， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 即； （2）解：或或； ①当点在线段上时，，证明过程为（1）； ②当点在点的左侧时，，如下图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 即； ③当点在点右侧时，，如图所示，证明如下： 由（1）得，是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，中，，（），D为线段上一点，连结，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连结，取的中点F，连结，． ①依题意补全图形； ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】对于（1），根据三角形内角和定理得，结合已知条件得，进而得出，则结论可证； 对于（2），作图形；延长到点M，使，连结、，可根据“边角边证明，可得，，接下来说明，然后根据“边角边”证明，可得，最后根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，， ∵在中，， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）①补全图形如图1所示： ②解：如图2，延长到点M，使，连结、． ∵F是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴ ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)120 (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）先补全图形，可得为等边三角形，证明，再根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质求解； （2）①连接，先证明为等边三角形，再证明，，则，故，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图形，证明同①即可． 【详解】（1）解：补全图形，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （2）解：①，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意得出，再由对顶角相等及等角的余角相等即可证明； （3）延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，确定，结合题意确定，结合图形进行等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）延长至H，使得，连接，如图所示： 由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用“截长补短法”证明线段的和差关系是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由，可证得，于是可得，，进而可得，即是等边三角形，于是可得，再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即：， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形综合 1大高频考点概览 考点01 全等三角形综合 地 城 考点01 全等三角形综合 一、解答题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 4．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，，，是的高，点E是的中点，连接交于点F，过点E作于点E，交的延长线于点G，交于点H． (1)依题意补全图形； (2)判断和的数量关系，并证明； (3)求证：． 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）： ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时()，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 6．(24-25八上·北京燕山·期末)已知：是等边三角形，是直线上一动点，连接，在线段的右侧作射线且使，作点关于射线的对称点，连接，． (1)当点在线段上运动时， ①依题意将图1补全； ②请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在直线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不需证明． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)如图，中，，（），D为线段上一点，连结，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连结，取的中点F，连结，． ①依题意补全图形； ②求． 8．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，在中，，，点是上一点（不与点，重合）．作射线，过点作于点，点关于直线的对称点为点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $