专题02 勾股定理的逆定理九大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以逆定理应用为主线，构建“判定-计算-应用-证明”九级题型体系，提炼“步骤化操作+技巧性转化”方法链，覆盖从基础概念到中考综合的逻辑进阶，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-09|每题型1典例+3变式|含逆定理判定步骤、辅助线构造、勾股数规律等12类方法|从三边关系判定（基础）→网格/面积应用（进阶）→实际问题与证明（综合），形成“概念-技能-迁移”完整链条|

专题02 勾股定理的逆定理九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用三边关系判定直角三角形 题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 题型03 在网格中判断直角三角形 题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 题型05 巧添辅助线构造直角三角形 题型06 勾股数的辨别 题型07 勾股数的规律猜想题 题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 ▌题型01 利用三边关系判定直角三角形 1. 核心逆定理：若三角形三边长（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，所对的角为直角。 2. 解题步骤： ① 找出三边中最大边长； ② 分别计算较短两边平方和、最长边平方； ③ 对比两者是否相等，相等即为直角三角形。 3. 易错提醒：必须以最长边作为等式右边，不可随意代入。 4. 拓展：若，锐角三角形；，钝角三角形。 【典例1】以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式1-2】在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 【变式1-1】以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，求解即可． 【详解】解：A．最长边为，，，得，符合要求； B．最长边为，，，，故，不符合要求； C． 最长边为6，，，，故，不符合要求； D． 最长边为，，，，故，不符合要求． 【变式1-2】下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 【答案】D 【详解】解：A. ，能作为直角三角形三边长； B. ，能作为直角三角形三边长； C. ，能作为直角三角形三边长； D. ，不能作为直角三角形三边长． 【变式1-3】已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A＝2∠B＝3∠C D．a：b：c＝3：4：5 【答案】C． 【分析】依次判断出四个选项中三角形的形状即可． 【详解】解：当∠A：∠B：∠C＝1：2：3时， 因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以∠C． 所以△ABC是直角三角形． 故A选项不符合题意； 因为a2＝（b+c）（b﹣c）， 所以a2＝b2﹣c2， 即a2+c2＝b2． 所以△ABC是直角三角形． 故B选项不符合题意； 因为∠A＝2∠B＝3∠C， 所以∠B，∠C． 又因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以∠A180°， 则∠A， 所以△ABC是钝角三角形． 故C选项符合题意； 因为a：b：c＝3：4：5， 则令a＝3k，b＝4k，c＝5k， 所以（3k）2+（4k）2＝（5k）2， 即a2+b2＝c2， 所以△ABC是直角三角形． 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． ▌题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 1. 常见等式处理方法：移项、因式分解、配方，拆分出三边平方关系。 2. 两类高频情况： · 出现：直角三角形； · 出现两边相等（、）：等腰三角形；两者同时满足为等腰直角三角形。 3. 典型配方题型：如，配成完全平方，求出三边长度再判定。 4. 技巧：等式含平方、一次项，优先配方；含乘积项优先因式分解。 【典例2】已知三角形三边长为a，b，c，如果|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（　　） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】B． 【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性得出a﹣10＝0，b﹣8＝0，c﹣6＝0，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可． 【详解】解：∵|b﹣10|+（c﹣8）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣10＝0，c﹣8＝0， ∴a＝6，b＝10，c＝8， ∵62+82＝102，即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形（b为斜边）， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【变式1-1】若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 　　 ． 【答案】等腰直角三角形． 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0，从而可得c2＝a2+b2，a＝b，然后根据勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0， ∴c2﹣a2﹣b2＝0，a﹣b＝0， ∴c2＝a2+b2，a＝b， ∴此三角形是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1-2】已知a，b，c满足|a﹣3| （1）a=　 　；b＝　　 ；c＝　 　； （2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）a＝3，b＝7，c； （2）． 【分析】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：（1）∵a、b、c满足满足|a﹣3|， ∴a﹣30，0， 解得：a＝3，b＝7，c； （2）∵7＜38，23， ∴b+c＞a， ∴能构成三角形， 又∵a2＝54，b2+c2＝54＝a2， ∴此三角形是直角三角形， 面积Sbc． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1-3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 小明的解题过程如下： 因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，① 所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），② 所以c2＝a2+b2，③ 所以△ABC是直角三角形．④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）小明的解题过程中，从第 　 （填序号）步开始出现错误； （2）请你将正确的解答过程写下来． 【答案】（1）③ （2）△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）观察解答过程可知，第①步为已知条件，第②步为因式分解，第③步忽略了a2﹣b2＝0的可能； （2）接下来根据以上的分析，写出正确的步骤，可推出a＝b或c2＝a2+b2，由此确定三角形的形状即可． 【详解】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；错误的原因是忽略了a2﹣b2＝0的可能． （2）正确的解法为：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）． 移项得c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0， 因式分解得（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0， 则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，c2＝a2+b2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，会把等式变形并会把等式的左边分解因式是解决问题的关键． ▌题型03 在网格中判断直角三角形 1. 网格求线段长度：横纵格数为直角边，线段长，线段平方。 2. 简便方法：不用开方，直接比较三边平方，省去根式计算。 3. 操作流程： ① 用网格横纵坐标算出三角形三条边的平方； ② 找出最大平方值； ③ 验证另外两个平方之和是否等于最大平方。 4. 补充：网格多边形、多顶点图形，分段求边长平方再判定垂直。 【典例3】如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为___________． 【答案】90°/90度 【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答． 【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20， CB2=22+12=5， AC2=32+42=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC=90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 【变式1-2】如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 【变式1-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）略 ▌题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 1. 组合思路：先用逆定理判定直角，再用勾股求边长，最后算面积。 2. 不规则图形：分割 / 补形为直角三角形、直角梯形，分别计算面积再求和差。 3. 经典模型：四边形给出四条边长 + 一条对角线，先用逆定理判断对角线分出的两个三角形是否为直角三角形。 4. 面积结论：直角三角形面积；若判定不出直角，需作高求解。 【典例4-1】如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 【典例4-2】如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 【变式1-2】如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1) 证明：∵E是的中点，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴四边形空地的面积=． ▌题型05 巧添辅助线构造直角三角形 1. 常用辅助线作法： · 连接四边形对角线，拆分两个三角形； · 延长线段、作垂线，补齐直角； · 图形含 30°/45° 角，作高生成标准直角三角形。 2. 解题逻辑：构造出三边，计算三边平方，用逆定理证明垂直。 3. 核心目的：原图无直角，通过辅助线创造三边，满足逆定理使用条件。 4. 等量传递：公共边、相等线段平方相等，用于代换推导。 【典例5】如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【分析】连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC＝90°，从而求出∠DAB的度数． 【详解】解：连接AC． 设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k． ∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2， ∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2， ∵（3k）2﹣k2＝8k2， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理的应用．本题将∠DAB分成∠BAC，∠DAC是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【答案】B． 【分析】延长AD到点E，使AD＝DE＝6，通过SAS可证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通过勾股定理逆定理可证明△AEC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可． 【详解】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE＝6， ∴AE＝12， ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CDBC， 在△ABD和△ECD中， ∵， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝5， ∵AE2+CE2＝169， AC2＝169． ∴AC2＝AE2+CE2， ∴△AEC为直角三角形， ∴∠E＝90°， ∴CD， ∴BC＝2CD＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 【变式1-3】在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝2，求BC边上的高． 【答案】． 【分析】作AH⊥BC于H，首先利用勾股定理的逆定理说明∠BAC＝90°，再利用等积法可得AH的长． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB2+AC2＝22+62＝40，BC2＝40， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴BC•AH， ∴AH， ∴BC边上的高为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，三角形的面积等知识，证明∠BAC＝90°是解题的关键． ▌题型06 勾股数的辨别 1. 勾股数定义：满足的三个正整数，缺一不可。 2. 辨别三大条件： ① 均为正整数； ② 两小数平方和 = 最大数平方； ③ 排除小数、分数、无理数组。 3. 基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。 4. 倍数性质：一组勾股数同乘正整数，新数组仍是勾股数（如 6,8,10）。 【典例6】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（    ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是三个正整数，且满足勾股定理（为最大数），需检查各选项是否均为正整数并验证等式． 【详解】解：选项A：，不是勾股数，不合题意； 选项B：含有小数，不是勾股数，不合题意； 选项C：，且均为正整数，是勾股数，符合题意； 选项D：不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的定义逐一判断各组数是否符合． 勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足即可． 【详解】∵勾股数需为正整数，且满足， 对于①：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于②：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于③：均不是整数，∴不是勾股数， 对于④：中和不是整数，∴不是勾股数． ∴勾股数有2组． 故选B． ▌题型07 勾股数的规律猜想题 1. 常见两类规律： · 奇数开头：（为大于 1 的奇数）； · 偶数开头：（整数）。 2. 解题步骤： ① 观察已知勾股数，分位置总结数字变化规律； ② 用含代数式表示三边； ③ 代入逆定理验证规律是否成立。 3. 答题规范：先猜想，再代数证明等式成立。 【典例7】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2) 证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）略 【变式1-1】勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 【变式1-2】定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 【答案】(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． ▌题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 1. 常见场景：航海方位、房屋垂直检测、道路、旗杆、折叠、四边形地块。 2. 解题通用流程： ① 提取题干长度数据，抽象三角形模型； ② 标出三边长度，确定最长边； ③ 用逆定理判断是否存在直角； ④ 根据直角回答方位、垂直、距离等问题。 3. 关键词识别：判断垂直、夹角是否 90°、路线是否直角转弯。 【典例8-1】某工厂计划生产一批自行车，如图为自行车的实物图，图为其车架部分示意图，经测量，，，，，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】解：与平行，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，所以，又，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】略． 【典例8-2】 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（，，抽象为同一平面内三个点，，形状大小相同） ②通过滑块在水平直轨道上的左右滑动，调节物体的高度． 初始状态 如图1，物体静止在轨道上，经测量分米，分米，且分米． 实验条件 绳子始终绷紧（长度不会变化），定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 解决问题： (1)求证：； (2)如图2，若滑块向右滑动9分米到的位置，则物体上升到处，此时物体升高了多少分米？ 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； (2)分米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）设物体升高了分米，表示出此时的长，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设物体升高了分米，根据题意得 ， ∴中， ∴ ∴ 解得： 答：物体升高了分米． 【变式1-1】如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1)，， ， 是直角三角形； (2)米． 【分析】（1）先计算三角形三边的平方，因为已知的三边长，所以用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． （2）设的长度为，那么，，因为（1）已证是直角，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略； （2）解：设米，则米，米， 在中，， ， 解得． 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米． 【变式1-2】如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 【变式1-3】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． ▌题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 1. 证明目标：证明两条线段垂直、某角为 90°、图形是直角三角形。 2. 标准证明步骤： ① 设出图形三边长度，或利用全等、折叠、等量替换得到三边； ② 分别计算三边平方； ③ 证得两短边平方和 = 最长边平方； ④ 由逆定理直接得出对应角为直角，线段垂直。 3. 综合搭配：常结合全等、等腰、平行线、勾股定理本体联合推导。 4. 关键思路：要证垂直，先找三边，再证平方等式。 【典例9】如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； (2)66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 【详解】（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 【变式1-1】如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式1-2】如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)等边，直角， (2) (3) 理由：将 沿 方向平移，使 与 重合，得到，连接 ， ． 由平移性质： ， ， ， ∴， 又 ， ∴ 是等边三角形，得 ， ∵ 与 不平行，∴ 三点不共线， 在 中，由三角形三边关系： ， 即 ， ∴ ． 【分析】（1）因为旋转后，旋转角等于等边三角形内角 ，所以可判断的形状；根据三边长度满足勾股定理逆定理，可判断的形状，结合角的和差关系求 ； （2）借鉴（1）的旋转思路，将 绕点B顺时针旋转 得到，连接，因为旋转角为 且，是等腰直角三角形，结合已知 可得 ，再用勾股定理求 ； （3）利用平移变换将 或 平移，构造含 角的等边三角形，结合三角形三边关系比较 与 的大小． 【详解】（1）解：将 绕A旋转得到 ， 由旋转性质得， 旋转角 ， ∴是等边三角形； 由 ， ， ，得， 由勾股定理逆定理得是直角三角形； ∴ ， ． （2）解：类比（1），将 绕点 顺时针旋转，得到，连接． 由旋转性质： ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 得， ， ∴ ， 在 中， ． （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理的逆定理九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用三边关系判定直角三角形 题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 题型03 在网格中判断直角三角形 题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 题型05 巧添辅助线构造直角三角形 题型06 勾股数的辨别 题型07 勾股数的规律猜想题 题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 ▌题型01 利用三边关系判定直角三角形 【典例1】【答案】B 【变式1-2】【答案】 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C． ▌题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 【典例2】【答案】B． 【变式1-1】【答案】等腰直角三角形． 【变式1-2】 【答案】（1）a＝3，b＝7，c； （2）． 【分析】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：（1）∵a、b、c满足满足|a﹣3|， ∴a﹣30，0， 解得：a＝3，b＝7，c； （2）∵7＜38，23， ∴b+c＞a， ∴能构成三角形， 又∵a2＝54，b2+c2＝54＝a2， ∴此三角形是直角三角形， 面积Sbc． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】（1）③ （2）△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）观察解答过程可知，第①步为已知条件，第②步为因式分解，第③步忽略了a2﹣b2＝0的可能； （2）接下来根据以上的分析，写出正确的步骤，可推出a＝b或c2＝a2+b2，由此确定三角形的形状即可． 【详解】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；错误的原因是忽略了a2﹣b2＝0的可能． （2）正确的解法为：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）． 移项得c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0， 因式分解得（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0， 则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，c2＝a2+b2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，会把等式变形并会把等式的左边分解因式是解决问题的关键． ▌题型03 在网格中判断直角三角形 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】90°/90度 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）略 ▌题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 【典例4-1】【答案】C 【典例4-2】 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】16 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵E是的中点，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴四边形空地的面积=． ▌题型05 巧添辅助线构造直角三角形 【典例5】 【答案】135°． 【分析】连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC＝90°，从而求出∠DAB的度数． 【详解】解：连接AC． 设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k． ∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2， ∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2， ∵（3k）2﹣k2＝8k2， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理的应用．本题将∠DAB分成∠BAC，∠DAC是解题的关键． 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】96 【变式1-3】 【答案】． 【分析】作AH⊥BC于H，首先利用勾股定理的逆定理说明∠BAC＝90°，再利用等积法可得AH的长． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB2+AC2＝22+62＝40，BC2＝40， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴BC•AH， ∴AH， ∴BC边上的高为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，三角形的面积等知识，证明∠BAC＝90°是解题的关键． ▌题型06 勾股数的辨别 【典例6】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】B ▌题型07 勾股数的规律猜想题 【典例7】 【答案】(1)40，41；48，50 (2) 证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）略 【变式1-1】 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 【变式1-3】 【答案】(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． ▌题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 【典例8-1】 【答案】解：与平行，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，所以，又，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】略． 【典例8-2】 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； (2)分米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）设物体升高了分米，表示出此时的长，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设物体升高了分米，根据题意得 ， ∴中， ∴ ∴ 解得： 答：物体升高了分米． 【变式1-1】 【答案】(1)，， ， 是直角三角形； (2)米． 【分析】（1）先计算三角形三边的平方，因为已知的三边长，所以用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． （2）设的长度为，那么，，因为（1）已证是直角，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略； （2）解：设米，则米，米， 在中，， ， 解得． 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米． 【变式1-2】 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 【变式1-3】 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． ▌题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 【典例9】 【答案】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； (2)66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 【详解】（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1)等边，直角， (2) (3) 理由：将 沿 方向平移，使 与 重合，得到，连接 ， ． 由平移性质： ， ， ， ∴， 又 ， ∴ 是等边三角形，得 ， ∵ 与 不平行，∴ 三点不共线， 在 中，由三角形三边关系： ， 即 ， ∴ ． 【分析】（1）因为旋转后，旋转角等于等边三角形内角 ，所以可判断的形状；根据三边长度满足勾股定理逆定理，可判断的形状，结合角的和差关系求 ； （2）借鉴（1）的旋转思路，将 绕点B顺时针旋转 得到，连接，因为旋转角为 且，是等腰直角三角形，结合已知 可得 ，再用勾股定理求 ； （3）利用平移变换将 或 平移，构造含 角的等边三角形，结合三角形三边关系比较 与 的大小． 【详解】（1）解：将 绕A旋转得到 ， 由旋转性质得， 旋转角 ， ∴是等边三角形； 由 ， ， ，得， 由勾股定理逆定理得是直角三角形； ∴ ， ． （2）解：类比（1），将 绕点 顺时针旋转，得到，连接． 由旋转性质： ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 得， ， ∴ ， 在 中， ． （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理的逆定理九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用三边关系判定直角三角形 题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 题型03 在网格中判断直角三角形 题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 题型05 巧添辅助线构造直角三角形 题型06 勾股数的辨别 题型07 勾股数的规律猜想题 题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 ▌题型01 利用三边关系判定直角三角形 1. 核心逆定理：若三角形三边长（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，所对的角为直角。 2. 解题步骤： ① 找出三边中最大边长； ② 分别计算较短两边平方和、最长边平方； ③ 对比两者是否相等，相等即为直角三角形。 3. 易错提醒：必须以最长边作为等式右边，不可随意代入。 4. 拓展：若，锐角三角形；，钝角三角形。 【典例1】以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】在中，，，，则的度数为______． 【变式1-1】以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 【变式1-3】已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A＝2∠B＝3∠C D．a：b：c＝3：4：5 ▌题型02 根据三边满足的关系式判断三角形的形状 1. 常见等式处理方法：移项、因式分解、配方，拆分出三边平方关系。 2. 两类高频情况： · 出现：直角三角形； · 出现两边相等（、）：等腰三角形；两者同时满足为等腰直角三角形。 3. 典型配方题型：如，配成完全平方，求出三边长度再判定。 4. 技巧：等式含平方、一次项，优先配方；含乘积项优先因式分解。 【典例2】已知三角形三边长为a，b，c，如果|b﹣10|+（c﹣8）2＝0，则△ABC是（　　） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【变式1-1】若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 　　 ． 【变式1-2】已知a，b，c满足|a﹣3| （1）a=　 　；b＝　　 ；c＝　 　； （2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【变式1-3】已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 小明的解题过程如下： 因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，① 所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），② 所以c2＝a2+b2，③ 所以△ABC是直角三角形．④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）小明的解题过程中，从第 　 （填序号）步开始出现错误； （2）请你将正确的解答过程写下来． ▌题型03 在网格中判断直角三角形 1. 网格求线段长度：横纵格数为直角边，线段长，线段平方。 2. 简便方法：不用开方，直接比较三边平方，省去根式计算。 3. 操作流程： ① 用网格横纵坐标算出三角形三条边的平方； ② 找出最大平方值； ③ 验证另外两个平方之和是否等于最大平方。 4. 补充：网格多边形、多顶点图形，分段求边长平方再判定垂直。 【典例3】如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的顶点上），则图中的度数为___________． 【变式1-2】如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【变式1-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． ▌题型04 勾股定理及其逆定理解决面积问题 1. 组合思路：先用逆定理判定直角，再用勾股求边长，最后算面积。 2. 不规则图形：分割 / 补形为直角三角形、直角梯形，分别计算面积再求和差。 3. 经典模型：四边形给出四条边长 + 一条对角线，先用逆定理判断对角线分出的两个三角形是否为直角三角形。 4. 面积结论：直角三角形面积；若判定不出直角，需作高求解。 【典例4-1】如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【典例4-2】如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【变式1-2】如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． ▌题型05 巧添辅助线构造直角三角形 1. 常用辅助线作法： · 连接四边形对角线，拆分两个三角形； · 延长线段、作垂线，补齐直角； · 图形含 30°/45° 角，作高生成标准直角三角形。 2. 解题逻辑：构造出三边，计算三边平方，用逆定理证明垂直。 3. 核心目的：原图无直角，通过辅助线创造三边，满足逆定理使用条件。 4. 等量传递：公共边、相等线段平方相等，用于代换推导。 【典例5】如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【变式1-3】在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝2，求BC边上的高． ▌题型06 勾股数的辨别 1. 勾股数定义：满足的三个正整数，缺一不可。 2. 辨别三大条件： ① 均为正整数； ② 两小数平方和 = 最大数平方； ③ 排除小数、分数、无理数组。 3. 基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17。 4. 倍数性质：一组勾股数同乘正整数，新数组仍是勾股数（如 6,8,10）。 【典例6】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（    ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ▌题型07 勾股数的规律猜想题 1. 常见两类规律： · 奇数开头：（为大于 1 的奇数）； · 偶数开头：（整数）。 2. 解题步骤： ① 观察已知勾股数，分位置总结数字变化规律； ② 用含代数式表示三边； ③ 代入逆定理验证规律是否成立。 3. 答题规范：先猜想，再代数证明等式成立。 【典例7】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【变式1-1】勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【变式1-2】定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． ▌题型08 勾股定理的逆定理的实际应用 1. 常见场景：航海方位、房屋垂直检测、道路、旗杆、折叠、四边形地块。 2. 解题通用流程： ① 提取题干长度数据，抽象三角形模型； ② 标出三边长度，确定最长边； ③ 用逆定理判断是否存在直角； ④ 根据直角回答方位、垂直、距离等问题。 3. 关键词识别：判断垂直、夹角是否 90°、路线是否直角转弯。 【典例8-1】某工厂计划生产一批自行车，如图为自行车的实物图，图为其车架部分示意图，经测量，，，，，请判断与是否平行，并说明理由． 【典例8-2】 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（，，抽象为同一平面内三个点，，形状大小相同） ②通过滑块在水平直轨道上的左右滑动，调节物体的高度． 初始状态 如图1，物体静止在轨道上，经测量分米，分米，且分米． 实验条件 绳子始终绷紧（长度不会变化），定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 解决问题： (1)求证：； (2)如图2，若滑块向右滑动9分米到的位置，则物体上升到处，此时物体升高了多少分米？ 【变式1-1】如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【变式1-2】如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【变式1-3】 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． ▌题型09 用勾股定理的逆定理进行证明 1. 证明目标：证明两条线段垂直、某角为 90°、图形是直角三角形。 2. 标准证明步骤： ① 设出图形三边长度，或利用全等、折叠、等量替换得到三边； ② 分别计算三边平方； ③ 证得两短边平方和 = 最长边平方； ④ 由逆定理直接得出对应角为直角，线段垂直。 3. 综合搭配：常结合全等、等腰、平行线、勾股定理本体联合推导。 4. 关键思路：要证垂直，先找三边，再证平方等式。 【典例9】如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【变式1-1】如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【变式1-2】如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【变式1-3】平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $