第10章 空间直线与平面（单元分层自测·基础通关卷）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 本单元卷聚焦高二空间直线与平面，通过12道填空（54分）、4道选择（18分）、5道解答（78分），覆盖线面关系、空间角、面面垂直等核心知识，适配单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|线面位置关系（第1题）、命题真假（第2题）、斜二测画法（第7题）|基础巩固，注重概念辨析| |选择题|4/18|直观图面积（第13题）、正方体中异面直线（第14题）|能力提升，结合几何直观| |解答题|5/78|四点共面证明（17题）、动态正方体问题（21题）|分层设计，综合考查空间想象与逻辑推理|

2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、平面 2、假 3、 4、①③ 5、/ 6、 7、 8、 9、/ 10、3 11、等边三角形或直角三角形 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B A B A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 2分 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 4分 又因为，所以 ，故四点共面． 6分 (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 10分 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)因为平面，平面， 所以．     3分 由题知， 又，平面，平面， 所以平面． 6分 (2)连接，，则与交于点F． 8分 因为E，F分别是，的中点， 所以．    10分 又平面，平面， 所以平面．     12分 又平面，平面平面， 所以． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示 因为E、F分别为PD、PA中点， 所以，且，      2分 又因为，且， 所以且，       所以四边形为平行四边形， 所以， 4分 因为平面PCD，平面PCD，     所以平面 6分 (2)因为，为中点， 所以，                           因为，所以，                            8分 因为，平面PCD，    所以平面.               10分 所以平面平面. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】(1)取的中点，连接，， 因为，，， 所以，且 所以四边形为平行四边形， 又，， 所以平行四边形为正方形，所以， 2分 因为为中点，所以且， 故四边形为平行四边形，得， 所以， 因为平面，平面，所以. 又，、平面，所以平面， 由平面，所以平面平面； 4分 （2）存在，为中点，此时，证明如下： 连接，连接， 由（1）知四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 6分 因为，分别为，中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 8分 因为，，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； 10分 （3）因为平面，平面， 所以. 又，，所以. 12分 因为，，平面， 所以平面，从而. 故为二面角的平面角，即， 14分 在中，. 由（1）知，平面平面，交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 所以为点在平面内的射影，为直线在平面内的射影. 根据线面角的定义，为与平面所成的角. 16分 在中，，，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）在上取点，使得， 因为三点不共线，所以唯一确定平面， 又因为直线过点，点在上，所以对任意满足条件的点，直线平面， 2分 因为点是直线与平面的交点，所以平面且平面， 因此平面平面，即所有点都落在线段上， 所以动点的轨迹为线段，且，则. 4分 (2)如图所示，连接， 因为平面，平面，则， 6分 又因为，，平面，，则平面， 且平面，可得， 8分 又因为，，平面，， 所以平面. 10分 （3）连接、， 设，则. 因为平面，平面，则. 又因为平面，平面，则. 且、平面，且，所以平面. 因此是在平面内的射影，为直线与平面所成的角. 13分 因为，且平面，所以 由平面，平面，得. 15分 在直角三角形中，，，， 所以 因为， 则， 由题意得 即，整理可得 因为，所以，即； 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．P是平行四边形所在平面外一点，Q是中点，则直线和平面的关系为______． 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 4．设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 5．已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 6．中，，平面，，，则二面角的大小为________． 7．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 第7题 第8题 第9题 8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 9．如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为______． 10．如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 第10题 第12题 11．已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 12．如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 第13题 第15题 14．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 15．下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（    ） A． B．平面平面BEM C．EF和CD为异面直线 D．平面DEM 16．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面．(2)证明：直线，，经过同一点． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，平面，，点E，F分别是线段，的中点． (1)求证：平面；(2)若平面平面，求证：． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，，为的中点. (1)求证：平面PCD；(2)求证:平面平面PCD. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求与平面所成角的正弦值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G． (1)当时，说明动点G的轨迹，并求其长度； (2)若，求证：平面； (3)在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．P是平行四边形所在平面外一点，Q是中点，则直线和平面的关系为______． 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 4．设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 5．已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 6．中，，平面，，，则二面角的大小为________． 7．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 第7题 第8题 第9题 8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 9．如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为______． 10．如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 第10题 第12题 11．已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 12．如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 第13题 第15题 14．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 15．下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（    ） A． B．平面平面BEM C．EF和CD为异面直线 D．平面DEM 16．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面．(2)证明：直线，，经过同一点． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，平面，，点E，F分别是线段，的中点． (1)求证：平面；(2)若平面平面，求证：． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，，为的中点. (1)求证：平面PCD；(2)求证:平面平面PCD. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求与平面所成角的正弦值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G． (1)当时，说明动点G的轨迹，并求其长度； (2)若，求证：平面； (3)在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第10章 空间直线与平面·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．P是平行四边形所在平面外一点，Q是中点，则直线和平面的关系为______． 【答案】平面 【详解】如图，连接，交于点，连接. 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 由为中点，所以， 平面，平面, 所以平面. 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 3．（8.5.1直线与直线平行【第三课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）在三棱锥中，分别是的中点，则________. 【答案】 【详解】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为： 4．设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 5．已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 【答案】/ 【详解】如下图，等腰直角三角形，，且直角边在平面内，    若是在平面内的投影，则，，故， 所以另一条直角边与平面所成角为， 由题设，，则，而， 所以，则. 故答案为： 6．中，，平面，，，则二面角的大小为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 易知平面，所以， 所以二面角的一个平面角为， 在直角三角形中，，则. 故答案为： 7．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【详解】过点作⊥于点，则， 又，所以， 因为，所以， 画出原图形，可知四边形为直角梯形，，， ， 因此原四边形的面积为. 8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 【答案】 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 9．如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【详解】设点到平面的距离为与平面所成角为，取． 设，如图9， 则． 由墙角公式得． 故， 故． 故答案为： 10．如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 【答案】3 【详解】由平面，平面，则平面平面， 由平面，则，而底面为正方形，则， 由且都在平面中，故平面， 由平面，则平面平面， 由平面，则， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 若平面平面，且平面平面， 所以平面平面，与平面平面矛盾， 综上，与平面垂直的平面有3个． 11．已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 12．如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则____________． 【答案】 【详解】取中点，连接，已知侧面是一个等边三角形， 故，， 底面是一个等腰直角三角形，，则，， 过点作平面，垂足为，连接， 因为平面，则， 又，则平面， 因为平面，则， 已知二面角为，则在两侧，故， 则，， 由，得， 作，则， 则沿方向的距离， 垂直于方向的距离， 故， 故． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（     ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为斜二测画法中，横不变，纵减半，所以三角形为直角三角形, 且为直角,,,故其面积为. 14．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 15．下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（    ） A． B．平面平面BEM C．EF和CD为异面直线 D．平面DEM 【答案】B 【详解】将平面展开图还原为正方体，如图， 对于A：与显然是异面直线，A错误； 对于B：因为，，且，且平面， 平面，所以平面平面，B正确； 对于C：显然，C错误； 对于D：因为，与夹角为，所以与夹角为， 所以平面不成立，D错误. 16．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示： 取的中点，连接，因为平面，平面， 所以， 因为，为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为 所以， 因为，所以， 因为二面角为锐二面角，所以， 故二面角的大小为． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【详解】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 2分 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 4分 又因为，所以 ，故四点共面． 6分 (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 10分 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，平面，，点E，F分别是线段，的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：． 【详解】(1)因为平面，平面， 所以．     3分 由题知， 又，平面，平面， 所以平面． 6分 (2)连接，，则与交于点F． 8分 因为E，F分别是，的中点， 所以．    10分 又平面，平面， 所以平面．     12分 又平面，平面平面， 所以． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，，为的中点. (1)求证：平面PCD； (2)求证:平面平面PCD. 【详解】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示 因为E、F分别为PD、PA中点， 所以，且，      2分 又因为，且， 所以且，       所以四边形为平行四边形， 所以， 4分 因为平面PCD，平面PCD，     所以平面 6分 (2)因为，为中点， 所以，                           因为，所以，                            8分 因为，平面PCD，    所以平面.               10分 所以平面平面. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为. (1)证明：平面平面； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求与平面所成角的正弦值. 【详解】(1)取的中点，连接，， 因为，，， 所以，且 所以四边形为平行四边形， 又，， 所以平行四边形为正方形，所以， 2分 因为为中点，所以且， 故四边形为平行四边形，得， 所以， 因为平面，平面，所以. 又，、平面，所以平面， 由平面，所以平面平面； 4分 （2）存在，为中点，此时，证明如下： 连接，连接， 由（1）知四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 6分 因为，分别为，中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 8分 因为，，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； 10分 （3）因为平面，平面， 所以. 又，，所以. 12分 因为，，平面， 所以平面，从而. 故为二面角的平面角，即， 14分 在中，. 由（1）知，平面平面，交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 所以为点在平面内的射影，为直线在平面内的射影. 根据线面角的定义，为与平面所成的角. 16分 在中，，，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知正方体的棱长为2，E是棱AB上的一个动点（不是端点），作线段，过上一点F，作直线DF交正方体的上底面（含边界）于点G． (1)当时，说明动点G的轨迹，并求其长度； (2)若，求证：平面； (3)在（2）的条件下，且直线与平面所成角的正切值为，求AE的长度． 【详解】（1）在上取点，使得， 因为三点不共线，所以唯一确定平面， 又因为直线过点，点在上，所以对任意满足条件的点，直线平面， 2分 因为点是直线与平面的交点，所以平面且平面， 因此平面平面，即所有点都落在线段上， 所以动点的轨迹为线段，且，则. 4分 (2)如图所示，连接， 因为平面，平面，则， 6分 又因为，，平面，，则平面， 且平面，可得， 8分 又因为，，平面，， 所以平面. 10分 （3）连接、， 设，则. 因为平面，平面，则. 又因为平面，平面，则. 且、平面，且，所以平面. 因此是在平面内的射影，为直线与平面所成的角. 13分 因为，且平面，所以 由平面，平面，得. 15分 在直角三角形中，，，， 所以 因为， 则， 由题意得 即，整理可得 因为，所以，即； 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $