第一章空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何单元卷，通过梯度化题型设计，覆盖空间向量运算、线面关系等核心知识，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|空间直角坐标系对称、方向向量与法向量夹角等|基础巩固，考查空间坐标运算| |多选题|3|法向量坐标、向量共面、正方体轨迹|能力提升，体现批判性思维| |填空题|3|四棱锥中点存在性、翻折问题距离|创新应用，强化几何直观| |解答题|5|三棱柱线面垂直、二面角，四棱锥线面角等|综合探究，发展推理与运算能力|

高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D D C D BD ACD 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2．C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 3．C 【详解】因为，，所以. 4．D 【分析】先求出线面所成角的正弦值，即两向量夹角余弦的绝对值，再结合同角三角函数中平方和为1的关系，求出线面所成角的余弦值. 【详解】设直线l与平面α所成的角为θ，则， 则，因此直线l与平面α所成角的余弦值为. 5．D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 6．D 【分析】应用向量的坐标运算结合勾股定理计算点到直线的距离判断A，由空间向量基底的性质判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，先求出投影向量再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为 ， 又 为 的一个方向向量， 则点 到直线 的距离，故A错误； 对于B， 因为 即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，因为四边形为平行四边形，， 又， ，，， 因为在空间四边形中，与成角， 或， 又， ， 当时，， ，即此时两点间的距离为； 当时，， ，即此时两点间的距离为， 综上所述，两点间的距离为或，故C错误； 对于D，因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影模长为：，故D正确. 7．C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 8．D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 9．BD 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10．ACD 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 11．AC 【分析】建立空间直角坐标系，可得，.对于A：根据线面平行结合空间向量确定点P的轨迹，进而求出轨迹长度；对于B：利用向量的方法求出异面直线所成角的取值范围；对于C：求平面的法向量，利用空间向量怎么面面垂直；对于D：利用空间几何体的展开图求出的最小值． 【详解】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 12．1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 13． 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14． 【分析】建立坐标系、确定点的轨迹、用代数方法关联距离与参数计算即可得出结果. 【详解】设原矩形 中， ， ， ，则 . 翻折后， 满足： ， ， 所以，. 两式相减得： ，即 . 点 ，则 . 代入 ，展开得：， 点到平面 的距离 ，将 代入 ， 整理得： 由 ，得 ，代入上式： ； ，解得 或 所以 由 ： 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 . 综上， . 15．(1)证明：在三棱柱中，平面ABC，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，得， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然，因此，平面，而平面， 所以平面. (2)． 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）的信息，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，得平面的一个法向量为， 由（1）知平面的一个法向量为，则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 16．(1)取中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2)①因为 平面 ，平面，所以 ， 因为底面 为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又 ，平面， 所以 平面， 因为 平面，所以； ② 【分析】(1) 中点条件优先构造中位线得到线线平行； (2)①要证线线垂直，先证线垂直于包含另一条直线的平面； ②线面角计算核心：直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于线面角正弦. 【详解】（1）略 （2）①略 ②分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则, ， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，则. 17．(1)证明：取的中点，连接， ∵与都是边长为2的等边三角形， ∴，，且， 在中，，即 由勾股定理得，又， 平面，∴平面， 又平面，∴平面平面. (2). 【分析】（1）先取的中点，利用勾股定理证明出，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的定义求解即可. 【详解】（1）略. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又∵是的中点，∴，， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 化简得取， 则，则， 设直线与平面所成角为， 则. 18．(1)不妨设，则，，． 连接AD，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又D为的中点， 故，于是，所以， 又，，所以平面ABD，平面ABD，故． 又⊥平面ABC，平面ABC，故⊥AB，又＝，故AB⊥平面 (2)． 【详解】（1）略． （2）由（1）知，AB、AC、两两垂直，故以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则： ， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得． 记直线BC与平面所成角为，则， 即直线BC与平面所成角的正弦值为． 19．(1)连接，在矩形中与互相平分，是的中点，所以， 由于为的中位线， 故． 又平面，平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，借助空间向量求得平面和平面 的法向量，结合二面角得到向量的数量积关系，即可求得的长； （3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，且， 所以， 设平面的一个法向量， 则，取得 ， 同理可取平面 的一个法向量 ． 因此 ，得． 解得．所以． （3）由题可知， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一空间向量与立体几何 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 4．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 6．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 7．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 13．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 14．在矩形中，，，将沿对角线翻折为．若点到平面的距离为，则线段长度的取值范围是_________． 四、解答题 15．如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 16．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 . (2)已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 17．如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．在直三棱柱中，，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角是直二面角，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $