第4章 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

4．5.2　用二分法求方程的近似解 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思考】　 若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 【解析】　提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2．二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(　　) 2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(　　) 3．用二分法最后一定能求出函数零点．(　　) 4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.√ 一、二分法概念的理解 　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) 【解析】　二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项C图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，B，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点． 【答案】　C 【反思感悟】　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4，4　　　　　 B．3，4 C．5，4 D．4，3 【答案】　D 【解析】　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 二、用二分法求方程的近似解 　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01) 【解】　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号 (1，1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0 (1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0 (1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125. 【反思感悟】　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 【解】　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于(　　) A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75 【答案】　C 【解析】　x1＝＝0.25. 2．用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(　　) A．(1，2) B．(1.75，2) C．(1.5，2) D．(1，1.5) 【答案】　C 【解析】　由题意知f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－<0，∴零点所在的区间为(1.5，2)，故选C. 3．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　) ①y＝3x2－2x＋5；②y＝；③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8. A．①③ B．② C．④ D．②④ 【答案】　C 【解析】　由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值． 4．某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分 次后，所得近似值的精确度达到0.1. 【答案】　5 【解析】　由<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5. 5．判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由． 【解】　方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，下面说明理由． 设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0， 又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立， 故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0， 即方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解． 1．知识归纳： (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． 2．方法归纳： (1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点． (2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用． 3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$