第10章空间直线与平面单元复习（提高篇）- 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章空间直线与平面单元复习（提高篇） 考点01：平面的基本性质及推论 1.（25-26复旦大学附中高二上期中）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 【答案】B 【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上. 【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定. 故选B项. 【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题. 2. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）两个平面最多可以将空间分成__________部分. 【答案】4 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 3. （24-25上海市大同中学高一上期中）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 4. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 5. （2024·高一·上海奉贤·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 【解析】（1）证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. （2）由（1）得且E，F，，四点共面， 则与必相交. 设. ∵平面，∴P∈平面. ∵⊂平面，∴P∈平面.. 又平面∩平面 ∴. 则，，交于一点. 考点02：空间图形的平面直观图 6．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是：（    ） A．三角形的直观图一定是三角形 B．正方形的直观图一定是菱形 C．等腰梯形的直观图可能是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项. 【详解】根据斜二测画法知三角形的直观图一定是三角形，A正确； 正方形的直观图根据建系的不同，可以为平行四边形，故B错误; 根据斜二测画法,等腰梯形的两腰直观图中不可能平行，故C错误； 根据斜二测画法，菱形的一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误. 故选：A 7. （25-26顾村中学高二上期中） 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积. 【详解】如图所示，作出直观图， 则，，， 梯形的高为， ∴直观图的面积为. 故答案为：. 8．（25-26上海中学高一阶段考试）如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过A′作y′轴的平行线，交x′轴于点C′，则，又，所以，，所以. 由直观图还原得△AOB，如图，则，，，由勾股定理可得. 考点03：空间中直线与直线之间的位置关系 9．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）给出下列三个命题： ①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1. 【分析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对 只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度. 10. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知，，则与的位置关系为（ ） A. 平行或异面 B. 相交 C. 重合 D. 以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，即可判断与的位置关系. 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 11. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（  ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【解析】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C. 考点04：异面直线的判定 12．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 13.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中）如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】空间中直线的位置关系有平行、相交、异面，既不平行也不相交，则异面. 【详解】解：因为直线与不共面，故与直线异面的直线的条数为3条， 故答案为：3. 14. （25-26顾村中学高二上期中） 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【解析】 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 15. 在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成____________________对异面直线． 【答案】126 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 16. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）求证：与是异面直线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【小问1详解】 平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. 【小问2详解】 假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 考点05：直线与平面的位置关系 17. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 【答案】充要 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断． 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意 直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点， 则直线平面，故必要性成立， 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件． 故答案为：充要． 18. 已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内的所有直线均与直线异面； B. 平面内存在与直线垂直的直线； C. 平面内存在直线与直线平行； D. 平面内所有直线均与直线相交. 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：直线与平面相交，则平面内的直线与直线的关系有：相交或异面 因此内存在与直线垂直的直线，即B正确. 故选：B. 19. （25-26嘉定二中高二上期中）下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断 【详解】对于A，由题意得，，而，， 平面，平面，平面，平面， 故平面平面，而平面，故平面，故A正确， 对于B，取中点，底面中心，则，故与相交，故B错误， 对于C，，故平面，则平面，故C错误， 对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误， 故选：A 20. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 【答案】①②④ 【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解． 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵中，，平面, 对于①：因为平面，平面，， 又，，所以平面，且四边形为矩形， 所以四棱锥为“阳马”，故①正确； 对于②：由且，所以平面， 所以，故和为直角三角形. 由平面，得和为直角三角形， 所以四面体为“鳖臑”，故②正确； 对于③：在中，，，故， ，当且仅当时取等号. 所以四棱锥体积，最大为，所以③不正确； 对于④：由平面，所以，又，且 所以平面，所以，又， 所以平面，则，所以④正确． 故答案为：①②④ 21. 在四面体中，若，，两两互相垂直，则点P在平面上的投影是的___________心. 【答案】垂心 【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证得，即可得出结论. 【详解】解：在四面体中，若，，两两互相垂直， 则平面，平面，平面， 又平面，所以， 设点P在平面上的投影为点O， 则平面，又平面，所以， 又因，所以平面， 又平面，所以， 同理，， 所以点O是的垂心. 故答案为：垂心. 22. 三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是的__________心. 【答案】内心 【分析】作出三个二面角，利用三角形全等得出到的三边距离相等，即可得出结论． 【详解】 如图所示，连接，由分别向线段，，引垂线， 垂足分别为，，，连结，，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面平面，，，， 所以为平面与平面的二面角， 同理可证：为平面与平面的二面角， 为平面与平面的二面角， 根据已知条件有， 又因为，，， 为，，的公共边， 所以，所以， 所以为的内心. 故答案为：内心 23. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明：如图，连，，， 平面平面，平面 （2）证明：平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证得，，结合是的中点证得，由余弦定理求出，证明，最后由线线垂直证明平面； （2）先证明平面，由条件求出圆锥的母线长，进而求得三棱锥的体积和的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 因为平面，平面，则，， 又，则. 又为中点，则为中点，，又， 由余弦定理，， 由，可得, 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，，所以平面， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，设母线长为， 则, 又，则， 所以, 又, 在中，，故, 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得. 考点06：平面与平面的位置关系 25. 在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）． ①都垂直于平面r，那么 ②都平行于平面r，那么 ③都垂直于直线l，那么 ④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误； 由平面平行的传递性可知②正确； 由线面垂直的性质可知③正确； 过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于， 因为，，所以，所以 因为，，所以 同理， 又l、m是两条异面直线，所以相交，且， 所以，故④正确. 故选：D 26. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则 C．若，则 D．若，∥，则 【答案】B 【解析】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 27. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可. 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 28. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对 【答案】5 【解析】 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列出互相垂直的平面即可 【详解】因为是边长为的正方形，，， 所以， 所以，所以， 因为，所以平面， 因为平面,平面， 所以平面平面，平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可得平面，则平面平面， 平面，则平面平面， 所以互相垂直的面有5对， 故答案为：5 29. （25-26风华中学高二上期中）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是_____. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】把平面展开图还原为一个四棱锥，结合直线与平面、平面与平面平行的判定定理，逐项判定，即可求解. 【详解】先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示， 对于①中，因为分别为的中点，所以， 因为，所以，所以确定平面， 所以平面，又因为平面，所以平面， 同理可得平面， 又由，平面，所以平面平面， 所以①是正确的； 对于②中，连结交于点，则为的中点， 连结，因为为的中点，所以，平面，平面， 所以平面，所以②是正确的； 对于③中，由分别为的中点，可得， 又由，可得， 因为平面，平面，所以平面，所以③是正确的； 对于④中，由分别为的中点， 所以，又平面，平面，所以FH∥平面BDG， 所以④是正确的； 对于⑤中，若平面， 因为平面，且，平面， 可得平面平面，显然不正确，所以与平面不平行， 所以⑤不正确 故答案为：①②③④. 30. 在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. 31. 已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】（1） 由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2） 依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点面、面面的距离的定义求得平面到平面的距离. 【小问1详解】略 【小问2详解】略 考点07：求异面直线的夹角 32. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】根据异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，两个非零向量的夹角的概念即可判断. 【详解】异面直线所成的角的范围为，①错误； 直线与平面所成的角的范围为，②错误； 二面角的范围为，③正确； 两个非零向量的夹角为，④正确. 故答案为：③④ 33. （25-26上海理工大附中高二上期中）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 34.（25-26上海理工大附中高二上期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：， 计算，，得到答案. 【详解】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：， 中，，，，当时，根据等面积法， 故， 易知，故为异面直线与所成的角， ，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 35.（24-25复旦附中高二期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 36.（25-26格致中学高二上期中）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 【答案】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 37. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 38. 正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. 【答案】2 【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数. 【详解】设立方体的棱长为1，过作直线， 若直线与平面中的直线所成角的最小值为， 即与平面所成角为， 为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 连接，由题意得，直线与直线所成角为， 直线与直线所成角为. 此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：2 考点08：求直线与平面所成的角 39.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中）直线与平面所成角的范围是_________________. 【答案】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 40.（25-26嘉定二中高二上期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 41. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】 如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 41. （25-26上海实验学校高一上期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【小问1详解】 如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 42. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：底面，平面， ， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面； 【小问2详解】 由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,， ,1,，,0,，,1,， 设平面的一个法向量为,,， 则，取，则，， 平面的一个法向量为,1,， 设直线与平面所成的角为， 则,， 所以 故直线与平面所成的角的的大小为． 考点09：二面角的计算 43. 如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为____. 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 故答案为：. 44. 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 45. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直性质与线段之间的关系建立等式. 【详解】设点为点在平面上的射影，作垂直棱于C，连接， 由三垂线定理可知垂直棱， 可得是平面的平面角，是与平面所成的角，是与棱所成的角， 可得：，， 则 故选:A 46. （25-26上海理工大附中高二上期中）在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知得，由此即可求出答案． 【详解】连接， 在长方体中，面 与面所成的角为， 同理与面所成的角为， 与面所成的角为， ． 故答案为：1． 47. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角； （3）利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围. 【小问1详解】 平面，且，平面， ，， ，，且，平面， 平面， 平面， 平面平面， 是中点，且， ，， 平面平面，平面， 平面， 点到平面的距离； 【小问2详解】 由，可知，，两两垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又易知平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值为； 【小问3详解】 设，， 又是中点，则， 即，，，， 所以， 设平面法向量， 则，令，得， 则，， 所以直线与平面夹角满足， 当时，， 当，，且， 所以， 综上所述， 因为，所以. 48. （25-26格致中学高二上期中）如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：分析可知是二面角的平面角，以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；解法二：过作，交的延长线于，连接，再过作，交于，结合线面垂直的性质定理和判定定理可知即为直线与平面的所成角，求正弦值即可. 【小问1详解】 因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以，又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. 【小问2详解】 解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即， 又平面平面， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：过作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又是在平面上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点10：立体几何中的交线与截面问题 49.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【答案】A 【解析】 如图，取AB的中点G，连接GE，，． 因为E为BC的中点，所以，， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形， 其周长为． 故选：A． 50.在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 51. 正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，截面为四边形， 取中点，连接，则，且. 因为,且，所以四边形是平行四边形， 则，， 所以，且，又 所以截面为等腰梯形，且上底长为，下底长为，腰长为， 所以截面的面积为. 故选：C 52. 已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解析：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面. 在中，由，，得. 在中，由，，得. 因为为的中点，所以由平面几何知识可知，. 所以，，即为AG的中点，所以. 又由，可得， 又，，所以. 在中，由，，得，所以. 所以在中，有，，， 即，所以.又注意到， ， 则四边形AEDF的面积为. 故选：B． 53. （25-26上海理工大附中高二上期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为． （1）请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． （2）计算截面的周长． （3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】（1）作图见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【小问1详解】 画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面. 【小问2详解】 由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. 【小问3详解】 在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长. 54.（25-26上外附属外国语学校高二上期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.过三点的平面截正方体所得的截面： （1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； （2）当时，若截面为六边形，求的取值范围； （3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）周长为，面积为； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【小问1详解】 作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； 【小问2详解】 分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况① ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 【小问3详解】 （1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 考点11：立体几何中的轨迹问题 55．（2026高二·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【答案】/ 【分析】设S在底面的投影为O，取的中点，设，先证明平面，可得动点P在的三条边上（不包含点），进而求解即可. 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 56.在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定点所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合点与截面圆的位置关系求出的最大值. 【详解】如图，连接AC，由，得，    由可知点在以AC的中点为球心，为半径的球面上． 而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点. 取CD的中点E，AB的中点的中点，连接， 则由长方体的性质得平面且三角形为直角三角形， 而平面，所以平面平面EFG， 作于，因平面平面， 平面，故平面，故为截面圆的圆心. 又， 故截面圆的半径为， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上， 故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为． 故选：D． 57.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造与垂直的平面，利用面面平行，得到平面，进而确定交线，最后再应用余弦定理计算即可. 【详解】先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点，，连接，，.    因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以. 因为在中，，为的中点，所以.又，所以平面. 进一步.取，，的中点，，，连接，，，，易证平面平面. 故平面， 记，又是内的动点， 根据平面的基本性质得：点的轨迹为平面与平面的交线段， 在中，，，， 由余弦定理得:.故. 故选:B. 58.在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【答案】 【分析】由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的. 【详解】因为，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 又因为母线 则点M的轨迹所形成图形的面积为：， 59.如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】过作平面，为等边的中心，由等体积发可得，则与平面所成角为，所以，的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 【详解】过作平面，因为， 所以是边长为2的等边三角形，易知为的中心， 由，则， 则，与平面所成角为， 因为与平面所成角的正切值为，所以， 解得，所以的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 根据，可知四边形是菱形，且， 根据对称性可知：所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故的轨迹长为． 故选：C 60.在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解. 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 考点12：立体几何中的探索性问题 61. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，根据满足分析即可. 【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得， 又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面. 又平面，故平面.故①正确. 对②，当在时，∥平面不成立，故②错误； 对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，. 设，，则，其中，故， 则当时，即. 故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确； 当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误. 故答案为：①③ 62. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2） （3） 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 63. （25-26上海市南洋中学高一上期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， 【小问3详解】 假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 64. （25-26风华中学高二上期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求证：； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面得到，再证明平面，得到答案. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面的法向量为，再根据距离公式计算得到答案. （3）确定得到，再根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 点在底面上的投影为的中点，故平面， 平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故. 【小问2详解】 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 故点到侧面的距离为. 【小问3详解】 假设存在，设，，，， 故，， 故，方程无解， 故不存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章空间直线与平面单元复习（提高篇） 考点01：平面的基本性质及推论 1.（25-26复旦大学附中高二上期中）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 2. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）两个平面最多可以将空间分成__________部分. 3. （24-25上海市大同中学高一上期中）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 4. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 5. （2024·高一·上海奉贤·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 考点02：空间图形的平面直观图 6．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是：（    ） A．三角形的直观图一定是三角形 B．正方形的直观图一定是菱形 C．等腰梯形的直观图可能是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 7. （25-26顾村中学高二上期中） 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______. 8．（25-26上海中学高一阶段考试）如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 考点03：空间中直线与直线之间的位置关系 9．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）给出下列三个命题： ①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 10. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知，，则与的位置关系为（ ） A. 平行或异面 B. 相交 C. 重合 D. 以上都有可能 11. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（  ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 考点04：异面直线的判定 12．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 13.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中）如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为______． 14. （25-26顾村中学高二上期中） 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 15. 在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成____________________对异面直线． 16. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）求证：与是异面直线. 考点05：直线与平面的位置关系 17. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 18. 已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内的所有直线均与直线异面； B. 平面内存在与直线垂直的直线； C. 平面内存在直线与直线平行； D. 平面内所有直线均与直线相交. 19. （25-26嘉定二中高二上期中）下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 20. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 21. 在四面体中，若，，两两互相垂直，则点P在平面上的投影是的___________心. 22. 三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是的__________心. 23. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 24. 如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 考点06：平面与平面的位置关系 25. 在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）． ①都垂直于平面r，那么 ②都平行于平面r，那么 ③都垂直于直线l，那么 ④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么 A．0 B．1 C．2 D．3 26. 设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则 C．若，则 D．若，∥，则 27. （25-26上海理工大附中高二上期中）已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 28. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对 29. （25-26风华中学高二上期中）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是_____. 30. 在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 31. 已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 考点07：求异面直线的夹角 32. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 33. （25-26上海理工大附中高二上期中）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 34.（25-26上海理工大附中高二上期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______. 35.（24-25复旦附中高二期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 36.（25-26格致中学高二上期中）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 37. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 38. 正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. 考点08：求直线与平面所成的角 39.（25-26华东师大附中进华中学高二上期中）直线与平面所成角的范围是_________________. 40.（25-26嘉定二中高二上期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 41. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______． 41. （25-26上海实验学校高一上期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 42. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 考点09：二面角的计算 43. 如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为____. 44. 如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 45. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（ ） A. B. C. D. 46. （25-26上海理工大附中高二上期中）在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________． 47. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 48. （25-26格致中学高二上期中）如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 考点10：立体几何中的交线与截面问题 49.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 50.在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 51. 正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 52. 已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 53. （25-26上海理工大附中高二上期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为． （1）请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． （2）计算截面的周长． （3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 54.（25-26上外附属外国语学校高二上期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.过三点的平面截正方体所得的截面： （1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； （2）当时，若截面为六边形，求的取值范围； （3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点11：立体几何中的轨迹问题 55．（2026高二·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 56.在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 57.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（    ）    A． B． C． D． 58.在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 59.如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 60.在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 考点12：立体几何中的探索性问题 61. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论: ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是__________. 62. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 63. （25-26上海市南洋中学高一上期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 64. （25-26风华中学高二上期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求证：； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $