11.1 柱体（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学柱体核心知识点，系统梳理棱柱（两底面平行、侧棱平行）与圆柱（矩形旋转形成）的结构特征，推导体积公式V=Sh及表面积公式（直棱柱侧面积=底面周长×高，圆柱侧面积=2πrh），通过结构辨析、最短路径、截面等题型构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于分层设计典例与变式题，如棱柱定义辨析题培养抽象能力和空间观念（数学眼光），展开图最短路径问题发展几何直观和推理能力（数学思维），圆柱内接长方体等实际问题强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过综合练习查漏补缺，提升知识应用能力。

11.1 柱体 教学目标 1.理解棱柱与圆柱的结构特征能识别棱柱圆柱的几何要素 2.掌握柱体体积公式会求解棱柱圆柱的体积 3.掌握柱体表面积公式能区分侧面积与表面积完成相关计算 4.可以结合实际几何体完成柱体相关综合运算 教学重难点 重点：棱柱圆柱的结构特征柱体体积与表面积计算公式 难点：组合柱体的表面积体积计算棱柱侧面展开图与几何量的转化 知识点01 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面__平行___;其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都_相互平行____.像这样的几何体称为棱柱. 图示及相关概念 如图可记作：棱柱，也可记作棱柱 底面(底)：两个互相平行的面___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的_公共边 __； 顶点：侧面与底面的_公共顶点__； 对角线：既不在同一__同一底面___上也不在同一个_侧面__上的两个顶点的连线 高：过上底面上一点作下底面的_垂线__，这点和垂足O间的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……， 侧面平行四边形都是_矩形____的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱.底面是_正多边形____的_直棱柱__称为正棱柱. 底面是__平行四边形___的棱柱称为平行六面体 知识点02 圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以_矩形的一边所在直线_____为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱   图中的圆柱记作:__圆柱_______ 相关概念 轴:_旋转轴__叫做圆柱的轴； 底面:__垂直于轴的____边旋转而成的圆面； 侧面:__平行于轴______的边旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,__平行于轴______边都叫做圆柱侧面的母线; 柱体: __棱柱和圆柱____称为柱体 知识点03 柱体的体积 （1）棱柱的体积 设棱柱的底面积为，高为h，由祖暅原理得到一般棱柱的体积公式：___ h_____． （2）圆柱的体积 设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，由祖暅原理得到一般圆柱的体积公式：____ h____=________． 知识点04 柱体的表面积 （1）直棱柱的表面积 对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边．所以，直棱柱的侧面积等于__棱柱的高乘底面多边形的周长______．设直棱柱的高为h，底面多边形的周长为c．底面积为，就得到直棱柱的表面积公式：________． （2）圆柱的表面积 将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，得到一个__矩形______．设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，底面周长为c，就得到圆柱的表面积公式： ________． 题型01 棱柱的结构特征与分类 【典例1】（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【变式1】（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型02 正棱柱及其有关计算 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 【变式1】长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 【变式3】一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 题型03 棱柱的展开图及最短路径问题 【典例1】（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【变式1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为________.    【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 题型04 棱柱及其有关计算 【典例1】（25-26高三下·上海·期中）点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为______. 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为______. 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【变式3】在直三棱柱中，已知，，则点C到平面的距离为______． 题型05 圆柱的结构特征与辨析 【典例1】（2025高二上·上海·专题练习）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【变式1】如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【变式3】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 题型06 柱体体积的有关计算 【典例1】（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【变式2】如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 【变式3】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平行六面体的体积． 题型07 圆柱轴截面的有关计算 【典例1】将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积． 【变式1】圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【变式2】已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 题型08 棱柱表面积有关计算 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 题型09 圆柱表面积有关计算 【典例1】（25-26高二下·上海宝山·期末）底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 【变式1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 【变式2】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 题型10 正方体的截面问题 【典例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【变式1】正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 1．（25-26高一下·上海·期末）在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段检测）长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 3．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________． 4．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 5．（2026·上海杨浦·二模）如图，在直四棱柱中，，，，，. (1)设是的中点，求证：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知圆柱的高为9，底面周长为，则圆柱的体积为_____. 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为_________． 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为_________. 9．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求三棱柱的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． (1)已知，求圆柱的侧面积； (2)若圆柱体积为，求点到平面的距离． 11．（25-26高一下·上海·期末）已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 12．（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 13．（23-24高二上·上海·阶段检测）已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 14．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， .    (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 ，求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 15．（25-26高二上·上海普陀·期中）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1 柱体 教学目标 1.理解棱柱与圆柱的结构特征能识别棱柱圆柱的几何要素 2.掌握柱体体积公式会求解棱柱圆柱的体积 3.掌握柱体表面积公式能区分侧面积与表面积完成相关计算 4.可以结合实际几何体完成柱体相关综合运算 教学重难点 重点：棱柱圆柱的结构特征柱体体积与表面积计算公式 难点：组合柱体的表面积体积计算棱柱侧面展开图与几何量的转化 知识点01 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面__平行___;其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都_相互平行____.像这样的几何体称为棱柱. 图示及相关概念 如图可记作：棱柱，也可记作棱柱 底面(底)：两个互相平行的面___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的_公共边 __； 顶点：侧面与底面的_公共顶点__； 对角线：既不在同一__同一底面___上也不在同一个_侧面__上的两个顶点的连线 高：过上底面上一点作下底面的_垂线__，这点和垂足O间的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……， 侧面平行四边形都是_矩形____的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱.底面是_正多边形____的_直棱柱__称为正棱柱. 底面是__平行四边形___的棱柱称为平行六面体 知识点02 圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 定义 以_矩形的一边所在直线_____为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱   图中的圆柱记作:__圆柱_______ 相关概念 轴:_旋转轴__叫做圆柱的轴； 底面:__垂直于轴的____边旋转而成的圆面； 侧面:__平行于轴______的边旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,__平行于轴______边都叫做圆柱侧面的母线; 柱体: __棱柱和圆柱____称为柱体 知识点03 柱体的体积 （1）棱柱的体积 设棱柱的底面积为，高为h，由祖暅原理得到一般棱柱的体积公式：___ h_____． （2）圆柱的体积 设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，由祖暅原理得到一般圆柱的体积公式：____ h____=________． 知识点04 柱体的表面积 （1）直棱柱的表面积 对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边．所以，直棱柱的侧面积等于__棱柱的高乘底面多边形的周长______．设直棱柱的高为h，底面多边形的周长为c．底面积为，就得到直棱柱的表面积公式：________． （2）圆柱的表面积 将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，得到一个__矩形______．设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，底面周长为c，就得到圆柱的表面积公式： ________． 题型01 棱柱的结构特征与分类 【典例1】（25-26高二上·上海长宁·期末）关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【分析】根据棱柱的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确； 对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确； 对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误； 对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确. 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的定义及举反例判断即可. 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】（1）（2）（3）（4）均可举出反例. 【详解】（1）如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故（1）错误； （2）如图2，几何体满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，（2）错误； （3）如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，（3）错误； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，（4）错误． 故选：A 题型02 正棱柱及其有关计算 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 【答案】 【分析】由正方体的几何性质求解相应问题． 【详解】如图： 正方体的对角线长为：， 对角面面积为：， 故答案为： 【变式1】长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【详解】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 【变式2】已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 【答案】4 【分析】根据正六棱柱性质，有 6 条侧棱，上下底面各有 6 条棱，上下底面的棱长度相等，所有棱长之和列出方程求解侧棱长. 【详解】正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有 6 条边， 所以上下底面的棱共有 条，且每条棱的长度都为 2 ， 正六棱柱有 6 条侧棱，设侧棱长为 ，已知所有棱长之和为 48 ， 则 ，解得 . 综上，该正六棱柱的侧棱长为 4. 【变式3】一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】作出几何图形，利用正三棱柱的结构特征及勾股定理列式求出答案. 【详解】如图，正三棱柱中，， 点分别在棱上， 且是以为斜边的等腰直角三角形， 设，则， 作于，于，于， 则，， ， 在中，， 即，解得， 所以该三角形的面积为. 故选：A    题型03 棱柱的展开图及最短路径问题 【典例1】（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为________.    【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，作出平面图形，连接，则线段即为的最小值，再由勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示.    连接（平面图形中），则的长度即为的最小值， 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【答案】 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 题型04 棱柱及其有关计算 【典例1】（25-26高三下·上海·期中）点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为______. 【答案】 【分析】根据正方体的性质，结合勾股定理求解判断即可. 【详解】若点在上时，设，， 则，解得. 同理结合正方体的对称性，若点在，，，，上时，存在点满足条件. 若点在上时，设，， 则， 整理得，， ，无实数解. 同理结合正方体的对称性，若点在，，，，上时，不存在满足条件的点. 综上满足的点的个数为6. 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为______. 【答案】2 【分析】根据长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果. 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知斜三棱柱底面为正三角形，边长为，若顶点在底面的射影恰为底面中心，且，求三棱柱的高． 【答案】 【分析】根据等边三角形重心的性质和勾股定理即可求解. 【详解】如图，设O为底面中心，连接并延长，交于点， 因为顶点在底面的射影恰为底面中心， 所以平面， 所以， 因为为正三角形， 所以为的重心， 所以为边上的中线， 因为, 所以， 所以, 在中，， 即三棱柱的高为. 【变式3】在直三棱柱中，已知，，则点C到平面的距离为______． 【答案】 【详解】取中点，连接，已知，则是等腰三角形， ， ， ， 设到的距离为h， 由直三棱柱的性质可知平面平面， 即为点C到平面的距离， ，解得． 题型05 圆柱的结构特征与辨析 【典例1】（2025高二上·上海·专题练习）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 【变式1】如图所示，其中为圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱体定义即可得. 【详解】B、D项不是旋转体，排除；A项不符合圆柱体的定义，排除； 只有C项符合，所以选C. 【变式2】如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 【变式3】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 题型06 柱体体积的有关计算 【典例1】（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解. 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【答案】 【分析】直接根据棱柱的体积公式求解即可． 【详解】边长为2的正六边形面积为，根据棱柱体积公式可得． 故答案为：． 【变式2】如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，． (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用菱形中角构造等边三角形，取中点，证明平面 ，找到二面角的平面角 ，再通过勾股定理和余弦定理计算其余弦值； （2）以第一问中的平面角为基础，过点作底面的垂线，确定三棱柱的高，再用体积公式即可求得体积． 【详解】（1）取的中点，连接． 四边形为菱形，， 与是等边三角形，． ． ， 是二面角的平面角． 又，平面，平面平面． 平面． ． ． 所以二面角的余弦值为． （2）过作于点，则，， 平面，平面，． 且平面 面． 所以． 所以三棱柱的体积为． 【变式3】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平行六面体的体积． 【答案】(1)证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. (2)证明：因为底面是正方形，为的中点，所以. 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以. 又，平面，，所以平面. (3) 【分析】（1）根据平行六面体的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据全等三角形的判定及性质，线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据平行六面体的体积公式，结合面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在中，，，，所以为等边三角形， 所以，同理可得. 在等腰中，， 所以. 在中，，，则，所以. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，所以平面，则即为平行六面体的高. 又，所以. 故平行六面体的体积为. 题型07 圆柱轴截面的有关计算 【典例1】将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积． 【答案】 【分析】分情况求出以4cm为母线和以8cm为母线长时对应的底面圆半径，即可求出轴截面面积. 【详解】当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为， 则，．． 当以8cm为母线长时，设圆柱底面半径为， 则，．． 综上，圆柱的轴截面面积为． 【变式1】圆柱有一个内接长方体，长方体体对角线长是，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是，求圆柱的体积． 【答案】 【分析】设圆柱底面半径为，高为，根据题设建立方程组，求解出，再利用柱体的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，如图所示， 因为圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，且圆柱侧面展开图的面积为， 则，解得， 所以，故圆柱的体积为． 【变式2】已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分析两种不同状态下圆柱的体积和轴截面面积，即可选择和判断. 【详解】不妨设纸的长宽分别为； 当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 综上所述，，. 故选：B. 【变式3】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 【答案】 【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 题型08 棱柱表面积有关计算 【典例1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断三棱柱是正三棱柱，再根据底面正三角形和侧面正方形的面积和，求解棱柱表面积即可； （2）作出辅助线，结合题干和勾股定理可得线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)12； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【详解】（1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 所以异面直线AB与所成角的大小为. 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明： 如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3)证明：连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 题型09 圆柱表面积有关计算 【典例1】（25-26高二下·上海宝山·期末）底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 【答案】 【详解】根据圆柱侧面积公式为， 代入，得： . 【变式1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点. (1)求圆柱的侧面积与表面积； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)侧面积为，表面积为； (2). 【分析】（1）由题可得圆柱底面半径及高，据此可得答案； （2）由题可得为二面角的平面角，据此可得答案. 【详解】（1）设圆柱底面圆半径为，高为. 因，，则，为外接圆直径， 即圆柱底面圆直径为，从而底面圆半径为. 又由题可得圆柱高为，则圆柱侧面积为：， 表面积为：； （2）由题可得，平面，又平面，则. 又，平面，，则平面. 因平面，则.又因， 则为二面角的平面角， 因为平面，平面，则， 从而， 即. 【变式2】（2025高二上·上海松江·专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】圆柱的底面半径为，母线长为，所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆柱的底面半径和高即可求解； （2）把异面直线和所成的角转化为和的夹角即可得解. 【详解】（1）设圆柱上底面的圆心为，在中，是的中点， 则 ，， . （2）分别是的中点， ， 异面直线和所成的角等于和的夹角， 在中，， ， 所以异面直线和所成的角的余弦值为. 题型10 正方体的截面问题 【典例1】（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    【变式1】正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，M、N、P分别为的中点，棱长为．    (1)请在图中作出过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）． (2)计算截面的周长． (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长． 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长， 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    【变式3】（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 1．（25-26高一下·上海·期末）在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 【答案】4 【分析】根据四棱柱侧面的形状判断即可．四棱柱的四个侧面都是平行四边形，而两个底面不一定是平行四边形． 【详解】设四棱柱为 ． 因棱柱的侧棱 互相平行且相等，且对应底边互相平行， 所以四个侧面 ，，， 都是平行四边形． 当底面 不是平行四边形时，上、下两个底面均不是平行四边形，故是平行四边形的面至少有 个． 2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段检测）长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 4．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】结合平面性质，根据已知条件画出过点的截面，求周长即可. 【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM， 取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q， 连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面， 由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即， 由，知点M为靠近点C的三等分点，即， 由勾股定理得，，同理得， 则截面图形的周长为. 故答案为：. 5．（2026·上海杨浦·二模）如图，在直四棱柱中，，，，，. (1)设是的中点，求证：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】(1)连接，直四棱柱中， ，， 是的中点，，则，所以为平行四边形， 则有，又平面 ， 平面 ， 所以平面 ； (2) 【分析】（1）通过证明，得证平面 ； （2）过作，则即为所求，利用直角三角形的性质计算出即可. 【详解】（1）略 （2）梯形的面积， ，则， 过作，交 于，连接 ， 直四棱柱中， 平面，则为 在平面内的射影， 由，有，所以即为所求， 中，，有，又，则， ，所以锐角. 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知圆柱的高为9，底面周长为，则圆柱的体积为_____. 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设底面圆的半径为， 则，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为_________． 【答案】 【分析】分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解. 【详解】如下图所示， 由图可知，旋转体是底面半径为，高为的圆柱， 故该旋转体的体积为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为_________. 【答案】 【分析】根据不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积，解得， 故答案为： 9．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求三棱柱的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，可知，求出的长，可求出的面积，然后利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积； （2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为，，则， 且， 所以，， 在直三棱柱中，， 故. （2）如图所示： 取的中点，连接，则， 又平面，平面，则， 而，且平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 在中， ， 所以，得. 即直线与平面所成的角的大小为. 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． (1)已知，求圆柱的侧面积； (2)若圆柱体积为，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，与母线所成的角等于，求出的长，结合圆柱的侧面积公式可求得； （2）取的中点，连接，分析可得，利用圆柱的体积可求得的值，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示： 由题意可知，与母线所成的角等于， 因为底面，平面，则， 所以，，则， 所以，该圆柱的侧面积为. （2）由（1）可知，， 所以，该圆柱的体积为，解得， 取的中点，连接， 由正六边形的几何性质可得，，， 所以，，故， ，，则， 所以，， ， 易知，因为为的中点，则， 且，， 设点到平面的距离为，则，解得. 11．（25-26高一下·上海·期末）已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 【答案】 【分析】找到平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置，得到的长度，从而得到所求的的取值范围. 【详解】找平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置. 当平面与平面交于直线时，如图①所示，截面为四边形； 当平面与平面交于直线时，如图②所示，截面为五边形，对比图①，此时点更靠近点. 在图①中，因为平面平面 平面平面，平面平面， 所以. 在正方体中，， 所以. 又因为 所以，. 所以当时，截面为四边形；当时，截面为五边形. 故所求的线段的取值范围为. 【点睛】本题考查截面图形问题，面面平行的性质，要求学生对空间几何体要有充分的想象能力. 12．（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将将底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【详解】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 【点睛】关键点睛：立体几何折线段最值问题都会展开几何体为一个平面处理，待求表达式中含有，联想到含的直角三角形的边长关系，是解题突破口. 13．（23-24高二上·上海·阶段检测）已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 【答案】A 【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【详解】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为， 则截面积, 故甲是真命题; 对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台, 则所以容器所装水的多面体的体积, 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大， （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于. ②当在线段上时，如图，设，的中点为， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为， 此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故命题乙是真命题. 故选：A. 【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解. 14．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， .    (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 ，求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 【答案】(1) 因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. (2) 1 (3) 3种； 【分析】（1）根据异面直线判定定理（过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）进行证明； （2）过点B作于点H，证明平面从而确定二面角的平面角为，利用列方程求k； （3）根据题意，共有三种拼接方法：底面与底面拼接、以平面进行拼接、以平面进行拼接，分别求出三种拼接方法得到的新四棱柱的表面积，比较大小，求出的表达式. 【详解】（1）略 （2）过点B作于点H，连接，    在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则， 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. （3）两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为， 所以不可能为最小值， 令，解得， . 15．（25-26高二上·上海普陀·期中）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图（1）有一段弯曲的水管，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域如图（2），则根据祖暅原理可得该段水管的体积为_____.    【答案】 【分析】构造与题中水管等体积的圆柱，求得圆柱的体积，即可求得水管的体积. 【详解】平行于直线的任一直线与曲线的两个交点间的距离都为，构造一个底面直径为，高为8的圆柱，如图（3）    如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱. 所得截面圆、圆的面积都为. 根据祖暅原理，水管和圆柱的体积相等. 因为圆柱的体积为，所以水管的体积为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $