精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期开学收心考试数学试题

石家庄市第一中学2026届高三第一学期开学收心考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【详解】， ∴，则， 故选A． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案. 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 3. 函数的值域为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 4. 已知函数.下列区间中包含的零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 5. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，做出函数的图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 6. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据交集定义求解. 【详解】因为集合 ，所以. 故选：C. 7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证，再构建，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证，再证，即可得. 【详解】构建，则， 当时，则，故在上单调递增， ∵，则，即， ∴，即， 构建，则， 当时，则，故在上单调递减， ∵，则，即， ∴， 又∵，则， ∴，故，即， 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： ①若证，构建，结合导数分析判断； ②若证，构建，结合导数分析判断，并根据题意适当放缩证明. 8. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立. 【详解】若成立，当，有. 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以是p的充分条件； 若成立时，当时，，. 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以也是p的充分条件. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD. 【详解】设， 对于A，，则， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，取，，而，D错误. 故选：AB 10. 已知，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过构造函数求导分析单调性，利用单调性判断不等式可确定AB，再构造求导分析单调性可证明，举例易得不恒成立. 【详解】对于A，构造函数，，所以在R上单调递增，又，所以，即，故A错误； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，令，，所以在单调递减，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误； 故选：BC. 11. 已知是定义在上的奇函数，.若，则 A. 是周期函数 B. 当为偶数时， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数以及，结合周期定义即可判断A；由函数的周期为 即可判断B；根据题意可得，结合B项以及函数的周期为即可求解；由函数的周期为以及当为偶数时，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以，又， 所以. 所以，可得函数的周期为4，选项A正确； ，即， 又因为函数周期为4，所以当为偶数时，，选项B正确； 因为，周期， 所以， 所以选项C是错的； 所以选项D是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将点代入幂函数，求解，即可求值. 【详解】解得 故答案为： 【点睛】本题考查幂函数代入求参数，属于基本题. 13. 有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有________.（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】由命题真假性的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于①,因为偶数2是素数，故①错误； 对于②，因为无理数的立方是有理数2，故②错误； 对于③，因为无理数的平方是无理数，故③正确； 对于④,设，则除以4的余数是2， 设，则除以4的余数是1，故④错误. 故答案为：③. 14. 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论． 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 16. 已知函数，为的导函数. （1）证明：在内存在唯一零点. （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）判断导函数在的单调性，结合零点存在定理进行证明即可；（2）因为在上恒成立，至少需要，成立，进而获得，又由（1）知在上单调递减，在上单调递增，根据单调性最后证明时，在上恒成立即可. 【详解】证明：因为， 所以. 记， 则. 当时，； 当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 所以存在唯一，使得， 即在内存在唯一零点. 解：由（1）可知当时，； 当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为当时，恒成立， 则至少满足，， 即， ①当时，，，满足； ②当时，，而，满足. 即当时，都有. 又当，时，， 从而当时，对一切恒成立. 故的取值范围为. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． 【小问2详解】 略 18. 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，证明：. 【答案】（1） 单调递减区间为、，单调递增区间为； （2） ，令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【解析】 【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 19. 已知定义在R上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式; （2）设函数， 记. 探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立?若存在，求出所有满足条件的正整数n的值;若不存在，请说明理由. 参考结论: 设a，b均为常数，函数的图像关于点对称的充要条件是. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由函数的奇偶性可得，解方程即可得解； （2）由对称中心的性质可得，进而可得对任意的恒成立，令，换元后可证明函数的单调性，即可求得函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）∵，∴， 又为偶函数,为奇函数，∴,， ∴, ∴,； （2）由题意，为奇函数，其图象关于中心对称, ∴函数的图象关于点中心对称， 即对任意的,， ∵, ∴， ∴, ， ∴. 由可得， 即. ∵，∴， 由此可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，,则, 任取,，且， 则， ∵,，∴，， 则在上单调递增， ∴在上单调递增， ∴，∴， 又,， ∴. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据奇函数的性质及图象变换确定的对称中心，求得后，转化问题为求函数的最小值，结合函数单调性的判定与性质即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2026届高三第一学期开学收心考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的减区间 B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 函数的增区间是 3. 函数的值域为（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数.下列区间中包含的零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，.若，则 A. 是周期函数 B. 当为偶数时， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值为______. 13. 有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有________.（填序号） 14. 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 16. 已知函数，为的导函数. （1）证明：在内存在唯一零点. （2）当时，，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 18. 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，证明：. 19. 已知定义在R上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式; （2）设函数， 记. 探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立?若存在，求出所有满足条件的正整数n的值;若不存在，请说明理由. 参考结论: 设a，b均为常数，函数的图像关于点对称的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $