4.5.2-4.5.3 二分法求方程近似解与函数模型的应用（6个题型归纳） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦二分法求方程近似解与函数模型应用，系统梳理二分法的连续曲线、零点存在条件及四步求解步骤，衔接线性、指数、对数、幂函数模型的增长特征与选取方法，构建从理论概念到实际应用的学习支架。 该资料以6大题型为核心，整合方法技巧、经典例题与分层练习，通过光纤通信、种群增长等实例培养数学眼光与建模能力，强化二分法逻辑推理的数学思维，课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固知识、查漏补缺，提升问题解决与数学表达能力。

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.5.2-4.5.3 二分法求方程近似解与函数模型的应用】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对于一般的函数，，若函数的图象是一条___连续_____的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 2．用二分法求方程的近似解 （1）二分法：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证__ ____. ②求区间的中点c. ③计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若（此时），则c就是函数的零点； （ii）若（此时），则令； （iii）若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若______，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④. 3．函数模型的选取 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： （1）线性函数增长模型适合于描述____增长速度不变________的变化规律; （2）指数函数增长模型适合于描述___增长速度急剧_________的变化规律; （3）对数函数增长模型适合于描述__增长速度平缓__________的变化规律; （4）幂函数增长模型适合于描述___增长速度一般________的变化规律. 因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题. 4．三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 __单调递增_______ _____单调递增____ ____单调递增___ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用二分法求方程近似解的条件】 【练方法】 【公式结论】 函数在闭区间上连续 【方法技巧】 1.函数图像必须连续不断 2.区间端点函数值异号 3.满足条件仅能判定区间内存在零点不能确定零点个数 4.若无法使用二分法 （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一上·湖南衡阳·阶段检测）（多选）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：用二分法求方程近似解的过程】 【练方法】 【公式结论】 方程近似解等价于函数零点近似值 给定精确度当区间长度时区间内任意数值均可作为近似解 【方法技巧】 1.确定初始区间满足 2.取中点计算 3.判断零点所在新区间 若则为零点 若新区间为 若新区间为 4.重复缩小区间直到区间长度小于精确度 （25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：经典例题1例题 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. （25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：小试牛刀3 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【题型3：二分法求函数零点的过程】 【练方法】 【公式结论】 零点近似值判定标准：区间左右端点之差 【方法技巧】 1.锁定初始区间满足连续且 2.不断取中点对半分割区间 3.根据中点函数值符号更新零点所在区间 4.达到精确度要求停止运算 5.二分法只能求出变号零点无法处理不变号零点 （25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______.经典例题1例题 （25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下：小试牛刀1 则这个零点的近似值为___________．（精确到） （25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________．小试牛刀2 （25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：小试牛刀3 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型4：指数运算的应用】 【练方法】 【公式结论】 【方法技巧】 1.统一底数后利用指数运算法则化简 2.根式优先转化成分数指数幂计算 3.实际增长模型常用指数型 4.指数等式优先同底构造方程求解 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·北京西城·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ）小试牛刀1 A．1000 B．800 C．600 D．400 （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ）小试牛刀3 A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 【题型5：对数运算的应用】 【练方法】 【公式结论】 换底公式 推论 【方法技巧】 1.对数加减优先合并成单一对数 2.不同底数对数统一底数再运算 3.对数方程注意真数大于0最后检验增根 4.指数与对数互化 （25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ）经典例题1例题 A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 （25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，）小试牛刀1 A．110 B．115 C．120 D．125 （2025高三上·全国·竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ）小试牛刀2 A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 （2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：函数模型的选取】 【练方法】 【公式结论】 一次模型均匀变化 二次模型先增后减或先减后增 指数增长模型爆炸式增长 对数模型增长逐渐放缓 【方法技巧】 1.数据均匀增减选用一次函数 2.数据存在最值变化先升后降选用二次函数 3.增长速度越来越快选用指数模型 4.增长速度逐渐变缓选用对数模型 5.先描点观察图像趋势再匹配对应函数模型 6.求出解析式后代入数据检验拟合效果 （25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据：经典例题1例题 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ （25-26高一上·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：小试牛刀1 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ （25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示：小试牛刀2 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. （25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：小试牛刀3 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 2．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（     ） （参考数据：，，） A．220 B．250 C．270 D．280 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（     ） （参考数据：） A．2031年 B．2032年 C．2033年 D．2034年 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 8．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 11．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 15．（23-24高一上·广东东莞·阶段检测）下列方程中能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则______． 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 四、解答题 18．（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式 （其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 19．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 20．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.5.2-4.5.3 二分法求方程近似解与函数模型的应用】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对于一般的函数，，若函数的图象是一条___连续_____的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 2．用二分法求方程的近似解 （1）二分法：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： ①确定零点的初始区间，验证__ ____. ②求区间的中点c. ③计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若（此时），则c就是函数的零点； （ii）若（此时），则令； （iii）若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若______，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④. 3．函数模型的选取 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： （1）线性函数增长模型适合于描述____增长速度不变________的变化规律; （2）指数函数增长模型适合于描述___增长速度急剧_________的变化规律; （3）对数函数增长模型适合于描述__增长速度平缓__________的变化规律; （4）幂函数增长模型适合于描述___增长速度一般________的变化规律. 因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题. 4．三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 __单调递增_______ _____单调递增____ ____单调递增___ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用二分法求方程近似解的条件】 【练方法】 【公式结论】 函数在闭区间上连续 【方法技巧】 1.函数图像必须连续不断 2.区间端点函数值异号 3.满足条件仅能判定区间内存在零点不能确定零点个数 4.若无法使用二分法 （25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. （23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. （多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. （23-24高一上·湖南衡阳·阶段检测）（多选）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 【题型2：用二分法求方程近似解的过程】 【练方法】 【公式结论】 方程近似解等价于函数零点近似值 给定精确度当区间长度时区间内任意数值均可作为近似解 【方法技巧】 1.确定初始区间满足 2.取中点计算 3.判断零点所在新区间 若则为零点 若新区间为 若新区间为 4.重复缩小区间直到区间长度小于精确度 （25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：经典例题1例题 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 【详解】由参考数据知， 且，所以方程的一个近似解可取为. （25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. （25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. （25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：小试牛刀3 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 【题型3：二分法求函数零点的过程】 【练方法】 【公式结论】 零点近似值判定标准：区间左右端点之差 【方法技巧】 1.锁定初始区间满足连续且 2.不断取中点对半分割区间 3.根据中点函数值符号更新零点所在区间 4.达到精确度要求停止运算 5.二分法只能求出变号零点无法处理不变号零点 （25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______.经典例题1例题 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. （25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下：小试牛刀1 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： （25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意得出是区间的中点，即可得出答案. 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： （25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：小试牛刀3 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 【题型4：指数运算的应用】 【练方法】 【公式结论】 【方法技巧】 1.统一底数后利用指数运算法则化简 2.根式优先转化成分数指数幂计算 3.实际增长模型常用指数型 4.指数等式优先同底构造方程求解 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，据此可得，然后由题意可得答案. 【详解】因距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半， 则， 设，则. 故选：B （25-26高三上·北京西城·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ）小试牛刀1 A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得出，结合题中可求出其极限值. 【详解】因为， 当越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近于，会无限趋近于， 所以会无限趋近于，故会无限趋近于， 故选：B. （24-25高一下·山东青岛·开学考试）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ）小试牛刀3 A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 【答案】D 【分析】由指数的运算得出存期的本利和，再减去本金得出所求利息. 【详解】由题意可得，则， 即存期，本利和为， 则存期，则利息为万元. 故选：D 【题型5：对数运算的应用】 【练方法】 【公式结论】 换底公式 推论 【方法技巧】 1.对数加减优先合并成单一对数 2.不同底数对数统一底数再运算 3.对数方程注意真数大于0最后检验增根 4.指数与对数互化 （25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ）经典例题1例题 A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． （25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，）小试牛刀1 A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. （2025高三上·全国·竞赛）在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度取决于它的脚趾数量和眼睛数量．在速度以厘米每小时为单位时，两者的关系可表示为，其中均为整数常数．所有生物都有5根脚趾的种群满足；所有生物都有25只眼睛的种群满足，这里的对数均以10为底．问的值是多少？（    ）小试牛刀2 A．20 B．21 C．22 D．23 E．24 【答案】C 【详解】对两边同时取以为底的对数，可得. ∵ 当种群脚趾数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ①. ∵ 当种群眼睛数量为定值时，， 对比上式系数可得：，且 ②. 将代入①，得， ∴ ，∴ . 将代入②验证： 左边，符合等式. ∴ . （2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 【题型6：函数模型的选取】 【练方法】 【公式结论】 一次模型均匀变化 二次模型先增后减或先减后增 指数增长模型爆炸式增长 对数模型增长逐渐放缓 【方法技巧】 1.数据均匀增减选用一次函数 2.数据存在最值变化先升后降选用二次函数 3.增长速度越来越快选用指数模型 4.增长速度逐渐变缓选用对数模型 5.先描点观察图像趋势再匹配对应函数模型 6.求出解析式后代入数据检验拟合效果 （25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据：经典例题1例题 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，， (2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得； （2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. （25-26高一上·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：小试牛刀1 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ 【答案】(1) (2) (3)第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元 【分析】（1）根据进行求解； （2）根据函数的单调性选择模型，并待定系数求解； （3）确定函数，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有， 即，解得：； （2）模型①和模型③都为单调函数或常函数， 由表中数据可知，既有单调递减区间又有单调递增区间的情况，故选择模型. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， 把代入， 得，解得：， 则，显然，也满足该函数的解析式， 所以； （3）由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号，此时； 所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元． （25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示：小试牛刀2 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【答案】(1)； 散点图如下： (2) (3) 【分析】（1）代入求，再画散点图即可； （2）根据散点图判断，再利用待定系数法求解析式即可； （3）由，再分、两种情况，结合基本不等式及函数单调性求最值即可． 【详解】（1）解：已知第16天的销售价为49元/件， ，解得， 散点图如下： （2）由散点图可知，整体先增后减，故选②， ，解得， 则； （3），， 当时， 则 ， 当且仅当，即，（）时等号成立； 当时，， 则 ， 因为在上单调递减，在上也单调递减，所以在上单调递减。 所以当时，取得最小值，； ， 日销售收入在过去一个月内的最小值为元． （25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：小试牛刀3 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)平台成立的第年就能实现该目标 【分析】（1）根据数据可知函数为增函数，且增长速度越来越快，可判断选择模型③，将数据代入即可求出解析式； （2）根据题目列不等式，解得，求的值即可求出答案. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数需满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，模型③满足两个条件，所以选择模型③， 将数据，代入得， ，解得，所以， 将代入，同样满足函数， 所以函数模型的解析式为. （2）由题意知，1 万人 = 100 百人，，解得， ， 即， 所以平台成立的第年就能实现该目标. 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 2．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（     ） （参考数据：，，） A．220 B．250 C．270 D．280 【答案】C 【分析】先根据条件求和的值，再求电池健康度为时对应的的值，再计算的值即可. 【详解】因为，所以，解得； 由，所以，所以 . 设，则，所以，所以. 所以 . 因为，所以电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加次. 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（     ） （参考数据：） A．2031年 B．2032年 C．2033年 D．2034年 【答案】C 【分析】构建等比数列模型，取对数解不等式，向上取整推算年份. 【详解】设从2025年起，第年的光伏发电量为（单位：万千瓦时）， 已知（2025年），年增长率为25%，即公比， 则第年的发电量公式为：  ，则， 所以， 因为是整数，所以，从2025年开始算，第8年是：2025 + 8 = 2033年. 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 7．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 8．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02得，求出. 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 9．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【分析】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【详解】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 【答案】B 【分析】据零点存在定理，结合表中数据以及精度要求，即可判断选择. 【详解】由表格可得，，且满足， 故函数的零点在之间，两端点也可以作为零点近似值，故选项中只有B选项不满足. 故选：B． 11．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二分法的原理计算即可. 【详解】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次二分法的操作，区间的长度变为， 由，解得. 故选：C. 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 13．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 二、多选题 14．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确； ，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 15．（23-24高一上·广东东莞·阶段检测）下列方程中能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】构造函数，若存在区间，使得函数在处的函数值异号，即可根据零点存在定理得出可以用二分法求近似解；若不存在，则不能. 【详解】对于A项，设， 则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线. 根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确； 对于B项，设， 则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.. 根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确； 对于C项，设， 则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.. 根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确； 对于D项，设， 因为恒成立，不存在函数值异号区间， 所以不满足二分法的条件，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 16．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则______． 【答案】1 【分析】由指数函数、反比例函数单调性判断已知函数区间单调性，即知区间零点个数，再由二分法则列方程，即可得. 【详解】根据指数函数与反比例函数的性质，函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点． 又由二分法依次确定了零点所在区间为， 对于区间，由二分法知对应下一个区间有或， 当区间为时，显然不成立，故下一个区间为， 所以，化简得． 故答案为：1 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用函数的零点判定定理推出结果即可． 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 四、解答题 18．（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式 （其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 19．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 20．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【答案】(1)最符合实际的函数模型为①，理由见解析 (2)函数解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 1 学科网（北京）股份有限公司 $