重难题型卷(一) 全等三角形-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ5E 4.重难题型卷（二） 湘 全等三角形 题型一一线三等角模型 州 书期 1(期中·北京四中)如图，在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD, BD=CE,∠FDE=65°，则∠A的度数是( A.45° B.70° C.65° D.509 D 第1题图 第2题图 製 2.(期中·北京理工大附中)如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE CE于点E,AD⊥CE于点D,下面四个结论：①∠ABE ∠BAD;②△CEB≌△ADC;③AB=CE;④AD-BE=DE. 其中正确的序号是( A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 3.情境题（期中·北京十一学校）如图，两根旗杆AC和BD垂 直于地面AB放置，它们之间的距离 金星教育 D AB=12m.某人从点B出发，沿BA 方向走了5m到达点M处.此时，他 仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的 夹角∠CMD=90°，且CM=DM,则旗 心 杆AC的高度是 第3题图 m,旗杆BD 的高度是 m. 题型二“手拉手”模型 4.(期中·人大附中)如图，在等边三角形ABC和等边三角形 警加 CDE中，B,C,D三点共线，且BC=3CD,AD和BE相交于点 H F,连接CF,下列四个结论 题) ①△ACD≌△BCE; 司 ②FC平分∠BFD; 画 ③BF=3DF; ④BF=AF+FC 其中正确结论的序号有 第4题图 5.(期末·怀柔区)如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE,且B,D,E三点共线，试说明：∠3=∠1十∠2. D 第5题图 题型三构造全等三角形 类型1截长补短 6.(期中·北京理工大附中)如图，在△ABC中，AB>AC,AP平 分∠BAC,连接PB和PC,则下列结论正确的是() A.AB-AC>PB-PC B.AB-AC-PB-PC C.AB-AC<PB-PC D.AB-AC与PB-PC的大小关 系不确定 第6题图 7.探究性试题问题背景： 数学课上，老师在黑板上展示了一道题： 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B= ∠D=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°.试 说明：EF=BE十DF 小明同学探究此问题的方法是：如图②，延长FD到点G,使 DG=BE,连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌ △AGF,即可得出结论， (1)根据小明同学的探究方法写出说明过程. 拓展应用： (2)如图③，四边形ABCD的周长为18，AB=AD=4,∠B十 ∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF= -11 2∠BAD,请直接写出△CEF的周长. B E ① ② 第7题图 爱学 类型2倍长中线 8.(期中·北京四中)在△ABC中，AB=3,AC=5,延长BC至 点D,使CD=BC,连接AD,则AD长度的取值范围是() A.7<AD<13 B.2<AD14 C.2<AD<7 D.5<AD<11 9.(期中·北京三帆中学)老师在某节数学课上提出了如下问 题：在△ABC中，AB=8,AC=6,求边BC上的中线AD长的 取值范围。 某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图①）： ①延长中线AD至点Q,使得DQ=AD; ②连接BQ,把AB,AC,2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系，可得2<AQ<14. D 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出AD的取值范围是 第9题图① (2)解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字 眼，可以考虑“倍长中线法”，通过构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 如图②，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE= ∠CAF=90°，用等式表示EF和AD的数量关系并证明. D 第9题图② 题型四动点问题 10.(期中·北京师达中学)如图，∠C=∠CAM=90°，AC 8cm,BC=4cm,点P在线段AC上以2cm/s的速度从点A 出发向点C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动， 且PQ=AB,当点P的运动时间为 s时， △ABC能和△PQA全等. 精品图 金星教育 1- 01 第10题图 第11题图 11.(期中·北京日坛中学)如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A(6,0),B(0,8),P,Q是两个动点，其中点P以每秒2个单 位长度的速度沿折线AOB(按照A一O一B)的路线运动，点 Q以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA(按照B一O一A) 的路线运动，运动过程中点P和点Q同时开始，而且都要运 动到各自的终点时停止.设运动时间为t秒，直线1经过原点 O,且l∥AB,过点P,Q分别作1的垂线段，垂足为E,F,当 △OPE与△OQF全等时，t的值为 12.(期中·北师大二附中西城实验学校)如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=∠D,E是AB边上一点，EB=6cm,BC= 8cm,点P从点B出发以2cm/s的速度沿线段BC,CD运 动，同时点Q从点C出发，沿线段CD、射线DA运动，当点P 运动到点D时，两点都停止运动，设运动时间为ts. (1)当点Q与点P的速度相同，且t=1时，求证：△EBP≌ △PCQ. (2)当点Q与点P的速度不同，且点P,Q分别在BC,CD (CD>EB)上运动时（如图①），若△EBP与△PCQ全等，求 此时点Q的速度和t的值： (3)当点P运动到CD上，点Q运动到射线DA上时（如图 ②)，若点Q的速度为2.5cm/s,是否存在恰当的边CD的 长，使在运动过程中某一时刻刚好△BCP与△PDQ全等？ 若存在，请求出此时t的值和边CD的长；若不存在，请说明 理由. 6 ① ② 第12题图 题型五角平分线性质的应用 13.（期末·北京二中分校改编)如图，BD是 E △ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E. 已知△ABC的面积为21，AB=8,BC=6, 则DE的长为() A.3 B.4 C.7 D.14 第13题图 -12- 14.(期中·北京十一学校)如图，点M是∠AOB平分线上的一 点，点P,Q分别在射线OA,OB上，满足OP=2OQ,若 △OMP的面积是2，则△OQM的面积是() A.1 B.2 C.3 D.4 A Q 第14题图 第15题图 15.(期中·北京交大附中)如图，点O在△ABC内，且到三边的 距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= 0 16.(期中·北京八中)如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A, 点Q是射线OM上一个动点，若PA=2,则PQ长的最小值 为 M P A N 牛 第16题图 第17题图 17.(月考·清华附中)如图，已知点O为△ABC的两条角平分 线的交点，过点O作OD⊥BC于点D,且OD=4,若△ABC 的周长是17，则△ABC的面积为 18.(开学考·北京十一学校)如图，AD为∠BAC的平分线， DF⊥AC于点F,∠B=90°，DE=DC,试说明：BE=CF E B D 第18题图·2CE·OM=2DB.ON 又：CE=DB,∴.OM=ON.又，OM⊥CE,ON⊥BD, ∴.点O在∠CAB的平分线上，.∠BAO=∠CAO. 26.(1)【证明】如图，过点M作ME⊥AD 于点E, :DM平分∠ADC,∠C=90°，ME⊥ E AD,.MC=ME. ,M为BC的中点， ∴.BM=MC=ME. 又：∠B=90°，ME⊥AD, .AM平分∠DAB. A (2)【解】DMLAM.证明如下： 第26题答图 :∠B=∠C=90°，∴.∠B+∠C=180°，.AB∥DC, .∠BAD+∠ADC=180° :AM平分∠DAB,DM平分∠ADC, ·.∠MAD=号∠BAD,∠MDA=号∠ADC, .∠MAD+∠MDA=90°，.∠AMD=90°，∴.DM⊥AM. 27.(1)【证明】·△ACF与△BCE都是等边三角形， ∴.∠ACF=∠BCE=60°，AC=FC,CB=CE, .∠ACF+∠ECF=∠BCE+∠ECF,即∠ACE=∠FCB. (AC-FC, 在△ACE和△FCB中，∠ACE=∠FCB, CE-CB, ∴.△ACE≌△FCB(SAS),.AE=BF (2)【解】①补全图形如 E 图所示. ②，·△ACE≌△FCB, ∴.∠CAM=∠CFN, AE=BF. :M,N分别是AE, BF的中点， ∴.AM=FN. 第27题答图 AC=FC, 在△ACM和△FCN中，∠CAM=∠CFN, AM-FN, ∴.△ACM≌△FCN(SAS),∴.CM=CN,∠ACM=∠FCN, ∴.∠ACM-∠FCM=∠FCN-∠FCM, 即∠MCN=∠ACF=60°. 综上，CM=CN,∠MCN=60° 28.(1)【解】①，：BE⊥AC,∴.∠AEB=∠DEC=90°. 又.∠DBA=∠DCA,AB=CD, ∴.△ABE≌△DCE(AAS),∴.AE=DE, 则△ADE为等腰直角三角形，∴.∠DAE=∠ADE=45°. ②AC=2DE+BD. 分析：由(1)得△ABE≌△DCE,.BE=CE,AE=DE, .'AC=AE+CE=DE+DE+BD=2DE+BD. (2)【证明】如图，过点F作FG⊥ AM,交AM的延长线于点G,过点C 作CH⊥AM于点H,过点A作 AN⊥BD,交BD的延长线于点N, 过点D作DK⊥AC于点K, HP '∠ABD=∠DCA,∠ANB M ∠DKC=90°，AB=CD, F------G .△ABN≌△DCK(AAS), 第28题答图 .AN-DK. 又.'AD=DA,∴.Rt△ADN≌Rt△DAK(HL), 真题圈数学八年级上RJ5E .∠ADN=∠DAK. :∠ADN=∠FDG,∴.∠FDG=∠DAK. M为CF的中点，.CM=FM 又.·∠CMH=∠FMG,∠CHM=∠FGM, ∴.△CMH≌△FMG(AAS),∴.CH=FG. 又.∠AHC=∠G=90°， .△ACH≌△DFG(AAS),.DF=AC 4.重难题型卷（二）全等三角形 BF=CD, 1.D【解析】在△BDF和△CED中，∠B=∠C BD=CE, ∴.△BDF≌△CED(SAS),∴.∠BFD=∠CDE. :∠FDC=∠FDE+∠CDE=∠B+∠BFD, .∠B=∠FDE=65,.∠A=180°-2∠B=50°.故选D. 2.A【解析】BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D, '.BE∥AD,∴.∠ABE=∠BAD,故①正确. ∠BCE+∠DCA=90°，∠DCA+∠CAD=90°， ∴.∠BCE=∠CAD. (∠BEC=∠CDA, 在△CEB和△ADC中，∠BCE=∠CAD, BC=CA. .△CEB≌△ADC(AAS),故②正确. ,.CE=AD,BE=CD,.AD一BE=CE-CD=DE,故④正确 由题意知AD<AC<AB,故CE<AB,故③错误.故选A 3.57【解析】.·两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置， ∴.∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CMA=90°. :∠CMD=90°，.∠CMA+∠DMB=90°，∴.∠C=∠DMB. 在△CAM和△MBD中，∠A=∠B,∠C=∠DMB,CM=MD, .△CAM≌△MBD(AAS),∴.AC=BM,AM=BD. .BM=5 m,AB=12 m, ,∴.AC=5m,BD=AM=12-5=7(m).故答案为5；7. 4.①②③④【解析】·△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠BCE=∠ACD. (AC-BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS).故①正确. 如图①，过点C作CG⊥AD于 点G,CH⊥BE于点H. :△ACD≌△BCE, SACD=SARE AD=BE, ·.2AD.CG=2BE·CH, D ∴.CG=CH 又.CG⊥AD,CH⊥BE, 第4题答图① ∴.点C在∠BFD的平分线上，∴.FC平分∠BFD.故②正确. BC=3CD,..SABC_BC_ %=3,即2BF·C BF DF.CG 3,=3, 即BF=3DF.故③正确. 如图②，在BF上截取BI,使BI= AF,连接CI. .·△ACD≌△BCE, ∴.∠CAF=∠CBL. 在△BCI和△ACF中， 第4题答图② 答案与解析 BC=AC, ∠CBI=∠CAF,∴.△BCI≌△ACF(SAS),.∠BIC=∠AFC BI=AF, ,∠CAD=∠CBE, ∴.∠AFB=∠ADB+∠CBE=∠ADB+∠CAD=∠ACB= 60°，.∠BFD=120°，∴.∠IFC=∠DFC=60°， ∴.∠BIC=∠AFC=120°，∴.∠CIF=180°-∠BIC=60°， .∠FCI=60°，∴.△CFI是等边三角形， ∴.FI=FC,∴.BF=BI十FI=AF+FC.故④正确. 综上，正确结论的序号有①②③④. 5.【解】：∠BAC=∠DAE, .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠1， ..∠BAD=∠1. (AB-AC, 在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠1， AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS),.∠ABD=∠2， ∴.∠3=∠ABD+∠BAD=∠1+∠2. 6.A【解析】如图，在AB上截取 AD,使AD=AC,连接DP. .·AP平分∠BAC, .∠DAP=∠CAP 在△ADP和△ACP中，AD=BA AC,∠DAP=∠CAP,AP=AP, 第6题答图 .△ADP≌△ACP(SAS),∴.PD=PC. 在△BPD中，BD>PB-PD,∴.BD>PB-PC 又，BD=AB-AD=AB-AC,'.AB-AC>PB-PC.故选A 7.【解】(1)如题图②，.'∠B=∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG= 180°，.∠B=∠ADG=90°. 在△ABE和△ADG中，BE=DG,∠B=∠ADG,AB=AD, ∴.△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. .·∠EAF=60°，∠BAD=120°，.∠BAE+∠DAF=60°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=6O°， ∴.∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中，AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SAS),∴.EF=GF. GF=DG+DF=BE+DF,.EF=BE+DF. (2)△CEF的周长为10. 分析：由(1)同理可得EF=BE+DF,.△CEF的周长为CE十 CF+EF=CE+CF十BE+DF=BC十CD.'四边形ABCD的 周长为AB+AD+BC+CD=18,AB=AD=4,.BC+CD= 18-AB-AD=10,∴.△CEF的周长为10. 8.A【解析】如图，延长AC至点E, A 使CE=AC,连接DE. 在△ABC和△EDC中， (AC=EC, ∠ACB=∠ECD, E BC=DC, 第8题答图 ∴.△ABC≌△EDC(SAS),∴.AB=DE. .AB=3,AC=5,.AE=2AC=10,DE=3, .10-3<AD<10+3,即7<AD13.故选A 9.【解】(1)1<AD7 分析：如题图①，延长中线AD至点Q,使DQ=AD,连接BQ, 则AQ=2AD. ,AD是△ABC的中线，.BD=CD .·DQ=DA,∠BDQ=∠ADC, .△BDQ2△CDA(SAS),.BQ=AC=6. 由三角形三边关系得AB-BQ<AQ<AB+BQ, ∴.8-6<AQ8+6,.2<AQ14, ∴.22AD14,..1<AD7 (2)EF=2AD.证明如下： 如图，延长AD到点K,使DK=AD, 连接BK, 则AK=2AD. A ,AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD. '∠BDK=∠CDA,DK=DA, B D ∴.△BDK≌△CDA(SAS), ∴.BK=AC,∠K=∠CAD, K .AC∥BK, 第9题答图 ∴.∠ABK+∠BAC=180°. ∠BAE=∠CAF=90°，∴.∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠ABK=∠EAF. AF=AC,∴.BK=AF ∠ABK=∠EAF,AB=AE, .'.△BAK≌△AEF(SAS),.EF=AK,∴.EF=2AD. 10.2或4【解析】在Rt△ABC与Rt△QPA中，AB=PQ, 若AC=AQ,则Rt△ABC≌Rt△QPA,则AP=BC=4cm, :点P的速度为2cm/5,.4÷2=2(s). 在Rt△ABC与Rt△AQP中，AB=QP, 若BC=AQ,则Rt△ABC≌Rt△PQA,则AP=AC=8cm, :点P的速度为2cm/s,.8÷2=4(s). 故答案为2或4. 1.号或2或6【解析】由题意，0P和0Q是两直角三角形的斜 边，当△OPE与△OQF全等时，OP=OQ, I.当点P在OA上，点Q在OB上时，OP=6-2t,OQ=8一 5,6-2=8-54=号 Ⅱ.当点P,Q都在OA上，点P,Q重合时，两三角形重合， OP=6-2t,0Q=5t-8,.6-2t=5t-8,.t=2. Ⅲ.当点P在OB上，点Q在OA上，且点Q与点A重合时， 0P=2t-6,0Q=6,.2t-6=6,.t=6. 综上，满足题意的t的值为子或2或6.故答案为子或2或6. 12.(1)【证明】由题意，得BP=CQ=1×2=2(cm). 'BC=8cm,∴.PC=8-2=6(cm),∴.BE=CP. 又.'∠B=∠C,.△EBP≌△PCQ(SAS). (2)【解】，点P与点Q的速度不同，∴.BP≠CQ △EBP与△PCQ全等， .'CQ=BE=6 cm,PB=PC=4 cm, .t=4÷2=2,.6÷2=3(cm/s), ∴.点Q的速度为3cm/s,t的值为2. (3)【解】存在.设CD=ycm :△BCP与△PDQ全等，∠C=∠D,∴.有两种情形： ①BC=PD,PC=QD,即△BCP≌△PDQ, 由此可得叶8-2=8， 解得 2t-8=2.5t-y ②PC=PD,BC=DQ,即△BCP≌△QDP, =9, 12-8=y十8一2解得 由此可得2.5t一y=8, -9 综上，当=9.CD=号m时，△BCP2△PDQ: 当：=9，CD号m时，△BCP△QDP, 13.A【解析】如图，过点D作DF⊥BC于点F, BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC,.DE=DF :△ABC的面积为21，AB=8,BC=6, :号×8DE+号×6DF=21,解得DE=DF=3, 故选A D M F C FQ 第13题答图 第14题答图 14.A【解析】如图，过点M作ME⊥OA,MF⊥OB,垂足分别为 E,F. :M是∠AOB平分线上的一点，ME⊥OA,MF⊥OB, .'ME=MF. :Sm=2OP·EM=2,∴OP·EM=4. .'OP=2OQ,.OQ·EM=2, ·Samw=2OQ·MF=20Q·EM=1.故选A 15.120【解析】：点O在△ABC内，且到三边的距离相等， .点O是△ABC三个角的平分线的交点， ·.∠OBC+∠OCB=号（∠ABC+∠ACB)=号(180°- ∠A)=号×(180°-60)=60. 在△BC0中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-60°= 120°.故答案为120. 16.2 17.34【解析】如图，过点O作OE1 AC于点E,OF⊥AB于点F,连接 OA.:点O为△ABC的两条角平 P 分线的交点， .BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. 又：OE⊥AC,OF⊥AB,OD⊥BC,B D OD=4, 第17题答图 ÷0E=0D=4,0F=0D=4,Sm=合AB·0F=2AB, So-BC OD-2BC,Sao-AC.OE-2AC, SAAB=SAOB+SAOx+SAoC=2AB+2BC+2AC=2(AB+ BC+AC). :△ABC的周长是17，.AB+BC+AC=17, .SAc=2(AB+BC+AC)=2×17=34.故答案为34. 18.【解】：∠B=90°，.BD⊥AB. 又：AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC,∴.DB=DF. 在R△BDE和R△FDC中，DB=DF, (DE=DC, .Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),∴.BE=CF 5.阶段学情调研（一） 题号 1 2 3456 7 8 答案CB BBA D C D 1.C2.B 真题圈数学八年级上RJ5E 3.B【解析】因为2+3+4=9,180×号=40,180°×号=60， 180×号=80°，所以三个内角的度数分别是40,60,80，故选B 4.B 5.A【解析】·小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴.确定三角形的依据是SAS. :小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴.确定三角形的依据是HL.故选A 6.D【解析】要使点H到AB,AC的距 离相等，则点H在∠BAC的平分线上. 排除选项A,B. 如图，作AD平分∠BAC. 设BE是AC边上的中线，交AD于点H, 则△ABE的面积=△BCE的面积， B D △AHE的面积=△CHE的面积， 第6题答图 .△ABE的面积-△AHE的面积= △BCE的面积-△CHE的面积， .△ABH的面积=△CBH的面积， ∴.凉亭H是∠BAC的平分线与AC边上中线的交点.排除选项 C,故选D. 7.C【解析】如图，·∠1=∠B+ B ∠F=∠D+∠3，∠D=28°， ∴.∠3=∠B+∠F-28° E 又.∠2=∠A+∠C, ∴.∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+ 0 ∠F-28°. :∠2+∠3=180°， ∴.∠A+∠C+∠B+∠F-28°= 第7题答图 180°，.∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°.故选C. 8.D【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于 B 点E,过点C作CF⊥x轴于点F, .·AC⊥AB, C. ∴.∠AFC=∠AEB=90°=∠BAC, ∴.∠CAF+∠BAE=90°=∠CAF+ FOAE龙 ∠ACF,∴.∠ACF=∠BAE. 第8题答图 在△ACF和△BAE中， ∠AFC=∠BEA, ∠ACF=∠BAE, AC=BA, ∴.△ACF≌△BAE(AAS),∴.CF=AE,AF=BE. A(2,0),B(3,b),.AF=BE=b,AO=2,.OF=b-2, ∴.点C的横坐标为2一b.故选D. 9.15【解析】设三角形的第三边长为x, 则5一2<x<5+2,即3<x<7. 第三边的长为整数，∴.x可取4或5或6. '.第三边的长度可取的整数之和为15.故答案为15. 10.60° 11.AC=DC(答案不唯一) 12.45°【解析】，∠B=80°，∠C=30°， .∠BAC=180°-80°-30°=70°. .△ABC≌△ADE,∴.∠DAE=∠BAC=70°， .∠EAC=∠DAE-∠DAC=70°-25°=45. 故答案为45°. 13.41【解析】：∠ACF是△ABC的外角，.∠ACF=∠A+ ∠B,∴.∠A=∠ACF-∠B=139°-79°=60°， ,.∠AED=180°-∠ADE-∠A=180°-79°-60°=41°. 故答案为41.