第十三章 三角形 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ5E 狗 1.第十三章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.(期中·北大附中)如图，在△ABC中，AC边上的高是() A.线段BD B.线段BA C,线段BC D.线段DA 都 C D 製 第1题图 第2题图 2.(期中·北京一零一中学)如图，在△ABC中，∠B=70°，点D在BC的延长线上，∠ACD=150°，则 ∠A的度数是( A.70° B.809 C.30° D.100° 3.(期中·北京八十中)关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则( A.甲、乙两种分法均正确 B.甲分法正确，乙分法错误 C.甲分法错误，乙分法正确 D.甲乙两种分法均错误 等腰三 锐角 等边 角形 直角 三角形 三角形 三角形 三边都不相等 钝角 的三角形 三角形 甲 乙 第3题图 第4题图 4.(期中·北师大附属实验中学改编)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，△ABD的面积为3， 则△ABC的面积为( 警0 A.8 B.7 C.6 D.5 H唰 5.(期中·北京三十五中)已知三条线段的长分别是4,4，m,若它们首尾相连能构成三角形，则整数 圈) m的最大值是( 感 A.10 B.8 C.7 D.4 6.(期中·北京一七一中学)下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B：∠C=1：2:3;③∠A= 90°-∠B;④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的有() A.①② B.③④ C.①③④ D.①②③ 7.(期中·北大附中)如图，∠MAN=100°，点B,C是射线AM,AN上的动点，∠ACB的平分线和 ∠MBC的平分线所在直线相交于点D,则∠BDC的大小为() A.50° B.60° C.80° D.随点B,C的移动而变化 M D E 1入K2 A B D C 第7题图 第8题图 8.新定义试题（期中·人大附中改编)如图，对于△ABC,若存在点D,E,F分别在BC,AC,AB上， 使得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”.下列关于“反射三角 形”的说法中，正确的是() A.若△DEF为△ABC的“反射三角形”，且∠A>∠B,则∠1<∠3 B.若△DEF为△ABC的“反射三角形”，则∠A=∠EDF C.直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形 D.若△ABC的反射三角形存在，则△ABC必为锐角三角形 二、填空题（共16分，每题2分） 9.情境题（期中·北京二中分校）如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚 架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是 E D 第9题图 第10题图 第11题图 10.(期末·朝阳区)如图，图中以BC为边的三角形的个数为 11.(期中·北师大二附中西城实验学校)如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC= 80°，∠EAD=10°，则∠B= 12.(期中·北京四中改编)已知△ABC的一个内角大小是40°，∠A=∠B,那么△ABC的外角（以点 C为顶点)大小是 13.(期中·北京八十中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠， 使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDA= 0 EDG B1------- D R 第13题图 第15题图 14.(期末·海淀区)如果等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm,那么该等腰三角形的周长 是 cm. 15.(期中·清华附中上地学校)如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B,C,D,E,F,G 在小正方形的格点上，则△ABC三条中线的交点是点 16.(期中·朝阳区)在△ABC中，AB<AC,D,E是BC边上的两点，且BDBE,有下列四个推断： ①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线； ②若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高； ③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线； ④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线. 上述推断中，有正确结论的序号是 三、解答题（共68分，第1720题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23~24题，每题 6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤 或证明过程， 17.(期中·北京师达中学)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AB,AC上的点，且∠1= ∠2.求证：ED⊥AB. E D 2B 第17题图 18.开放性试题（中考·北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一 种，完成证明 物 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等 于180°.金星教 已知：如图所示△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. B 方法一 方法二 证明：如图，过点A作DE∥BC. 证明：如图，过点C作CD∥AB. y D 19.已知a,b,c分别是三角形的三条边长，试化简：lb+c一a+|b一c一a+|c一a一b. 20.(开学考·北京八中)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. 求证：∠BAC=∠B+2∠E. A B∠ D 第20题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 21.教材习题改编如图，P为△ABC内任意一点.求证：AB十AC>PB+PC. 第21题图 22.如图，已知△ABC,延长BC至点D,连接AD,E是AD上一点，连接CE,∠B=45°，∠CAE= ∠D,∠DCE=∠BAC. (1)求∠ACE的度数. 抱 (2)若∠BAC=25°，求∠CED的度数， p 共蛾 第22题图 23.如图，在△ABC中，BC=8,AB=1. (1)若AC的长是整数，求AC的长， (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长. 製 精品图书 部 第23题图 金星教育 24.(开学考·北京四中)如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交于点O, ∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数. 0 警0 明图 第24题图 国 25.在△ABC中，已知D,E,F分别为BC,AD,CE的中点. (1)如图①，若S△Ac=1cm2,求△BEF的面积. (2)如图②，若S△rc=1cm,求△ABC的面积. A F D D ① ② 第25题图 26.新定义试题（月考·北京十二中）定义：如果一个三角形的两个内角α与3满足2a十B=90°，那么 我们称这样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B的度数是 (2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90° ①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”，并说明理由； ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC=24°，则∠EAC的度数 是 ch D 第26题图 27.探究性试题如图，有一个三角尺DEF(足够大)，其中∠D=90°，∠E=30°，把三角尺DEF放置在 锐角三角形ABC上，三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B,C (1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= ,∠ABD+ ∠ACD= (2)若∠A=55°，求∠ABD十∠ACD的度数 (3)求∠ABD十∠ACD与∠A所满足的数量关系. B 第27题图 真题圈 精品图书 金星教 28.(开学考·北京八中)(1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD 相交于点F,∠CFE与∠CEF的数量关系为 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线 交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E.探究∠CFE与∠CEF的数量 关系，并说明理由 (3)如图③，在△ABC中，边AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AE交CD 于点F,交BC于点E.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M. 请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系. G ① ② ③ 第28题图 盗印必穷 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第十三章学情调研 题号123456 7 8 答案 AB CCC DA D 1.A 2.B 【解析】.∠B=70°，∠ACD=150°， .∠A=∠ACD-∠B=150°-70°=80°.故选B. 3.C 4.C【解析】：在△ABC中，AD是BC边上的中线， SAABD=SAADC. ,SAABD=3,∴.SAAc=3X2=6.故选C 5.C【解析】根据三角形的三边关系，得0<m<8.故选C, 6.D【解析】①因为∠A+∠B=∠C, 根据三角形内角和定理可得2∠C-180°，解得∠C=90°， 所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x, 根据三角形内角和定理可得x十2x十3x=180°，解得x=30°， 所以∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A=90°-∠B,所以∠A十∠B=90°， 所以∠C=180°一90°=90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A=∠B=∠C,所以∠A=∠B=∠C=60°， 所以△ABC不是直角三角形.故选D. 7.A【解析】，CD平分∠ACB,BE平分∠MBC, ∴.∠ACB=2∠DCB,∠MBC=2∠CBE. .·∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB,∠CBE=∠BDC+ ∠DCB,∴.2∠CBE=2∠BDC+2∠DCB, ∴.∠MBC=2∠BDC+∠ACB, ∴.2∠BDC+∠ACB=∠A十∠ACB,.∠A=2∠BDC :∠A=100°，.∠BDC=50°.故选A. 8.D【解析】设∠5=∠6=x, 则∠3=∠4=180°-∠A-x,∠2=∠1=180°-∠B-x, ∠2+∠3+∠C=180°，即(180°-∠B-x)+(180°-∠A x)+∠C=180°，且∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠C=x,∴.∠5= ∠6=∠C=x,∠3=∠4=180°-∠A-x=180°-∠A-∠C ∠B,∠1=∠2=180°-∠B-x=180°-∠B-∠C=∠A, ,∠1+∠2+∠EDF=180°， ∴.∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-2∠A, A.当∠A>∠B时，∠1>∠3，A选项错误； B.∠A与∠EDF的关系是∠EDF-180°-2∠A,B选项错误； C.当∠A=90时，∠EDF=180°-2×90°=0°， 同理，当∠B=90°或∠C=90时，∠DEF=0或∠DFE=0°， .直角三角形不存在反射三角形，C选项错误； D.同理C选项，在钝角三角形中，也不存在反射三角形，故只有 锐角三角形存在反射三角形，D选项正确.故选D. 9.三角形具有稳定性 10.4【解析】以BC为边的三角形有△BCD,△BCE,△BCF, △ABC.故答案为4. 11.40【解析】，AE平分∠BAC, &∠BAE-合∠BAC-合×80=40， .∠BAD=∠BAE+∠EAD=40°+10°=50°. .AD I BC,∴.∠ADB=90°， ∴.∠B=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-50°=40°. 故答案为40. 12.80°或140°【解析】分情况讨论：①若∠A=40°，则∠B=40°， ∠C=100°，△ABC的外角（以点C为顶点）大小为80°； ②若∠C=40°，则△ABC的外角（以点C为顶点）大小为140°. 故答案为80°或140°. 13.109【獬析】：将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，∴.∠BCD=∠ECD. :∠ACB=90°，.∠BCD=∠ECD=45. ∠A=26°， .∠CDA=180°-∠A-∠ACD=180°-26°-45°=109°. 故答案为109. 14.14【解析】当腰长为2cm时，三边长分别为2cm,2cm, 6cm,因为2+2<6，所以不能构成三角形； 当腰长为6cm时，三边长分别为2cm,6cm,6cm,符合三角形 三边关系，此时其周长=2十6十6=14(cm). 故答案为14. 15.D16.①②③ 17.【证明】在Rt△ABC中，∠C=90°，.∠A十∠2=90. 在△AED中，∠A+∠1+∠EDA=180°， 又.∠1=∠2，'.∠A+∠2+∠EDA=180°， .∠EDA=180°-（∠A十∠2）=180°-90°=90°， .ED AB. 18.【证明】方法一：：DE∥BC,∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE. .∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， .∠BAC+∠B+∠C=180°. 方法二：：CD∥AB,∴.∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°， ./A+∠B+∠ACB=180°. 19.【解】，'a,b,c分别是三角形的三条边长， :b+c>a,c+a>b,a+b>c, .b+c-a>0,b-c-a<0,c-a-b<0. 则|b+c-a+|b-c-a+c一a-b=b+c一a一(b-c-a) (c-a-b)=b+c-a-b+c+a-c+a+b=a+b+c. 20.【证明】如图，∠1=∠B+∠E. :CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴.∠1=∠2， ∴.∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠1 =∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E, 即∠BAC=∠B+2∠E. A B∠ 0 D B 第20题答图 第21题答图 21.【证明】如图，延长BP交AC于点D. 在△ABD中，BDAB+AD,即PB+PDAB+AD.① 在△PCD中，PC<PD+CD.② ①+②得PB+PD+PC<AB+AD+PD+CD,即PB+PC< AB+AC,即AB+AC>PB+PC. 22.【解】(1)：'∠ACD=∠B+∠BAC, .∠ACE+∠DCE=∠B+∠BAC 又∠B=45°，∠DCE=∠BAC,∴.∠ACE=∠B=45°. (2).:∠DCE=∠BAC=25°，∠ACE=45°， .∠ACD=25°+45°=70°. :∠D+∠CAE+∠ACD=180°， .∠CAE+∠D=180°-70°=110° :∠CAE=∠D,.∠D=2×110=55, .∴./CED=180°-25°-55°=100° 23.【解】(1)由题意得BC-AB<AC<BC+AB,∴.7<AC<9. AC的长是整数，.AC=8. (2),·BD是△ABC的中线，∴.AD=CD. △ABD的周长为10，.AB+AD+BD=10: .'AB=1,..AD+BD=9, ∴.△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=8+9=17. 24.【解】：∠CAB=50°，∠C=60°， .∠ABC=180°-50°-60°=70. 又.AD是高，.∠ADC=90°， .∠DAC=180°-90°-∠C=30° AE,BF是角平分线，∴.∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25, .∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， .∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°. 故∠DAE=5°，∠BOA=120°. 25.【解】(1)，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，.S△BD= Sm=号Se,56m=Sm,Sg=Sam,5e=SE, SABEC=2SARED=2SABEF: SAREF SAHED SAABE- 合S%wS%m=子Se 4cm2. (2)如图，连接BE, 由(1)可知SAABC=4SAEF D =4SABFC=4 cm2. 第25题答图 26.【解】(1)15° (2)①△ABD为“准互余三角形”， 理由：：AD是∠BAC的平分线，.∠BAC=2∠BAD. ∠ACB=90°，.∠BAC+∠B=90°， .2∠BAD十∠B=90°，.△ABD为“准互余三角形”. ②33°或24° 分析：，△ABE是“准互余三角形” .∠EAB+2∠ABC=90°或2∠EAB+∠ABC=90°. ∠ABC=24°，.∠EAB=42或∠EAB=33°. 当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠AEB=114°， ∴.∠EAC=∠AEB-∠ACB=24°； 当∠EAB=33°，∠ABC=24°时，∠AEB=123, ∴.∠EAC=∠AEB-∠ACB=33°， .∠EAC的度数是33或24° 27.【解】(1)1409050 分析：在△ABC中，：∠A=40°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°. 在△DBC中，∠BDC=90°， .∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°， .∠ABD+/ACD=140°-90°=50° (2)在△ABC中，：∠A=55°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°. 在△DBC中，∠BDC=90°， .∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°， .∠ABD+∠ACD=125°-90°=35°. (3)在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A 在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°， ∴.∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°， 即∠ABD+∠ACD=90°-∠A 28.【解】(1)∠CFE=∠CEF 分析：∠ACB=90°，CD是高， .∠B+∠CAB=90°，∠ACD十∠CAB=90°，.∠B=∠ACD. :AE是角平分线，∴.∠CAF=∠DAF. :∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, 真题圈数学八年级上R5E ∴.∠CFE=∠CEF. (2)∠CFE=∠CEF 理由：，AF为∠BAG的平分线，∴.∠GAF=∠DAF :CD为AB边上的高，∠ACB=90°，∴.∠ADF=∠ACE=90°， ∴.∠DAF+∠CFE=∠CEF+∠CAE=9O°. 又，·∠CAE=∠GAF=∠DAF,∴.∠CFE=∠CEF (3)如图，∠M十∠CFE=90°. 分析：：C,A,G三点共线，AE,AN为角平分线， .∠EAB=∠EAC,∠EAN=90°，∴.∠M+∠CEF=90°. '∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD= ∠B,∴.∠CEF=∠CFE,∴.∠M+∠CFE=90°. G A M- C 第28题答图 2.重难题型卷（一）三角形的性质 1.C【解析】：AD-3,Sac=6合BCX3=6,BC-4. :AE是中线点E是BC的中点，BE=合BC=2.故选C 2D【解析】如图，：CE=子AC, A ∴.SAABE=3S△E. 点D为BC的中点， S SAABD=SAADC. S2 又：△ABC的面积是4， B 8D .S△ABE=3,S△E=1,S△ABD= 第2题答图 SAADC=2. S+S=2,① S2十S4=2,② 设S,S,分别为两空白三角形的面积，可得 S+S4=3,③ S2+S3=1,④ ①-②，得S-S2=S4-S, ③-④，得S1-S2+S4-S3=2,∴.S1-S2=1.故选D. 3.5【解析】.在△ABC中，D,E分别是BC,AD的中点， '.AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线， ∴.SAAc=2S△c,S△ADc=2 SAARC,∴.SAAIC=4 SAARC, :△ABC的面积是20， ∴.△AEC的面积为5，即阴影部分的面积是5.故答案为5. 4.8【解析】：点D,E,F分别是边BC,AD,AC的中点， Sae=}Sam,Sw=合S8c,Sam=专Sam,Sam 1 Sw=合5%eSaE=}5g,Sg-gSac 1 :S=号S=号X3=8,故答案为8 5.【解】（一）【探究与发现】如图①， 过点A作BC边上的高AE, 则SAAD=?DB·AE. :AD是△ABC边BC上的中线， DB-BC. D E 第5题答图① :Sm=2BD·AE