4.5.2 用二分法求方程的解讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“用二分法求方程的近似解”核心知识点，基于函数零点存在定理，系统阐述二分法定义、适用变号零点的条件、区间中点计算及“定区间、求中点、判区间、验精度”四步流程，构建从理论到应用的学习支架。 资料通过概念辨析题（如判断可用二分法的函数图象）和近似求解实例（如2x³+3x-3=0的求解）分层设计，培养学生用数学眼光观察零点特征、数学思维逻辑推理，课中辅助教师高效讲解，课后助力学生通过跟踪训练巩固步骤，查漏补缺。

4.4 用二分法求方程的近似解 知识点、用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分法的理论基础是函数零点存在定理，该方法只适用于求函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)的近似值，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如求函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2.区间的中点 一般地，我们把称为区间（a,b）的中点. 3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. （2）求区间(a，b)的中点c=. （3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 题型一：二分法概念的理解 例1.(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 例2.设f（x）＝3x+3x﹣8，现用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在区间（1，2）内的近似解的， 计算得f（1）＜0，f（1.25）＜0，f（1.5）＞0，f（2）＞0，则方程的根落在的区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 跟踪训练： 1.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 2.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 3.利用二分法求f（x）＝x3﹣2的零点时，第一次确定的区间是（1，2），第二次确定的区 间是（　　） A．（1，3） B． C． D． 4.已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，现用二分法求函数f（x）在（1，3）内的零点的近似值，则 使用两次二分法后，零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 题型二：用二分法求方程的近似解 例1.用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)． 例2.某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f（2）≈﹣1.307 f（3）≈1.099 f（2.5）≈﹣0.084 f（2.75）≈0.512 f（2.625）≈0.215 f（2.5625）≈0.066 则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 跟踪训练： 1.为了求函数f（x）＝2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x） 的部分对应值，如表所示： x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f（x） ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程2x+3x＝7的近似解（精确到0.1）可取　 　． 2.用二分法求函数f（x）＝3x﹣x﹣4的一个零点，其参考数据如下： f（1.6000）＝0.200 f（1.5875）＝0.133 f（1.5750）＝0.067 f（1.5625）＝0.003 f（1.5562）＝﹣0.029 f（1.5500）＝﹣0.060 据此数据，可得方程3x﹣x﹣4＝0的一个近似解（精确到0.01）为　 　． 3.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3+2x﹣9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 f（x） ﹣6 3 ﹣2.625 ﹣1.459 ﹣0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 1.下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A．B．C．D． 2.某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 f（x） ﹣1.3069 1.0986 ﹣0.084 0.512 0.215 0.066 则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 3.已知函数f（x）＝x3+2x﹣9在区间（1，2）内有一个零点，且f（x）的部分函数值数据如 下：f（1）＝﹣6，f（1.5）＝﹣2.625，f（1.75）≈﹣0.1406，f（1.7578）≈﹣0.0530，f（1.7617） ≈0.0090，f（1.7656）≈0.0352，f（2）＝3，要使f（x）零点的近似值精确度为0.01，则对 区间（1，2）的最少等分次数和近似解分别为（　　） A．6次，1.75 B．6次，1.76 C．7次，1.75 D．7次，1.76 4.函数f（x）的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下： ①f（1）＝﹣2；②f（1.5）＝0.625；③f（1.25）＝﹣0.984；④f（1.375）＝﹣0.260； ⑤f（1.438）＝0.165；⑥f（1.4065）＝﹣0.052． 那么方程f（x）＝0的一个近似解（精确度为0.1）为（　　） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 5.已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝ . 6.设f（x）＝3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在（1，2）内近似解的过程中得f（1） ＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根落在区间 . 7.某同学用二分法求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣5的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间 （2，3）内，则该同学第二次所取的区间是 . 8.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 1.（多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（　　） A． B． C． D． 2.设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　　) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D．(2.75,3) 3.在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，若第一次所取区间为[﹣2，6]，则第三次所 取区间可能是（　　） A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[5，6] 4.用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0＝2.5，则下一个有根 区间是（　　） A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对 5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的（　　） A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 6.函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜1 B．a＜1 C．﹣3＜a D．a＜﹣3或a 7.用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是 ．(填序号) ①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. 8.用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有 根区间是 ． 9.用二分法求函数在区间[1，3]的零点，若要求精确度＜0.01，则至少进行 次二分． 10.函数f（x）＝2xa的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是 ． 11.设f（x）＝3x2+3x﹣8，用二分法求方程3x2+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中， 计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间 内． 12.已知图象连续不断的函数y＝f（x）在区间（0.2，0.6）内有唯一的零点，如果用二分法 求这个零点的近似值（精确度为0.01），则应将区间（0.2，0.6）至少等分的次数为 ． 13.下列函数中，能用二分法求零点的有 ． ①f（x）＝3x﹣1；②f（x）＝x3；③f（x）＝|x|；④f（x）＝lnx. 14.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为 ． 15.判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1) 16.用二分法求方程的一个大于零的近似解（精确度为）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 用二分法求方程的近似解 知识点、用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分法的理论基础是函数零点存在定理，该方法只适用于求函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)的近似值，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如求函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2.区间的中点 一般地，我们把称为区间（a,b）的中点. 3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. （2）求区间(a，b)的中点c=. （3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 题型一：二分法概念的理解 例1.(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选：ABC. 例2.设f（x）＝3x+3x﹣8，现用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在区间（1，2）内的近似解的， 计算得f（1）＜0，f（1.25）＜0，f（1.5）＞0，f（2）＞0，则方程的根落在的区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0， ∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点， 又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0， ∴在区间（1.25，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点， 由此可得方程3x+3x﹣8＝0的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：B． 跟踪训练： 1.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A． B和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除． 只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点， 故选：C． 2.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故先：D. 3.利用二分法求f（x）＝x3﹣2的零点时，第一次确定的区间是（1，2），第二次确定的区 间是（　　） A．（1，3） B． C． D． 解：因为f（x）＝x3﹣2，所以f（1）＝﹣1＜0，f0，f（2）＝6＞0， 所以第二次确定的区间是．故选：C． 4.已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，现用二分法求函数f（x）在（1，3）内的零点的近似值，则 使用两次二分法后，零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 解：函数f（x）＝x3﹣3x﹣1， 由二分法可知，第一次计算f（2）＝1＞0，又f（1）＝﹣3＜0，f（3）＝17＞0， 由零点存在性定理知零点在区间（1，2）上，所以第二次应该计算， 又f（2）＞0，所以零点在区间．故选：B． 题型二：用二分法求方程的近似解 例1.用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)． 解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算， f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b)   (0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1， 所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5. 例2.某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f（2）≈﹣1.307 f（3）≈1.099 f（2.5）≈﹣0.084 f（2.75）≈0.512 f（2.625）≈0.215 f（2.5625）≈0.066 则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 解：因为函数f（x）＝lnx+2x﹣6在其定义域内单调递增， 可知方程lnx+2x﹣6＝0的近似解所在区间可以是（2，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625），（2.5，2.5625）， 根据区间的长度计算分别为1，0.25，0.125，0.0625， 根据精确度为0.1，可知方程lnx+2x﹣6＝0的近似解在区间（2.5，2.5625）上， 根据精确度为0.1的要求，可在区间（2.5，2.5625）上任选一个值作为该方程的近似解． 故选：BC． 跟踪训练： 1.为了求函数f（x）＝2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x） 的部分对应值，如表所示： x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f（x） ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程2x+3x＝7的近似解（精确到0.1）可取　 　． 解：由题表知，f（1.375）•f（1.4375）＜0，且1.4375和1.375精确到0.1均为1.4， 所以方程的一个近似解可取为1.4．故答案为：1.4． 2.用二分法求函数f（x）＝3x﹣x﹣4的一个零点，其参考数据如下： f（1.6000）＝0.200 f（1.5875）＝0.133 f（1.5750）＝0.067 f（1.5625）＝0.003 f（1.5562）＝﹣0.029 f（1.5500）＝﹣0.060 据此数据，可得方程3x﹣x﹣4＝0的一个近似解（精确到0.01）为　 　． 解：由图表知，f（1.5625）＝0.003＞0，f（1.5562）＝﹣0.0029＜0， ∴函数f（x）＝3x﹣x﹣4的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上， 故函数的零点的近似值（精确到0.01）为 1.56，可得方程3x﹣x﹣4＝0的一个近似解（精确到0.01）为 1.56.故答案为 1.56． 3.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3+2x﹣9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 f（x） ﹣6 3 ﹣2.625 ﹣1.459 ﹣0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 解：由表格可得，函数f（x）＝x3+2x﹣9的零点在（1.75，1.8125）之间；结合选项可知，方程方程x3+2x﹣9＝0的近似解可取为（精确度为0.1）可以是1.8.故选：C． 1.下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 解：由函数图象可得，A中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点；除B，C，D中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选：A． 2.某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 f（x） ﹣1.3069 1.0986 ﹣0.084 0.512 0.215 0.066 则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 解：方程lnx+2x﹣6＝0的解等价于函数f（x）＝lnx+2x﹣6＝0的零点， 由表格中数据可知，f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0， 由零点存在性定理得，存在x∈（2，5，2.5625），可使得f（x）＝0，即lnx+2x﹣6＝0． 故选：A． 3.已知函数f（x）＝x3+2x﹣9在区间（1，2）内有一个零点，且f（x）的部分函数值数据如 下：f（1）＝﹣6，f（1.5）＝﹣2.625，f（1.75）≈﹣0.1406，f（1.7578）≈﹣0.0530，f（1.7617） ≈0.0090，f（1.7656）≈0.0352，f（2）＝3，要使f（x）零点的近似值精确度为0.01，则对 区间（1，2）的最少等分次数和近似解分别为（　　） A．6次，1.75 B．6次，1.76 C．7次，1.75 D．7次，1.76 解：根据题意，题中数据知，零点所在的区间变化如下： （1，2）→（1.5，2）→（1.75，2）→（1.75，1.875）→（1.75，1.8125）→（1.75，1.78125）→（1.75，1.7656）→（1.7578，1.7656）， 此时区间长度小于0.01，在区间（1.7578，1.7656）内取近似值，最少等分了7次，近似解取1.76．故选：D． 4.函数f（x）的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下： ①f（1）＝﹣2；②f（1.5）＝0.625；③f（1.25）＝﹣0.984；④f（1.375）＝﹣0.260； ⑤f（1.438）＝0.165；⑥f（1.4065）＝﹣0.052． 那么方程f（x）＝0的一个近似解（精确度为0.1）为（　　） A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 解：∵f（1.438）＝0.165＞0，f（1.4065）＝﹣0.052＜0， ∴函数f（x）在（1.4065，1.438）内存在零点，又1.438﹣1.406 5＜0.1， 结合选项知1.41为方程f（x）＝0的一个近似根．故选：C． 5.已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝ . 解：由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.故答案为：－1.625. 6.设f（x）＝3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在（1，2）内近似解的过程中得f（1） ＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根落在区间 . 解：由f（x）＝3x+3x﹣8及复合函数的单调性知f（x）在（1，2）是增函数，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程3x+3x﹣8＝0的根落在的区间为（1.25，1.5）． 故答案为：（1.25，1.5）． 7.某同学用二分法求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣5的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间 （2，3）内，则该同学第二次所取的区间是 . 解：f（x）＝2x3﹣3x2﹣5，则f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝22＞0，， f（2）•0，故该同学第二次所取的区间是（2，）．故答案为：（2，）． 8.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 解：开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次． 故答案为：4. 1.（多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（　　） A． B． C． D． 解：能用二分法求函数零点的函数，在零点左右两侧的函数值符号需相反， 而选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点． 故选：AC． 2.设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　　) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D．(2.75,3) 解：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)． 故选：C. 3.在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，若第一次所取区间为[﹣2，6]，则第三次所 取区间可能是（　　） A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[5，6] 解：∵第一次所取的区间是[﹣2，6]，∴第二次所取的区间可能为[﹣2，2]，[2，6]， 第三次所取的区间可能为[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]，[4，6]．故选：C． 4.用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0＝2.5，则下一个有根 区间是（　　） A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对 解：设f（x）＝x3﹣2x﹣5，f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝16＞0， f（2.5）100，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]， 方程x3﹣2x﹣5＝0有根的区间是[2，2.5]，故选：A． 5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的（　　） A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 解：令f（x）＝2x﹣x2，由表知f（1.8）＝3.482﹣3.24＞0，f（2.2）＝4.595﹣4.84＜0， ∴方程2x＝x2的一个根所在的区间为（1.8，2.2）．故选：C． 6.函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是（　　） A．﹣3＜a＜1 B．a＜1 C．﹣3＜a D．a＜﹣3或a 解：∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点， ∴，即，解得a＜1，故选：B． 7.用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是 ．(填序号) ①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. 解：由二分法适用条件直接可得．故答案为：①②. 8.用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有 根区间是 ． 解：设函数f（x）＝x3﹣2x﹣5，则∵f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝16＞0，f（4）＝51＞0 ∴下一个有根区间是（2，3）． 故答案为：（2，3）． 9.用二分法求函数在区间[1，3]的零点，若要求精确度＜0.01，则至少进行 次二分． 解：根据题意，原来区间[1，3]的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为2， 若要求精确度＜0.01，即0.01，解可得n≥8，即至少进行8个二分． 故答案为：8． 10.函数f（x）＝2xa的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是 ． 解：由题意可得f（1）f（2）＝（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得：0＜a＜3， 故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3） 11.设f（x）＝3x2+3x﹣8，用二分法求方程3x2+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中， 计算得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间 内． 解：因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内． 故答案为 （1.25，1.5）． 12.已知图象连续不断的函数y＝f（x）在区间（0.2，0.6）内有唯一的零点，如果用二分法 求这个零点的近似值（精确度为0.01），则应将区间（0.2，0.6）至少等分的次数为 ． 解：设需进行n次计算．则，即，故n的最小值为6． 故答案为：6． 13.下列函数中，能用二分法求零点的有 ． ①f（x）＝3x﹣1；②f（x）＝x3；③f（x）＝|x|；④f（x）＝lnx. 解：f（x）＝3x﹣1是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；f（x）＝x3也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； f（x）＝lnx也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； f（x）＝|x|不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点．故答案为：①②④． 14.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为 ． 解：因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．故答案为：1.312 5. 15.判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1) 解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点， 又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)． 取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)． 取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0， ∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1)． 取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75,0.875)． 取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)≈0.073>0. ∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)， 而|0.812 5－0.75|<0.1.∴f(x)的零点的近似值可取为0.75. 16.用二分法求方程的一个大于零的近似解（精确度为）. 解：设，先画出函数的大致图象，如图所示. 因为， 所以在区间上，方程有一解，记为，取和的中间数， 因为，所以. 再取与的中间数， 因为， 所以. 如此继续下去，得， 则， 因为， 所以此方程大于零的近似解可取为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $