第一章 空间向量与立体几何全章综合测试 —2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何全章综合测试，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查空间向量运算、线面关系等核心知识，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量基底、投影向量、异面直线所成角等|第7题以瓮城为情境，体现文化传承与空间想象| |填空题|3题15分|二面角、动态线段最值|第14题试验装置情境，考查数学建模| |解答题|5题77分|线面平行、线面角、存在性问题|第19题垂心四面体，融合折叠与创新探究，发展逻辑推理与创新意识|

第1章 空间向量与立体几何全章综合测试 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知向量，，若，则x﹣y＝（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 2．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记，，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 5．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝2AA1＝2BC＝2，E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（　　） A． B． C． D． 7．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为BD1、B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是（　　） A． B． C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣1，﹣4，-3）C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点O，有，则M，A，B，C四点共面 10．在三棱锥P﹣ABC中，P（1，1，0），A（2，0，1），B（0，2，1），C（0，0，0），则（　　） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量（1，1，﹣2）是平面ABC的一个法向量 D．PB与平面ABC所成角的正弦值为 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为正方形A1B1C1D1内（包括边界）一动点，F为CC1的中点，则（　　） A．三棱锥P﹣ABC的体积为定值 B．存在点P，使得CP⊥A1B C．若AP＝3，则cos∠PAB的最大值为 D．满足BP⊥AF的点P的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知，则 　 　 ． 13．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为 　 　 ． 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，则线段MN的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，A1C1上的点，且2BM＝A1M，C1N＝2A1N．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，求线段MN的长． 16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：BC1∥平面A1DC； （2）求直线BC1与平面A1DC的距离． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2． （1）证明：PB∥平面DEF； （2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； （3）求点P到平面DEF的距离． 18．（本小题满分17分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点． （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）求二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值； （3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，△ABC中，AB＝2，BC，CA＝2，在AB上取一点D，将△ACD沿CD折叠到某个位置得到△SCD，使得三棱锥S﹣BCD为垂心四面体． （1）求证：SD⊥BC； （2）求SD与平面SBC的夹角的正弦值； （3）设动点P在棱SC上，动点Q在棱SB上，满足λ（λ＞0），记平面DPQ与平面DBC所成锐二面角为θ，求θ的最小值及此时λ的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 空间向量与立体几何全章综合测试 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知向量，，若，则x﹣y＝（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【分析】根据空间向量共线坐标运算列式求解即可． 【解答】解：因为向量，， 若∥，则， 所以x＝﹣1，y＝﹣4，故x﹣y＝3． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题． 2．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果． 【解答】解：因为若是空间的一个基底，所以依次分析各个选项如下： 选项A，若，，共面， 则存在实数x，y使得， 即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确； 选项B，因为，所以，，共面，所以B错误； 选项C，因为，所以，，共面，所以C错误； 选项D，因为，所以，，共面，所以D错误． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属中档题． 3．如图，四面体ABCD中，点E是CD的中点，记，，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，根据AE是△ACD中CD边上的中线，可得向量是、和的一半，再在△ABE中利用向量加法的三角形法则，即可得到向量关于向量、、的表达式． 【解答】解：连接AE， ∵E是CD的中点，， ∴ ∵△ABE中，， ∴ 故选：B． 【点评】本题在四面体ABCD中，已知E为CD中点的情况下求向量的表达式，着重考查了向量的加法法则、空间向量的线性运算的知识，属于基础题． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可． 【解答】解：已知向量，，则向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 5．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝2AA1＝2BC＝2，E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，由向量的夹角公式，计算可得所求值． 【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B1（1，2，1），D1（0，0，1），E（0，1，0），C（0，2，0）， ∴， 设异面直线EB1与D1C所成的角为θ， 则． 故选：B． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 6．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得． 【解答】解：因为四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD， 所以建系如图，则根据题意可得： P（0，0，1），D（0，1，0），E（1，，0）， 所以， 所以， 所以点E到直线PD的距离为： ． 故选：D． 【点评】本题考查向量法求解点面距问题，属中档题． 7．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线CE与平面DEB1所成角的正弦值即可． 【解答】解：因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AA1⊥AB， 由题意可以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，0），D（0，1，0），A1（0，0，3）， B1（0，4，3），C1（0，3，3），D1（0，1，3）， 又因为E为的中点，则E（2，2，3）， 则，（0，﹣3，﹣3），， 设平面DEB1的法向量（x，y，z），则， 令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，则， 设直线CE与平面DEB1所成角为θ， 则． 故选：D． 【点评】本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系和直线与平面所成的角，属于中档题． 8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为BD1、B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是（　　） A． B． C． D．8 【分析】建立空间直角坐标系设点P（x，y，z），利用MP⊥CN以及M、N两点的位置关系可得点P的轨迹为四边形EFGH，求出该矩形周长即可得结果． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0）、M（1，1，1）、N（1，2，2）、C（0，2，0），∴， 设P（x，y，z），则， ∵MP⊥CN，则， 当x＝2时，，当x＝0时，， 取、、、， 连接EF、FG、GH、HE， 则，， ∵，故EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形， ∴，，即EF⊥CN，EH⊥CN， 又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，∴CN⊥平面EFGH， 又，， ∴M为EG的中点，则M∈平面EFGH， 为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH， 又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH， 又EF＝GH＝2，，∴EF≠EH，则点P的轨迹不是正方形， 则矩形EFGH的周长为． 故选：A． 【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，空间几何体中的轨迹问题，考查运算求解能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 B．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣1，﹣4，﹣3） C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点O，有，则M，A，B，C四点共面 【分析】选项A：使用反证法求证即可； 选项B：根据点的性质即可求解； 选项C：当a，夹角为0°时，； 选项D：利用平面向量共面定理求解． 【解答】解：若不是空间的一个基底，则，，共面， 所以存在实数x，y，使得， 所以，这是不可能的，A正确； 点P（x，y，z）关于yOz平面的对称点应为（﹣x，y，z）， 故P（﹣1，4，3）的对称点是（1，4，3），而非（﹣1，﹣4，﹣3），B错误； 当，夹角为0°时，，C错误， 若， 则， 即，所以， ， 所以共面，所以M，A，B，C四点共面，D正确． 故选：AD． 【点评】本题考查了法向量的定义，平面向量共面定理，属于中档题． （多选）10．在三棱锥P﹣ABC中，P（1，1，0），A（2，0，1），B（0，2，1），C（0，0，0），则（　　） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量（1，1，﹣2）是平面ABC的一个法向量 D．PB与平面ABC所成角的正弦值为 【分析】由空间两点间的距离公式判断A；利用数量积求夹角判断B；由数量积为0判断C；求出平面ABC的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【解答】解：∵P（1，1，0），B（0，2，1）， ∴，故A正确； ∵A（2，0，1），B（0，2，1），C（0，0，0），∴，， ，故B错误； 又，∵， ， ∴是平面ABC的一个法向量，故C正确； ∵， ∴PB与平面ABC所成角的正弦值为，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． （多选）11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为正方形A1B1C1D1内（包括边界）一动点，F为CC1的中点，则（　　） A．三棱锥P﹣ABC的体积为定值 B．存在点P，使得CP⊥A1B C．若AP＝3，则cos∠PAB的最大值为 D．满足BP⊥AF的点P的轨迹长度为 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设点P（x，y，2），其中x、y∈[0，2]，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出x、y的关系式，确定点P的轨迹，并求其长度，可判断D选项． 【解答】解：对于A，因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，P∈平面A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD， 所以点P到平面ABCD的距离等于AA1＝2， 又四边形ABCD是边长为2的正方形，故， 所以，为定值，故A正确； 对于B，如图， 取A1D1的中点E，A1B1的中点M，连接EM， 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、A1（2，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）， 设P（x，y，2），其中x、y∈[0，2]，则，， ，因为y∈[0，2]，所以恒有， 所以不存在点P，使得CP⊥A1B，故B错误； 对于C，，， 所以，即（x﹣2）2+y2＝5， 因为y∈[0，2]，所以， 故当AP＝3时，cos∠PAB的最大值为，故C错； 对于D，，， 由BP⊥AF得，即y＝x﹣1， 又因为x、y∈[0，2]，所以x∈[0，2]、y∈[0，1]， 所以点P的轨迹为平面A1B1C1D1内的线段y＝x﹣1，x∈[1，2]， 即图中的线段EM，由图知， 故满足BP⊥AF的点P的轨迹长度为，D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查三棱锥的体积、动点轨迹问题，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知，则 　﹣3　 ． 【分析】应用空间向量数量积的坐标运算求数量积． 【解答】解：•2×1﹣1×3+2×（﹣1）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 13．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为 　　 ． 【分析】先证CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC，再建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1的法向量和平面CBC1的法向量，利用向量法求解即可． 【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°， 所以CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC， 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），C1（0，0，1）， 所以，， 设平面ABC1的法向量（x，y，z）， 则即 令y＝1，则（1，1，1）， 显然平面CBC1的一个法向量（1，0，0）， ， 故二面角A﹣BC1﹣C的余弦值是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题． 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，则线段MN的最小值为 　　 ． 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设条件找出点M和N的坐标，利用模长公式结合二次函数性质求得最小值． 【解答】解：据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0）， 因为CM＝BN＝a，所以，， 则， 故|MN|， 当时，|MN|最小，最小值为． 【点评】本题考查空间距离问题，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，A1C1上的点，且2BM＝A1M，C1N＝2A1N．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，求线段MN的长． 【分析】（1）由空间向量的线性运算计算即可； （2）由空间向量的模和数量积运算计算即可． 【解答】解：（1）因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2BM＝A1M，C1N＝2A1N， 所以 ； （2）由题意知∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，， 所以 ， 所以． 【点评】本题考查空间向量的线性运算和两点间的距离，属于中档题． 16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：BC1∥平面A1DC； （2）求直线BC1与平面A1DC的距离． 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面A1DC的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【解答】解：（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点， ∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接A1C，AC1交于点E，则E为A1C，AC1的中点， ∴在△C1AB中，D，E分别为边AB，AC1的中点， ∴DE∥BC1， 又∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC， ∴BC1∥平面A1DC． （2）取AC中点O，则BO⊥AC，以O为原点，CA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ∴， 设平面A1DC的法向量为， 则，令，得， ∵C1为BC1上的点，BC1∥平面A1DC， ∴C1到平面A1DC的距离即为直线BC1与平面A1DC的距离， ， ∴直线BC1与平面A1DC的距离为：． 【点评】本题考查线面平行的判定与性质、直线到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2． （1）证明：PB∥平面DEF； （2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； （3）求点P到平面DEF的距离． 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线PA的方向向量及平面DEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解． 【解答】（1）证明：由题意知E、F分别BC、CP中点， 可得PB∥EF， 因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF， 所以PB∥平面DEF； （2）解：由PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则可以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），，，， 所以，，， 设平面DEF的一个法向量为， 则，令z＝1，则得， 可得2×0+0×0+1×2＝2，||＝2，||， 所以cos，， 设直线PA与平面DEF所成角为θ， 则sinθ＝|cos，|， 故线PA与平面DEF所成角的正弦值为； （3）解：由（2）可得，平面DEF的一个法向量为， 1， 所以点P到平面DEF的距离为d＝||． 【点评】本题考查线面平行的判定定理的应用及线面所成的角的正弦值的求法，点到平面的距离公式的应用，属于中档题． 18．（本小题满分17分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点． （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）求二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值； （3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）推导出BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明C1B⊥平面ABC． （2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值； （3）设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，且λ，λ∈[0，1]，利用法向量求出EM与平面A1B1E所成角的正弦值，列方程求出λ的值即可． 【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1， ∴BC1， ∴BC2，∴BC1⊥BC， 又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1， 又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC； （2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2）， E（，，0），C（1，0，0）； 则（，，2），（，，0）， （0，0，2）； 设平面AEB1的法向量为（x，y，z），则， 即， 令x＝1，得y，z＝1，所以（1，，1）； 设平面A1EB1的法向量为（x'，y'，z'）， 则，即， 令x'＝1，求得（1，，0）； cos，， ∴二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值为； （3）假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为， 不妨设λ，λ∈[0，1]； 又（x﹣1，y，z），（﹣1，0，2）； 即，所以M（1﹣λ，0，2λ）； 所以（λ，，2λ），平面A1B1E的法向量为（1，，0）； 则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为： |cos，|， 化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ或λ； 所以在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为， 此时或． 【点评】本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角、面面角的计算问题，考查了运算求解能力，是中档题． 19．（本小题满分17分）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，△ABC中，AB＝2，BC，CA＝2，在AB上取一点D，将△ACD沿CD折叠到某个位置得到△SCD，使得三棱锥S﹣BCD为垂心四面体． （1）求证：SD⊥BC； （2）求SD与平面SBC的夹角的正弦值； （3）设动点P在棱SC上，动点Q在棱SB上，满足λ（λ＞0），记平面DPQ与平面DBC所成锐二面角为θ，求θ的最小值及此时λ的值． 【分析】（1）过D作平面SBC的投影H，连接SH，结合线面垂直的性质定理与垂心的性质可得DH⊥BC，SH⊥BC，从而得BC⊥平面SHD，再由线面垂直的性质定理即可得证； （2）运用勾股定理求得SD，BD＝2，进而证明DC，DB，DS两两互相垂直，再以D为原点建系，利用向量法求线面角即可； （3）利用向量法求面面角可将cosθ表示成关于λ的函数，再利用基本不等式求解即可． 【解答】（1）证明：过D作平面SBC的投影H，连接SH，则DH⊥平面SBC， 在△ABC中，， 故翻折后DS与SC不垂直， 所以S，H不重合， 由H是△SBC的垂心，得SH⊥BC， 由DH⊥平面SBC，BC⊂平面SBC，知DH⊥BC， 又SH∩DH＝H，SH、DH⊂平面SHD， 所以BC⊥平面SHD， 而SD⊂平面SHD， 所以SD⊥BC． （2）解：同（1）可得CD⊥SB， 在平面SBD内，过D作DE⊥SB交SB于E点， 又CD∩DE＝D，CD、DE⊂平面CDE， 所以SB⊥平面CDE， 而CE⊂平面CDE，所以SB⊥CE， 由勾股定理得，SC2﹣SE2＝CE2＝BC2﹣BE2， 所以SC2﹣BC2＝SE2﹣BE2①， 由SB⊥DE及勾股定理得，SD2﹣BD2＝SE2﹣BE2②， 联立①②得，SC2﹣BC2＝SD2﹣BD2， 因为SC＝2，， 所以22﹣（）2＝SD2﹣BD2＝﹣1， 又SD+BD＝2， 所以SD，BD＝2， 在△SCD中，由余弦定理得，CD2＝SC2+SD2﹣2SC•SDcos∠CSD＝4+3﹣21，即CD＝1， 所以SD2+CD2＝SC2，CD2+BD2＝BC2，即SD⊥CD，BD⊥CD， 又SD⊥BC，CD∩BC＝C，CD、BC⊂平面BCD， 所以SD⊥平面BCD， 而BD⊂平面BCD，所以SD⊥BD， 故DC，DB，DS两两互相垂直， 以D为原点，DC，DB，DS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），C（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，）， 所以，（0，﹣2，），（0，0，）， 设平面SBC的法向量为（x，y，z）则， 取（2，，2）， 设SD与平面SBC的夹角的大小为α， 则sinα＝|cos，|， 故SD与平面SBC的夹角的正弦值为． （3）解：在（2）的坐标系下，由，得， 由λ，得， 所以，， 设平面DPQ的法向量为（a，b，c），则， 取， 易知平面DBC的一个法向量为， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：当时，θ取得最小值． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，勾股定理与余弦定理，以及利用向量法求线面角和面面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题 学科网（北京）股份有限公司 $