第27章反比例函数（单元复习课件）数学人教版新教材九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了反比例函数的概念、图象性质及实际应用，通过“知识结构-考点精讲-典例专练-反馈练习-回顾反思”的流程，将三种表达式、双曲线特征、k的几何意义等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于结合实际问题培养数学眼光与模型意识，如通过车速与时间、密度计测量等实例抽象函数关系，设计“概念辨析-图象应用-综合计算”分层练习，提升学生推理能力与应用意识，助力教师精准教学，巩固知识。

单元复习 人教版(新教材) 九年级上册 第二十七章 反比例函数 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 实际问题 反比例函数 利用反比例函数的 图象和性质求解 实际问题的答案 归纳 抽象 图象 性质 目标 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 反比例函数的概念 1.形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． 2.三种表达式方法： 特别注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 已知函数是反比例函数，求 m 的值. 解：因为 是反比例函数， 所以 2m2 + 3m－3=－1， 2m2 + m－1≠0. 解得 m =－2. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x = 1.5 时，求 y 的值； （3）当 y = 6 时，求 x 的值. 解: （1）设y= ，把 x = 3，y = 4 代入得 k = 36. 即y= . （2）当 x = 1.5 时，y==16. （3）当 y = 6 时，=6,x= 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 在下列函数表达式中，x均表示自变量．① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ 其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：①符合反比例函数定义，是反比例函数； ②是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为 ，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为 ，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤分母为 不是x，不符合定义，不是反比例函数； ⑥符合反比例函数定义，是反比例函数；∴符合条件的反比例函数共有4个． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 反比例函数 过点 和 ，则m=________． 解：反比例函数的图象过点 和 ， ∴ ， 解得 ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 反比例函数的图象和性质 2.反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是 . 1.反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是 ， 它既是轴对称图形又是中心对称图形. 双曲线 原点 y = x y=－x 3.k 的几何意义： 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 反比例函数的图象和性质 函数 图象形状 图象位置 图象变化 趋势 函数值 增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 函数图象的两支分支分别位于第一、三象限 函数图象的两支分支分别位于第二、四象限 k＞0 k＜0 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y  −1.5 −2 −3  −6  6  3  2 1.5 画反比例函数 的图象，并判断点 在该图象上吗？为什么？ 解：列表如下： ∴反比例函数图象如图所示； 点 在该图象上，理由如下： 当 时， ， 所以点 在该图象上． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 如图，直线 与双曲线 交于点 和点 ，则不等式 的解集是________． 解：将 代入反比例函数的解析式得 ，解得 ， ∴反比例函数的解析式为 ， 将 代入反比例函数解析式得 ，∴ ， ∴ ， ∵直线与双曲线交于点 和点 ， ∴由函数图象可得，不等式的解集是 或 ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 如图，反比例函数 的图象经过 斜边上的中点A，与边BC交于点D，分别连接AD，OD，则 的面积为_________． 解：过点A作 于点E，设 ． ，∵点A是OB的中点， ， ∵    的图象经过点A， ， ．∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 若点 ， 都在函数 的图象上，且 ，则（     ） A． B． C． D． 解：在函数 中， ， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵ ，∴点 在第三象限， ， ∵ ，∴点 在第一象限， ， ∴ ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 解：∵反比例函数为 ， ， ∴当 时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当 时， ，该项正确； B、由x>0于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当x>0时，y随x增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 如图，若点A在反比例函数 的图象上，且 的面积是3，则k=___． 解：∵ 的面积为3， ． ． ∵图象在第二象限， ． ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 x y O B A 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于A(1，2)，B(m，－4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； 所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2. 解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =－4时，m= . 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1或 ＜x＜0. x y O B A 详解 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 反比例函数的实际应用 模型识别：实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 解决问题：利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 建模步骤：审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 01 02 03 数学建模 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (2)解： ， ，v随 t 增大而减小， 当 时， ； 当 时， ； 得 ．即车速应控制在 之间． 甲乙两地路程固定，若车速为 ,4小时可以到达.设车速为 ,时间为 . (1)求v与t的函数关系式； (2)若要求 小时到达，求车速的取值范围． (1)解：总路程： ， ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (1)解：设h与ρ之间的函数关系式为 ，由题可知，图像过 ， 代入，得 ，解得： ， 所以h与ρ之间的函数关系式为 ； 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度h(cm)是液体的密度 的反比例函数，其函数图象如图②所示 ． (1)求h与ρ之间的函数关系式； 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (2)当液体密度ρ从 增加到 时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少cm？ (2)解：当 时， ， ， ∴密度计浸入该液体中的高度h减少了8 cm． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形 为向上攀爬的梯子， 米，进口 ，且 米，出口C点距水面的距离为CD． (1)求BC段滑梯所在双曲线的解析式； (1)解：∵四边形AOEB是矩形，∴ ， ∴ ， 设BC段滑梯所在双曲线的解析式为 ， ∴ ， ∴ ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (2)解：∵ ， ∴点C的纵坐标为1.5， 当 时， ，解得： ， ∴点C的横坐标为8，即 ， ∴ 米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． (2)若CD为1.5米，求B，C之间的水平距离DE的长度． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 某天，小颖爷爷像往常一样用收音机收听所在地区的音乐广播，其电台发出的广播的频率f(kHz)和波长λ(m)之间满足表达式 ，已知该地区的音乐广播的波长约在 ，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播，则收音机所调的频率范围是______kHz（结果精确为整数）． 解：由题意可知， ， 当 时， ；当 时， ， 因此，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播， 收音机所调的频率范围是 ． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 解：设 f=. 由题意知，当 v =50时，f =80， 所以80=k=4000.因此f=, 当v=100时，f=40. 所以当车速为100km/h时视野为40度. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 已知某电路的电压 U (V)，电流 I (A)，电阻 R (Ω)三者之间有关系式 U = IR，且电路的电压 U 恒为 220 V． (1)求出电流 I 关于电阻 R 的函数解析式； 解：(1)∵某电路的电压 U (V)，电流 I (A)，电阻 R (Ω)三者之间有关系式 U = IR，∴ ， 代入 U =220 得 ， ∴电流 I 关于电阻 R 的函数解析式是 . 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 (2)如果该电路的电阻为 250 Ω，则通过它的电流是多少？ 解：(2)∵当 R=250 Ω 时， =0.88 (A) ， ∴如果该电路的电阻为 250 Ω，则通过它的电流是 0.88 A. (3)如图，怎样调整电阻箱 R 的值，可以使电路中的电流 I 增大？若电流 I =1.1 A，求电阻 R 的值． 解：(3)∵ ，∴电流与电阻成反比关系， ∴要使电路中的电流 I 增大，可以减少电阻， 当 I =1.1 A 时，I =1.1 A = ，解得 R=200 Ω． 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解：(1) (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200 N时，汽车的速度为多少 km/h？ (2) 把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180（km/m）. (3) F ≥ 2000 N. 27 《反比例函数》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 举例说明什么是反比例函数，反比例函数描述了怎样的变化规律？ 反比例函数的图象是怎样的？反比例函数有什么性质？ 你能举出几个现实生活中运用反比例函数性质的实例吗？ 回顾应用反比例函数解决实际问题的过程，总结建立函数模型解决实际问题的步骤. 结合本章的学习，你能总结研究一类函数模型的思路和方法吗？ 27 《反比例函数》单元复习 $