河北省石家庄市部分学校2026-2027学年第一学期高三年级检测数学试卷

高三数学检测 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.AB 10.ABD 11.ACD 12.(1,2) 21n39 13. 8V2 14.7元 15.解：(1)由正弦定理得sinB+2sin4c0sC=0, 因为sinB=sin(4+C)=-sinAcosC+cos4sinC 所以3 sinAcosC+cosAsinC=0 Asπ 因为4，所以sinA=cosA, 所以3cosC+sinC=0,所以tanC=-3 (2)由(1)知3cosC+sinC=0 sinc=310 又sin2C+cos2C=1,则-10 2R=C=224V5 sinC 3v10 3 由正弦定理得， 10 0[… 8… g9… … gZ… R= 2W5 所以 3 。。。””。”。””””。。””。 25 2 S=元R2=πX 20元 所以△ABC外接圆的面积为 3 9 16.(1)证明：在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60° 所以△ABD,△CBD均为等边三角形. 因为DA=DC,O为AC的中点， 所以DO⊥AC 所以AB2+BC2=AC2,即∠ABC=90°. BO-TAC- 如图，连接BO,则 D B 又因为AD=DC=2,AC=22. 所以AD2+DC2=AC2」 所以AD⊥DC,所以DO=V2」 又因为BD=2, 所以DO+BO=DB2,所以D0⊥B0 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。 又AC∩BO=O,且AC,BOc平面ABC, 所以D0⊥平面ABC. (2)解法一：设点C到平面ABD的距离为h, 因为菱形ABCD的边长为2， 1 D=x2x2xsin60-3 所以 wxh=5。 1 ×2×2=2 所以 3 …11分 …13分 …4分 …6分 …7分 …9分 由(1)知D0⊥平面ABC,DO=√2. 1 VD-ABC=3 2x2= -h h=26 所 3,所以3 2W6 sin=_ =3V6 设直线CD与平面ABD所成的角为B,则 D 2 3 √6 即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3 解法二：由(1)知，OB，,OD,OC两两相互垂直，故以O为坐标原点， 分别为x轴、V轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则4(-5.0,0，B(0,2,o）.c(20,o）.D0.0,2) cD=(2,0,2)AB=(2,2,0)AD=(V2,0,2) 设平面ABD的法向量为方=(x,少2). i.AB=0,「V2x+V2y=0, 则元.AD=0,即V2x+V2z=0,可取i=(L,-l-) 设直线CD与平面ABD所成的角为B, CD.226 2x3 3 则 6 故直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3 61 a2+6京= a2=8, 17.解：(1)由题意得， a2-b=4解得b=4 …12分 …15分 OC,OB,OD所在直线 …9分 …11分 …14分 …15分 所以椭圆的方程为84 …4分 y=kx+m, (2)联立r+2y=8消去y可得（+2k)r+4mx+2m-8=0.0 因为直线与椭圆相切，所以△=(4km-41+2k2)(2m2-8)=0 整理得8k2=m2-4.② 6分 m-4 2 因为直线与圆相切，所以Vk2+1 ,整理得m2-8m=4k2-12,③ .7分 k=0, k=26, ②与③联立解得m=2(舍去)或m=14, 所以直线1的方程为y=2V6x+14 …9分 (3)设直线与y轴的交点为P,切点B(:,%）,则点P的坐标为(0,14) 2km V6 7 X0= 由(2)问中①式可知， Γ1+2k27 y%2 …11分 -opk-48-8w6 则 2 2 …12分 S.mP4x AMxMx …14分 所以S四边形BOM=S△PB0-SAP4M=8V6-4V6=4V6 15分 18.解：1))由X~V30,50),得 P(20≤X≤350)-=[P(e0sXs40)+P250≤x≤350j]-09545,0627081s6 2 ·…4分 (i)依题意得Y~B(10,0.8186) …6分 所以E(Y)=8.186 …8分 1 1 (2)若第一次掷出的骰子向上的点数是3的倍数，遥控车移动到第一格，其概率为3，即 3,9分 遥控车移动到第”(2≤n≤49)格的情况是下面两种，且只有两种： ①遥控车先移动到第-2格，又掷出的骰子向上的点数不是3的倍数，其概率为3 1 ②遥控车先移动到第n-1格，又掷出的骰子向上的点数是3的倍数，其概率为3 2 1 P= 所以 …11分 B-B-3(-B) 2 所 …12分 所以2≤n≤49时，数列化。-P}是以首项为 -B= 2 3,公比为3的等比数列， -R(引 所以 14分 所以 =-*(e-n+-)+R-(+(+（1 16分 1-=1]号 -( 0≤n≤49， P n=50. 综上，数列}的通项公式为 …17分 19.解：1)当k=1时，f()=e-x,则f(o)=1,f'()=e-1,所以f'(0)=0, 所以曲线f()在x=0处的切线方程为y=1 …3分 （2)若f(x]>0,则f(x)2l在[0，+∞）上恒成立 f(x)=e-k 当0<k≤1时，f"(x)=e-k>0在(0，+o)上恒成立， 则函数f()在(0，+o)上单调递增」 当x≥0时，(X)之(0）=符合题意；…6分 当k>l时，可知函数f()在(0,1k)上单调递减，在nk,+W）上单调递增， 则f(四在[0，+切)上的最小值为f(ak)=e“-i加k=k-hk)】 设F()=k(-lhk),F'()=-nk<0,所以F()在（，+)上单调递减， 所以F()大FO-L,f(血k)-e-k=k-h)<1,不符合题意. 9分 综上，k的取值范围为0<k≤1. …10分 1 (3)由愿意]>0，则c≥1，解得之， 则函数h()的定义域 …1分 所以 ≥f=e-12e-1>1,则[( [k>l=0,所以h()2I …13分 当 n2时，可知函数f()在(nk,+o)上单调递增， hk-sin-ln2=-[n(2)+n2]=-h(4)k0 由k-ln2 程nk、J 可得 &a-[V-h向是 )上不减 1<ks, 则当 ln2时， -e- 1 ≥ln2 因为 n2,所以 所以c-1≥eh2-1=2-1=1,所以 ())=1 16分 m05ks-1 综上，当 2时，对于reD,恒有h()≥1 …17分 高三数学检测 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“，”是“函数的图象关于原点对称”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知的展开式中的系数为，则 A． B． C． D． 4．在中，内角，的对边分别为，，若，，，则 A． B． C．或 D．或 5．已知非零向量，满足，，．若，则 的最小值为 A． B． C． D． 6．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为 A． B． C． D． 7．已知圆台的高为，上、下底面的半径之比为，圆台的侧面积为．现欲将此圆台加工成一个球体，则得到的球的体积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则 A．18 B．30 C．32 D．36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题成立的是 A．若一组样本数据（，，，…，）对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1 B．已知，若，则 C．一组样本数据，，…，的方差小于，，…，的方差 D．若随机变量，则 10．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，则 A． B．的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则不等式的解集为 D．若，则 11．已知函数，则 A．函数的值域是 B．方程在上有四个实数根 C．当时， D．函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线：的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为________． 13．已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 14．已知是平面内一定点，是平面外一定点，，点到平面的距离为．设平面内的动点到点、点的距离之比为，则点的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 16．（本小题满分分） 如图，已知菱形中，，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分分） 已知椭圆：过点，右焦点为，圆：，直线：与圆、椭圆分别相切于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的方程； （3）求四边形的面积（为坐标原点）． 18．（本小题满分17分） 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对汽车进行了单次最大续航里程的测试．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布． （1）（ⅰ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取1辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求； （2）为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏抽奖”活动，客户可根据抛掷骰子（点数从1到6）的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若掷出的骰子向上的点数是3的倍数，遥控车向前移动一格（从到），否则，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格或第50格时，游戏结束．若遥控车最终移动到第49格，可获得买车九折优惠，若遥控车最终移动到第50格，可获得买车大礼包．设遥控车移到第格的概率为，其中，求数列的通项公式． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19．（本小题满分17分） 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知函数，，其中． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）写出的定义域，并证明：当时，对于，恒有． 学科网（北京）股份有限公司 $