河北省沧州市多校联考2026-2027学年高三上学期开学摸底检测数学试题

2027届高三摸底检侧 数学参考答案 命卷意图 本套试卷立足高中数学学科教学核心要求，以全面考查学生基础知识、基本技能与 关键学科能力为核心出发点，聚焦试题的基础性、综合性、创新性、适配性与区分度，全 面覆盖高中阶段全部教学内容。试卷旨在精准测评学生对高中课程基础知识点、核心技 能的掌握情况，以及关键学科能力的培育成效，切实达成以考促学、以考促教的教学导 向作用。 一、立足主干考点，全面落实核心素养考查 试卷考查内容聚焦学科主干知识与高考高频考点，重点突破教学重难点，同时合理 兼顾一般性知识点的全覆盖考查。在学科素养测评层面，全方位落地数学核心素养考核 体系，将数学运算、逻辑推理作为核心基础考查素养，同时兼顾数学抽象、数学建模、直 观想象、数据分析等关键素养的综合考查，实现素养考核的全面性与针对性。 二、聚焦关键能力，夯实基础兼顾创新应用 试题命题紧扣学生关键能力培育要求，立足基础性与综合性两大核心原则，适度融 入创新型考题。试卷高度依托教材核心内容，聚焦基础知识、基本概念、基本方法的理 解与运用，着重考查学生对教材本源知识的精准掌握程度，引导学生回归课堂、夯实基 础，摒弃机械刷题的学习误区，树立重理解、重本质的学习理念。 三、难度梯度合理，科学把控试卷区分度 本套试卷整体难度适中，试题严格遵循由易到难的排布原则，梯度清晰、区分度科 学合理。命题全程统筹调配各题型分值、难度层级与作答时长，适配不同层次学生的答 题水平。 四、根植教材本源，凸显命题育人亮点 本套试卷试题多依托教材原题、原型改编优化，其中第8、11、14、18题为典型亮点 题型，综合性、创新性突出。此类试题源于教材、高于教材，不局限于基础识记，重点 考查学生对基础知识内在关联、核心原理本质的理解与运用能力。通过题型设计引导学 生回归教材本源、深耕基础知识点，吃透学科核心概念与原理，助力学生构建完整的知 识体系，夯实学科学习根基。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C A A D B B B B AB BC ABD 1.C 解析：由题可知p=4,故选C 2.A解析：由0log2x<3,得1<x<8,即B={x|1<x<8),所以AUB={x0<x<8,故选A. 3.A解析：由题意得之 1+i (1+i)2 1-i (1-i)(1+i) =i,所以之=一i,故选A. 高三数学答案第1页（共7页） 4.D解析：由f(x+1)为偶函数，得f(x+1)=f(-x+1),令x=1,得f(1十1)=f(-1+1),即f(2)= f(0),由f(2)=2,得f(0)=2,故选D. 5.B解析：由题可知△F1MF2的周长为2a十2c=16,所以a十c=8,由 a+c=8, 解得 a2-c2=b2=16, a=5·所以 {c=3. △FM,的面积S=)×Er,lw=3ly,又w,所以△FMD,面积的最大值为12，故选B 6B解析：由题意店-A+成+应=b+7a+号店=b+a+号店-4A心)，又A-亦+D心. 所以正-b+2a+号a-(b+a-号a+号b,故选B 7.B解析：由底面的面积为2π，可知底面圆半径为2，由内切球的表面积为4π，得内切球半径为1，设圆锥 的高为，则已=h一1 ，解得h=4,所以圆锥的母线长1=√h+2=3√2，所以其侧面积S=π×√2× √2√h2+2 3√2=6π，故选B. 8.B解析：设b,=a2m,得b1=a2=2u1十1=5，b+1=a+2,又am+1=2a十2，am+2=2a2+1十1，n∈ N,故a+2=2(24+2）+1=a十5，得a-a=5,故.1-b,=5,所以数列0.}是以5为首项， 5为公差的等差数列，所以a200=b1w=5十(100一1)X5=500,故选B. 9AB解析：由3=2x,十1，得y=2x十1，m=2m十1，号=4，所以A,B正确：8之y,是y,去掉了最大 值和最小值的均值，与y的大小关系不能确定，所以C错误：写(：日三，厂为，去掉了最大值和 最小值的方差，整体相对：数据波动性更小，所以号，，日之，)'<号，所以D错误故选AB 10.C解析：对于A,因函数y=1十snx在（行，）上单调递增且最小正周期为2元，所以A不符合要求： 对于B,函数y=|osx的最小正周期为元，且在(5，)上单调递减，所以B符合要求；对于C,函数 y=一amx的最小正周期为，且在(5，)上单调递减，所以C符合要求；对于D,函数y si2x-写)的最小正周期为，周期符合，单调性分析：令1=2x-5,当x∈（行，受）时.u∈（行，）， y一s血（在（行，）上单调递增在（受，）上单调递减，因此原函数在区向行，号）上先增后诚，不满足 单调递减，所以D不符合要求.故选BC 11.ABD解析：设f(x)=x-1nc,则f')=1-1=二1，当x>1时，f(x)>0,所以函数fx)在区 间1，十)上单调递塔，所以6-h>a-na,即0h0<1,所以A正确：设gc)-兰则 b-a g')=CD,当>≥1时，g'(x>0,所以函数gx)在区间1，十∞)上单调递增，所以片>C,即 x Cb a <，所以B正确：若a=,b=2m,则sina=asin=0,所以C错误设p)-血+D(c>1),则 a 高三数学答案第2页（共7页） B'()=24In (+1) x ，设q)=年-1h+1D,则当x≥1时，g)=a+i)<0,所以 gx)=x十一lnx+1)在区间1，十∞)上单调递减，所以g)≤g)=2-ln2<0,即在区间 1,+oo上p'(x)<0,所以函数p(x)在区间1，十∞上单调递减，所以血a+D>n+,即 b b一In(b十D,所以D正确.故选ABD, a In (a+1)' l2.一2√2解析：由题可知tanx=√2，则tan2x= 2tanx=-2√2， 1-tanx 13.2 解析：函数f(x)=x3十ax+4a∈R,则f'(x)=3x2+a,又f(x)有两个极值点，所以a<0,由 厂r=3r+a=0,得x=士号，设=台=一号，所以f)+fu)- a a (-号)+a(号++（Γg'+a(g)+-2 14.264 解析：4种颜色设为α，b,c,d,正面不能同色必定用三种颜色，则有A好种不同方法，对于A中 的一种再考虑反面设计，如正面用三色为(a,b,c),则反面颜色也可选a,b,c,但与正面不能同色，故对应 为(b,c,a)和(c,a,b)两种，反面颜色也能选a,b,d,与正面(a,b,c)对应分别为(b,a,d),(b,d,a),(d, a,b),有3种，同理反面颜色选a,c,d也为3种，反面选b,c,d也为3种，则正面用三色为(a,b,c),反面 颜色对应有11种，所以不同的涂法共有A×11=264种. ,解：(1)由题易得，f(x)=ln2.x-1=2h(2x-1),…2 1 则f'（x)=2x-,即k.=∫'（m)=2m- ……………………………………………4分 1 1 (2)由1)知，a,=(2m-1)(2n+1)=22n-2n+/1 …………8分 则s.=+a:+a:+…+a.=号1-3)+（得》+日）++(22x】- 即数列{a,}的前n项和S,=2m十了 n …13分 16.解：(1)由正弦定理a AnB得 b 2 3 sin B' ………………3分 2 解得sinB=√2红 7 …4分 又a>b,所以A>B,即B∈(0，受)，所以cosB=-sinB=2y7 7 …………………………6分 (2)由余弦定理a2=b2十c2-2b0·c0sA→7=4十c2-2c,…8分 解得C=3或C=一1（舍），…9分 高三数学答案第3页（共7页） 在△ABD中，AD2=AB+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=9+21-62I·cos(T+∠ABC,… …12分 又cas(S+∠ABC)=-Sin∠ABC=-V2I …13分 所以AD2=9+21+6V2x 7 =48,…14分 所以AD=4√5.…15分 17.解：(1)证明：如图，取PB的中点M,连接AM,因为PA=AB,所以AM⊥PB, 又平面APB⊥平面CPB,平面APB∩平面CPB=PB,所以AM⊥平面CPB,…2分 又CBC平面CPB,所以AM⊥CB,…3分 又PA⊥底面ABCD,CBC底面ABCD, 所以PA⊥CB,… ……4分 又PA∩AM=A, 所以CB⊥平面APB,又ABC平面APB, 所以CB⊥AB.…6分 (2)因为AD/BC,所以AD⊥AB,…7分 又PA⊥底面ABCD,所以PA,AD,AB两两垂直，如图，以，点A为原点，AB,AD,AP所在直线为 x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),P(0,0,2), AM=(1,0,1),PD=(0,3,-2),CD=(-2,1,0),…10分 由(1)可知，AM为平面CPB的一个法向量， …11分 设平面CPD的一个法向量n=(x,y,之)， n·C元=-2x十y=0, 则有 可取n=(1,2,3), 13分 n·PD=3y-2x=0, 设平面CPB与平面CPD的夹角为O, 则cos0=n·Ai_27 n AM 7 所以平面CPB与平面CPD的夹角的余弦值为 27 7 ………15分 18,解：1)由题意X~B6,), ……1分 所以X的分布列为PX=)=C(),k=01,2.34.5。 ………3分 X的数学期望E(X)=np= 5 …4分 高三数学答案第4页（共7页） X的方装DX)=np1-p)=是 ·5分 (2)()由题意可知随机变量Y的可能取值为2,3,4， 则P(Y=2)=p2十(1一p)2,…6分 P(Y=3)=(1-p)p2十p(1-p)2,… …7分 P(Y=4)=p(1-p)p2+(1-p)p(1-p)2,… …8分 所以P(Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4) =p2+(1-p)2+(1-p)p2+p(1-)2+p(1-p)p2+(1-p)p(1-p)2 =1-2p2十4p3-2p4.…10分 (ii)P(Y=17)=(1-p)8p9十p8(1-p)9,…11分 P(Y=18)=(1-p)8p10十p8(1-p)10,…12分 P(Y=19)=(1-p)9p10十p°(1-p)10,…13分 P(Y=20)=(1-b)'b1十p°(1-p)11+2(1-p)10p0,…14分 PY>18)=PY=19)+P(Y=20)=(1-p)°p6+°(1-p)0+(1-p)°p1+p°(1-p)1+ 2(1-p)10p10=2(1-p)9p9,…15分 P(Y>16)=P(Y=17)+PY=18)+P(Y=19)+P(Y=20) =(1-p)8p9十p8(1-p)9+(1-p)8p10+p8(1-p)10+2(1-p)°p =2(1-p)8p8(1-p+p2)十2(1-p)°p9 =2(1-p)8p8,…16分 所以PY18y>16)=P018_21-p)°D P(Y>16)2(1-p)8p8 =(1-p)p.…17分 19.解：(1)设双曲线的半焦距长为c, 当直线1与x轴垂直时，A,B两点的横坐标为c, 所以 景-1解得-名 ,即y=土 …2分 a 所以AB1=2 -=6, a 又C=2,c2=a2十b2,得a=1,c=2,b=3,… …3分 故C的方程为x 31. ……4分 (2)证明：由(1)得F1(-2,0),F2(2,0),设直线1的方程为x=y十2，点A(x1,y1),B(x2,y2) x=my+2, 联立方 lz2-y 整理得(3m2-1)y2+12my+9=0, 31, 则y1十y2= -12m 9 %2y1y2321,…6分 由直线1与双面钱C的右支交于A,B两点，得0心m<号 …7分 要证点F1在以AB为直径的圆外，只需证F1A·FB>0即可， 又F1A=(x1十2，y1),F1B=(x2十2，y2), 又x1=my1+2,x2=my2+2, 高三数学答案第5页（共7页） 所以F1A·FB=(my1+4)(my2十4)十y1y2=(m2+1)y1y2十4m(y1十y2)+16…8分 ++6需8 4 由0≤m<3:得3m2-1<0, 4 所以33m2>0,2 …9分 所以F1A·FB>0,即点F1在以AB为直径的圆外.…10分 (3)假设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形，设线段AB的中点为G(x3y3), |MG√3 则MG⊥AB,且AB=2 …1门分 由上y=十y -6m -2 2 3mmy23m …13分 因为MG⊥AB,所以直线MG的斜率k=-m, 所以MG=√1+(-m) 0 -2 2 3n2-1 =√1十m 3m2-1 …14分 又|AB|=√1十m)[(y1+y2)-4y1y2J= -12m2 4×9 /(1+m2) 6m2+6 3m2-1/ 30m2- 3m2-1 …………15分 √1+m MG 所以AB 30m2- 1 5 6m2+6 3√1+m 9’………16分 3m2-1 因为方程 1 √3 √1+m 无解， 所以在y轴上不存在点M,使△MAB为等边三角形.…17分 高三数学答案第6页（共7页） 编写细目表 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力 V.空间想象能力V.数据处理能力Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 核心素养 题号 题型 分值 知识点 难度 M①② ③④⑤⑥ 1 选择题 5分 抛物线的定义 易 2 选择题 5分 集合的运算 易 3 选择题 5分 复数的运算 易 4 选择题 5分 函数的性质 易 5 选择题 5分 椭圆的性质 % 6 选择题 5分 平面向量基本定理 中 7 选择题 5分 圆锥的侧面积 中 8 选择题 5分 数列的通项 难 9 选择题 6分 样本数据的数字特征 易 10 选择题 6分 三角函数的性质 中 11 选择题 6分 不等式与函数 难 12 填空题 5分 三角变换 易 13 填空题 5分 函数的极值 % 14 填空题 5分 计数方法 难 15 解答题 13分 导数与数列求和 易 16 解答题 15分 解三角形 易 17 解答题 15分 立体几何垂直关系与平面夹角 L 中 18 解答题 17分 二项分布与概率 难 19 解答题 17分 双曲线综合 难 高三数学答案第7页（共7页）2027届高三摸底检测 数学 (时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点，则p= A.1 B.2 C.4 D.8 2.已知集合A={x|0<x<5),B={x|0<1og2x<3},则AUB= A.{x|0<x<8} B.{x|1<x<5} C.(x|5<x<8} D.{x|1<x<8} 3.已知复数z满足z(1一i)=1+i,则x的共轭复数z= A.-i B.i C.1-i D.1+i 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且f(2)=2,则f(0)= A.-2 B.0 C.1 D.2 5,已知F1,P2分别为椭圆C:十6I(a>4)的左、右焦点，点M在C上，且△F,MF2的周 长为16，则△FMF2面积的最大值为 A.6 B.12 C.16 D.24 6.在等腰梯形ABCD中，AB/∥CD,AB=2BC=2CD=2AD,BE=2EC,记AB=a,AD=b,则 A应= A号a-号b ca+2b Da+b 高三数学第1页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp -1- 7.已知圆锥的底面面积为2π，其内切球的表面积为4π，则该圆锥的侧面积为 A.4π B.6元 C.12π D.24π 2an+1,n为奇数， 8.已知数列{an}满足a1=2,am+1 则a200= 2am十2，n为偶数， A.250 B.500 C.550 D.1000 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组互不相同的样本数据x1,x2,x3,…,x10的平均数、中位数和方差分别为x,m,s,其 中x1和x10分别是这10个数中的最小值和最大值，设y:=2x:十1(i=1,2,3,…,10),数据 y1,y2y3,…,y10的平均数、中位数和方差分别为y,m',s3,则 A.m'=2m+1 B.s3=4s2 c号，= D826-82)°>s 10.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间（行，）上单调递减的有 A.y=1+sin x B.y=cos z C.y=-tanx D.y=sin(2x-5） 11.已知实数a,b满足1<a<b,则 A.Inbna<1 b-a B合<g C.bsin a>asin b BIn (6+1) D.a>1n(a+1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， l2.已知tan(x一π)=√2，则tan2x= 13.已知函数f(x)=x+ax+是(a∈R0存在两个极值点x1,,则f,)+f(x,)= 14.现有4种颜色，给3张不同的卡片正反面涂色，要求三张正面颜色各不相同、三张反面颜色各 不相同，且每张卡片正反两面颜色不同，则不同的涂色方法共有 种. 高三数学第2页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=ln√2z一I,曲线y=f(x)在点(n,f(n))处的切线斜率为kn(n∈N"). (1)求kn的表达式； (2)设数列(an）满足an=knkn+1,求数列{an}的前n项和Sn 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=号，a=7,b=2, (1)求cosB; (2)若点D满足DB⊥CB,∠ABD为钝角，BD=√2I,求线段AD的长. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC,PA=AB=BC=2,AD=3,且 平面APB⊥平面CPB. (1)证明：CB⊥AB; (2)求平面CPB与平面CPD的夹角的余弦值. 高三数学第3页（共4页） CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 3. 18.(本小题满分17分) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，各场比赛相互独立，单场甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为1一卫. (1)若甲、乙进行5场比赛，设随机变量X为比赛中甲获胜的场数，当力=2时，求X的分布 列、数学期望与方差 (2)比赛终止规则：比赛过程中若任意一方连续赢得两场，则比赛终止；若全程无人达成两连 胜，则进行n(n≥5)场后比赛终止.记随机变量Y为比赛终止时已完成的场数. (i)求PY≤4)； (ii)当n=20时，证明：P>18|Y>16)=(1-p)p 19.(本小题满分17分) 已知双面线C若-卡-1a>0,6b>0)的左，右焦点分别为R,R,离心率为2，过点F:的 直线L交C的右支于A,B两点，且当l与x轴垂直时，|AB|=6. (1)求C的方程 (2)证明：点F1在以AB为直径的圆外 (3)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形？若存在，求出直线L的方程；若不存 在，请说明理由. 高三数学第4页（共4页） CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描APP 4