第10章空间直线与平面单元复习（基础篇）-2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦空间直线与平面核心知识，从平面基本性质及推论切入，衔接空间图形直观图，再到线线、线面、面面位置关系，进而学习异面直线、线面、二面角的计算，最后通过交线截面、轨迹及探索性问题实现综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料精选上海名校期中试题，题型涵盖选择、填空、解答，层次分明。借助正方体等模型培养几何直观与空间观念，如证明四点共面发展推理能力，探索性问题激发创新意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章空间直线与平面单元复习（基础篇） 考点01：平面的基本性质及推论 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 2. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 3. 直线上存在两点在平面上，则______（填一符号）． 4. 下列条件不能确定一个平面的是（ ） A. 不共线三点 B. 直线和直线上一点 C. 两条平行直线 D. 两条相交直线 5. 一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：_______. 6. （23-24上海市浦东新区高一上期中）空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 7.（2024·高一上海徐汇·期中）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 9.（2024·高二·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 考点02：空间图形的平面直观图 10. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 11. 如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 12. （25-26风华中学高二上期中）一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________. 13. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________． 14．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 考点03：空间中直线与直线之间的位置关系 15. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知空间四边形两条对角线相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是___________. 16. （25-26风华中学高二上期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 17. （25-26顾村中学高二上期中） 已知，则_________． 18. （25-26嘉定二中高二上期中）若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 19. （24-25上海市进才中学高二上期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 考点04：异面直线的判定 20. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条． 21. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 22. （25-26顾村中学高二上期中） 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 考点05：直线与平面的位置关系 23. 在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 24. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）下列命题正确的是（ ） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行； ④平行于同一个平面的两个平面平行 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 25.（25-26顾村中学高二上期中） “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是_________命题（填“真”或“假”）. 26. （25-26复旦大学附中高二上期中）“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 27. （25-26顾村中学高二上期中） 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要的条件 C. 必要不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 28. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有________个. 29，如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．  B．  C．  D．   30．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有__________ (1)．(2)． (3)． (4)．   31．（2024·山东·一模）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 32. 如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 33. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，已知正方体. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成的角的大小. 34. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知：空间四边形，，，求证： 考点06：平面与平面的位置关系 35. （25-26格致中学高二上期中）已知平面与平面、平面都相交，则这三个平面可能交线有___条. 36. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 37.（25-26上海理工大附中高二上期中） 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 38. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 39. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 40. 在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 考点07：求异面直线的夹角 41. 如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 42. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 43. （25-26上海市南洋中学高一上期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． （1）试用表示圆柱的侧面积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 44. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 考点08：求直线与平面所成的角 45. 如图，正方体，则直线与平面所成角的大小为___________.(结果用反三角函数表示) 46. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（ ） A. B. C. D. 47. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． （1）设平面与直线相交于点，求证； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 48. （25-26七宝中学浦江分校高二期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 考点09：二面角的计算 49. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 50. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______ 51. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 考点10：立体几何中的交线与截面问题 52. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 53.在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 54. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 55. （24-25上海市进才中学高二上期中）正方体中，为的中点，为的中点． （1）记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； （2）求证：四边形是等腰梯形． 考点11：立体几何中的轨迹问题 56.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 57. 已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________. 58.如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 59.三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 考点12：立体几何中的探索性问题 60.如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 61.如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 62.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 63.如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章空间直线与平面单元复习（基础篇） 考点01：平面的基本性质及推论 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 【答案】 【分析】根据集合的语言书写即可. 【详解】“点在平面上”用集合符号表示为： . 故答案为：. 2. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 3. 直线上存在两点在平面上，则______（填一符号）． 【答案】 【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 4. 下列条件不能确定一个平面的是（ ） A. 不共线三点 B. 直线和直线上一点 C. 两条平行直线 D. 两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 5. 一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：_______. 【答案】不在同一直线上的三点确定一个平面. 【分析】根据共面的几何公理解题. 【详解】一部共享单车能依靠其脚撑停稳在平整的停车区内，其涉及的几何公理是：不在同一直线上的三点确定一个平面. 故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面. 6. （23-24上海市浦东新区高一上期中）空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4 【分析】由三点确定一个平面可知共有种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定个平面 故答案为 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题. 7.（2024·高一上海徐汇·期中）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【解析】连接连接，， 直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 9.（2024·高二·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【解析】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 考点02：空间图形的平面直观图 10. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据直观图面积与原面积关系即可得到答案. 【详解】由图易知为等腰直角三角形，则， 根据面积比关系得原图形的面积等于. 故答案为： 11. 如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 【答案】4 【分析】作出的实物图，即可计算出的面积． 【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且， 因此，的面积为． 故答案为：4． 12. （25-26风华中学高二上期中）一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________. 【答案】 【分析】将直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，可得到平行四边形，即可求出面积. 【详解】还原直观图为原图形如图， ，， 还原回原图形后，, . 故答案为：. 【点睛】本题考查斜二测画法前后图形的关系，属于基础题 13. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由直观图概念，可将矩形还原为平面图形，据此可得答案. 【详解】由直观图概念，可得平面图形满足：，，据此可得平面图形如下. 由题，，则， 则的周长为. 故答案为： 14．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 考点03：空间中直线与直线之间的位置关系 15. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知空间四边形两条对角线相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是___________. 【答案】菱形 【分析】根据中位线的性质求得正确答案. 【详解】如图所示，四边形的对角线， 分别是的中点， 根据三角形中位线的知识可知， 所以，所以四边形是菱形. 故答案为：菱形 16. （25-26风华中学高二上期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 17. （25-26顾村中学高二上期中） 已知，则_________． 【答案】或 【分析】结合两直线平行相关的等角定理即可求解． 【详解】若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示， 因为，所以或． 故答案为：或． 18. （25-26嘉定二中高二上期中）若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 【答案】平行或异面 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 19. （24-25上海市进才中学高二上期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 考点04：异面直线的判定 20. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条． 【答案】6 【分析】根据异面直线的判定依次写出与直线成异面直线的直线即可得解. 【详解】正方体的所有棱中， 其所在的直线与直线成异面直线有： 共6条. 故答案为：6 21. （25-26上海市进才中学高二上期中）如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条. 【答案】3 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，，，，与相交， 没有直线与平行， 所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 22. （25-26顾村中学高二上期中） 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 考点05：直线与平面的位置关系 23. 在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【分析】直接由平行直线及异面直线的定义判断充分性及必要性即可. 【详解】“两条直线平行”能推出“这两条直线没有公共点”，满足充分性；“两条直线没有公共点”不能推出“两条直线平行”， 两条直线可能异面，不满足必要性，故“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件. 故选：A. 24. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）下列命题正确的是（ ） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行； ④平行于同一个平面的两个平面平行 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间平行关系分别判断每个命题即可. 【详解】①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确； ②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误； ③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误； ④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确. 故选：C. 25.（25-26顾村中学高二上期中） “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是_________命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可得到结果. 【详解】因为直线平面，直线在平面上，则可得直线直线或直线与直线异面. 故答案为：假 26. （25-26复旦大学附中高二上期中）“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 【答案】充分不必要 【分析】根据线面垂直的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与平面垂直，由线面垂直的定义知直线垂直于平面内所有直线， 故直线垂直于平面内无数条直线故充分性成立； 但是当直线垂直于平面内无数条直线时，若这些直线平行，则直线与平面不一定垂直，故必要性不成立. 所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 27. （25-26顾村中学高二上期中） 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要的条件 C. 必要不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若，，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出， 若，是平面内两条不同的直线，则，， 所以“，”是“”的必要不充分的条件. 故选：C 28. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质得到线线垂直，再由，即可得到平面，即可判断. 【详解】因为平面，平面， 所以，，，即、为直角三角形， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以、也为直角三角形， 即以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形有个. 故答案为： 29，如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】对于A，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于B，如图连接， 因为，分别为，的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 对于D，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交， 故选：D． 30．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有__________ (1)．(2)． (3)． (4)．   【答案】(1)(2) 【解析】对于(1)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，(1)正确； 对于(2)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，(2)正确； 对于(3)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于，连接， 则，而, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，故此时平面不成立，(3)错误； 对于(4)，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 故此时平面不成立，(4)错误； 31．（2024·山东·一模）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【解析】（1）连接，在中， ∵点E和F分别是和的中点，， 又平面且平面， 平面； （2）为中点，， 平面，平面， 平面，， 又平面且， 平面. 32. 如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】(1)见解析；（2）见解析 【详解】（1） 取AB的中点M,连FM,MC， ∵ F、M分别是BE、BA的中点， ∴ FM∥EA, FM＝EA， ∵ EA、CD都垂直于平面ABC， ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC ∴ 四边形FMCD是平行四边形，∴ FD∥MC， ∴ FD∥平面ABC． （2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A， ∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF， ∵F是BE的中点, EA＝AB， ∴AF⊥EB， ∴AF⊥平面EDB． 33. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，已知正方体. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）利用线面平行判定定理，线线平行证明线面平行； （2）利用线面垂直判定定理，找到平面内两条相交直线，线线垂直证明线面垂直； （3）一找二证三求，求解线面角.结合线面垂直，找到斜线在平面内的射影，利用线面角定义找到所求角，在直角三角形中解角即可. 【小问1详解】 由题意，在正方体中， ，平面，平面， 平面. 【小问2详解】 平面， ，在正方形中，， 又，且平面，平面 平面. 【小问3详解】 设正方体棱长为，，连接（如图）. 由（2）得，平面，则即为在平面的射影， 所以，即所求直线与平面所成的角. 在中，，， 则，即， 故所求直线与平面所成的角的大小为. 34. （23-24上海市浦东新区高一上期中）已知：空间四边形，，，求证： 【答案】 证明：取中点，连结， ∵， ∴， ∴平面， 又∵平面， ∴ 【解析】 【详解】略 考点06：平面与平面的位置关系 35. （25-26格致中学高二上期中）已知平面与平面、平面都相交，则这三个平面可能交线有________条. 【答案】1条、2条或3条 【分析】分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条、2条或3条． 【详解】①若平面β∥平面γ，平面α与平面β，γ都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行； ②若平面β∩平面γ＝a，平面α是经过直线a平面，则三个平面只有一条交线，即直线a； ③若平面β∩平面γ＝a，平面α与平面β，γ都相交，但交线与直线a不重合，则它们有3条交线， 例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱 综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条、2条或3条， 故答案为：1条、2条或3条． 【点睛】本题给出平面α与平面β，γ都相交，求它们交线的条数，着重考查了平面的基本性质和空间平面与平面位置关系等知识，属于基础题． 36. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）已知a、b、c是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【分析】C选项可用线线平行的条件进行判断；A，B选项可用面面位置关系判断，D选项由线面垂直的性质判断面面平行． 【详解】A选项不正确，因为平行于同一平面的直线和平面是平行或线在面内，故不正确； B选项不正确，垂直于同一平面的两个平面可能相交或平行，故不正确； C选项不正确，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行，相交或者异面，故不正确； D选项正确，因为垂直于同一直线的两个平面的位置关系是平行的，故正确； 综上，D选项正确 故选：D． 37.（25-26上海理工大附中高二上期中） 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【详解】若，则与平行，相交或者异面，故A错误； 若，则或者，故B错误； 若，则或者，故C错误； 若，则，故D正确； 故选：D. 38. （25-26顾村中学高二上期中） 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证； （2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． 【小问2详解】 ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 39. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直性质得，根据已知可证，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H，由面面垂直的性质有面PAM，即BH的长为B到面PAM的距离，等面积法求长度即可. 【小问1详解】 因为底面，平面，所以. 底面为矩形，且，，则， 所以Rt△Rt△，易知. 又，面，所以平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 设AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H， 由①知，面面PBD，面面，且面， 因此面PAM，线段BH的长为点B到平面PAM的距离. 由，解得. 因此点B到平面PAM的距离为. 40. 在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. 考点07：求异面直线的夹角 41. 如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】## 【分析】构造异面直线所成的角，再利用解三角形求解. 【详解】如图： 连接，. 因为为正方体，所以， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 在中，因为，所以. 故答案为： 42. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解两直线所成夹角即可. 【详解】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设边长为2，则有， 则， 故直线AE与SD所成角的余弦值为. 直线AE与SD所成角为 故答案为：. 43. （25-26上海市南洋中学高一上期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． （1）试用表示圆柱的侧面积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式直接求得结果； （2）通过平移直线法先确定所成的角为或其补角，然后利用余弦定理求解出角的大小，则结果可知. 【小问1详解】 设圆柱的高为，因为， 所以. 【小问2详解】 连接，由正六边形的性质可知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即为或其补角， 因为为正三角形，所以， 在中，， 所以，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. 44. （25-26华东师大附中进华中学高二上期中）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 【答案】（1）；（2）arctan. 【分析】（1）由V＝PE•S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可； （2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解. 【详解】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4， ∴PE＝2， 又PE⊥平面ABCD， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD＝×2×42＝. （2）∵PE⊥平面ABCD， ∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴PE＝FE＝4， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角， ∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC， 又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝， 故PC与AD所成角的大小为arctan. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查异面直线所成的角，考查计算能力和空间想象能力，解题的关键是由PF与平面ABCD所成角为45°，可得△PEF为等腰直角三角形，从而可求出的长，进而在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝可求得结果，属于中档题 考点08：求直线与平面所成的角 45. 如图，正方体，则直线与平面所成角的大小为___________.(结果用反三角函数表示) 【答案】 【分析】可知即为直线与平面所成角，可求出，即可求出角. 【详解】 如图，连接， 可知在正方体中，平面， 即为直线与平面所成角， 是正方体棱长为1，则， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查线面角的求法，属于基础题. 46. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】过作于，根据已知易得底面，且为等边三角形，再由线面角的定义找到直线与平面所成角的平面角，进而分析其最大对应的正弦值即可. 【详解】过作于，根据正三棱柱的结构特征知底面，且为等边三角形. 所以直线与平面所成角是，而， 显然，要使最大，只需最大，即最小， 在中，故，此时最大， 所以，此时. 故选：B 47. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． （1）设平面与直线相交于点，求证； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）先根据线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明，由此可完成证明； （2）先证明平面，然后可知直线与平面所成角即为，利用线段长度结合正切值计算出结果； 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 由，，可知. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为； 因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. 48. （25-26七宝中学浦江分校高二期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用三角形中位线定理找线线平行，再结合线面平行的判定定理证明即可． （2）先确定线面角的平面角，再通过解直角三角形，利用三角函数定义求解即可． 【小问1详解】 如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为正方形，则点为的中点， 由已知点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由已知平面，四边形为正方形，且， 又由（1）可知，所以平面，点为垂足， 所以为直角三角形，即为直线与平面所成角的平面角． 因为，，， 所以， 所以，则． 综上，直线与平面所成角的大小为． 考点09：二面角的计算 49. （25-26上海市南洋中学高一上期中）如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【分析】取中点，则，所以为二面角的平面角，根据几何关系即可得答案． 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 50. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______ 【答案】 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接， 因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 51. （25-26复旦大学附中复兴中学高二上期中）如图，在正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出后结合数量积为可判断它们垂直； （2）求出平面、平面的法向量后可求它们夹角的余弦值，故可求二面角的大小. 【小问1详解】 不妨设正方体边长为，以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 从而，. 由于，故，所以异面直线和所成角的大小为 【小问2详解】 由（1），，，，. 设平面的一个法向量，则. 令，则，，故． 同理：平面的一个法向量，故. 由于朝向二面角的外部，朝向二面角的内部，故二面角的余弦值为，从而其大小为． 考点10：立体几何中的交线与截面问题 52. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 53.在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 54. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【解析】由题知连接，，，如图所示 因为分别是的中点，所以， 在正方体中，所以， 所以在同一平面内， 所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为， 所以，，， 则到的距离为等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确. 故选：B. 55. （24-25上海市进才中学高二上期中）正方体中，为的中点，为的中点． （1）记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； （2）求证：四边形是等腰梯形． 【答案】（1）作图见解析，理由见解析， （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【小问1详解】 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. 【小问2详解】 连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 考点11：立体几何中的轨迹问题 56.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】取的中点，连接、、，根据题意判断平面平面，得出是点在底面内的轨迹，计算的值即可． 【详解】取的中点，连接、、，如图所示： 由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面， 又且，于是为平行四边形，则， 平面，平面，则平面，又，平面， 因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面， 又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面， 于是是点在底面内的轨迹， 又正方体的棱长为，则， 所以点的轨迹长度为. 故选：B 57. 已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________. 【答案】/ 【分析】由正三棱锥的性质可知，只需再作，即可证得平面，从而求得点的轨迹，再通过解三角形即可得到的长度. 【详解】 如图，取的中心为，连接，作于，连接，延长交于点， 注意到底面三角形是等边三角形，所以， 由正三棱锥的性质可得为高， 因为底面边长为6，体积为， 所以，所以， 注意到底面三角形是等边三角形，所以为三角形外接圆的半径， 所以由正弦定理有，所以， 所以. 因为面，面， 所以， 又因为，面，面， 所以面， 因为面， 所以， 因为，且，面，面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为动点在棱锥侧面上运动，并且总保持， 所以点的轨迹为线段. 在等腰三角形中，由余弦定理有， 从而，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得出点的轨迹为线段，由此即可顺利得解. 58.如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 59.三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【详解】    如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，   ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为， 故选：B. 考点12：立体几何中的探索性问题 60.如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】补全面面垂直的条件、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 61.如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、求线面角、补全线面垂直的条件 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 62.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【难度】0.6 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 63.如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $