重难点02：立体几何中线面平行证明12大题型讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦立体几何中线面平行证明核心知识点，系统梳理线面、面面平行的判定与性质定理，通过三角形中位线、平行四边形构造等常用证明方法搭建学习支架，逐步深入线线、线面、面面平行证明及探索性问题。 资料以题型分类为特色，如中位线证线面平行、翻折类平行问题等，方法点拨结合实例培养学生空间观念与推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 立体几何中线面平行证明 知识点一、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 　 知识点二、面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 注：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点三、常用证明方法 1.证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理．辅助线的作法为：三角形中位线法、平行四边形法、线段成比例法。 ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 2.证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 3.证明线线平行的常用方法： （1）利用直线和平面平行的判定定理； （2）利用平行公理； （3）利用直线与平面平行的性质定理。 （4）用平面与平面平行的性质定理。 （5）利用直线与平面垂直的性质定理： （6）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 考点一、线面平行证明 题型一、利用三角形的中位线证明线面平行 【方法点拨】根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 1．（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 2．（25-26大同中学高二上期中）如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点，求证：平面. 3. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      4．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的大小． 5．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 题型二、构造平行四边形证明线面平行 【方法点拨】根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 6. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点.求证：EF∥平面PAB. 7. 如图所示，长方体中，M、N分别为、的中点，判断MN与平面的位置关系，并证明你的结论． 8. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，， 为的中点.求证：平面.    9. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2． （1）求证：：平面； 10. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 题型三、利用对应线段成比例证明线面平行 11. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积. 12. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 13. 如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 14. 如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，上的点且，求证：平面． 15. 已知正方体中，P、Q分别为对角线BD、上的点，且.作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； 题型四、利用线面平行的性质证明线面平行 【方法点拨】根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 16. 在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 17.如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 18.如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 题型五、通过面面平行证线面平行 【方法点拨】要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 19.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 20.如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 21. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 22.如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    23.如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面 24. 如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.    25.在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点. 求证：. 26.如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 考点二、线线平行证明 题型六、利用线面平行的性质证线线平行 27.在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．求证：； 28.如图，四棱锥中，底面为矩形，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．求证：. 29.如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 30.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 题型七、利用线面垂直的性质证线线平行 31. 如图所示，在正方体中，是上一点，是的中点，平面.求证：. 32.如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交． 求证：. 33.如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 题型八、利用面面平行证明线线平行 34.如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 35.如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 考点三、面面平行证明 题型九、面面平行的证明 【方法点拨】判定时“相交直线”的条件必不可少。如果只是一个平面内的两条平行线都平行于另一个平面，不能推出面面平行（它们可能都平行于交线）。 性质定理中，“第三个平面” 与两个平行平面相交得到的交线平行，是证明空间中线线平行的常用工具。 36.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 37.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 38.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 39．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面；(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 考点四、平行关系探究 题型十、立体几何中的线面平行探索性问题 【方法点拨】将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 40.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 41. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 42.如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型十一、立体几何中的面面平行探索性问题 43.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 44. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点. （1）求证：BC∥AD； （2）线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB？若不存在请说明理由；若存在给出证明. 题型十二、立体几何中翻折类平行问题 【方法点拨】翻折问题中，同一平面内的平行关系保持不变，先在原平面图形中利用中点、比例、平行四边形确定线线平行，翻折后空间位置改变但平行关系保留，再通过构造中位线、平行四边形或证明面面平行，完成翻折后的线面平行或面面平行证明。 45.在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 46.如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 47.如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2. (1)证明：图2中的平面； (2)在图2中，若，求该几何体的体积. 48.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②. (1)求证：AM∥平面BEC； (2)求点D到平面BEC的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 立体几何中线面平行证明 知识点一、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 　 知识点二、面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 注：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点三、常用证明方法 1.证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理．辅助线的作法为：三角形中位线法、平行四边形法、线段成比例法。 ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 2.证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 3.证明线线平行的常用方法： （1）利用直线和平面平行的判定定理； （2）利用平行公理； （3）利用直线与平面平行的性质定理。 （4）用平面与平面平行的性质定理。 （5）利用直线与平面垂直的性质定理： （6）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 考点一、线面平行证明 题型一、利用三角形的中位线证明线面平行 【方法点拨】根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行 1．（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； 【详解】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； 2．（25-26大同中学高二上期中）如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析；（ 【分析】连接，通过证明出，再根据线面平行的判定定理即可证出； 【详解】连接，易知既是的中点，也是的中点. 在三角形中，分别是的中点， . 又平面平面， 平面. 3. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      【答案】证明见解析 【分析】可先由中位线证明两线平行，再证明线面平行. 【详解】令交于,连接,    四边形为矩形， 为中点， 又为的中点， ， 又平面，平面. 平面 4．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为平面，是的中点，，， 所以，为直角三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 5．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； （2）因为平面，平面，所以，，又， 故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，则，， 因为平面，平面，所以， 所以，解得， 所以 ，则， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型二、构造平行四边形证明线面平行 【方法点拨】根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 6. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点.求证：EF∥平面PAB. 证明：法一　如图，取PB的中点H，连接FH，HA， 因为F为PC的中点，所以FH∥BC，且FH＝BC. 又四边形ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD且BC＝AD，从而FH∥AD，且FH＝AD. 又E为AD的中点，所以FH∥EA且FH＝EA，所以四边形AEFH为平行四边形，所以EF∥AH. 又EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 法二　如图，连接CE并延长交BA的延长线于点H，连接PH. 因为E为平行四边形ABCD的边AD的中点， 所以△CDE≌△HAE， 所以CE＝EH，又F为PC的中点， 所以EF∥PH. 又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 7. 如图所示，长方体中，M、N分别为、的中点，判断MN与平面的位置关系，并证明你的结论． 【答案】平行关系，证明过程详见解析 【分析】作的中点为，可证四边形为平行四边形，从而得到平面． 【详解】平面． 证明如下： 如图，取的中点，连接． 由正方体可得， ∵，，所以 ∴四边形为平行四边形．∴． 又∵平面，平面，故平面． 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 8. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，， 为的中点.求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行. 【详解】证明：连接.因为为的中点，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 9. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2． （1）求证：：平面； 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 根据题意可得，且，， 由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形， 所以， 因为面，面， 所以面． 10. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明面，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点为中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）分别取的中点，连接， 因为，四边形为等腰梯形，为底边， 所以， 因为平面底面，平面底面，平面， 所以面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 由，，， 得， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 因为轴平面， 故可取平面的法向量为， 所以， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 题型三、利用对应线段成比例证明线面平行 11. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，利用三角形相似证明对应线段成比例，得出，即可证明； （2）利用分割补形法通过即可计算. 【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OE. 因ABCD是直角梯形，且，，，， 所以和相似，且有， 又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有， 所以有. ∥，又平面， 所以∥平面. （2）直线PA与BC所成的角为，，即， 又AD=4，PD⊥平面ABCD，所以PD=AD=4. 计算得， . 多面体体积. 【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断定理和多面体体积计算，解题的关键是通过三角形的相似成比例得出平行关系. 12. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 13. 如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 14. 如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，上的点且，求证：平面． 证明：过E作EM//AD交PD于点M ,连结MF = = = PB//MF， 又AD//BC，EM//BC BC面PBC，且EM面PBC， EM//面PBC，同理MF//面PBC， FM面EFM，EM面EFM，EM MF于点M, 面EMF//面PBC, EF//面PBC 15. 已知正方体中，P、Q分别为对角线BD、上的点，且.作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； 【答案】作图见解析，证明见解析 【分析】连接CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的交线为，利用相似比和线面平行的判定，即可证得平面. 【详解】连接CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的交线为， 证明：因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以，又因为，所以，所以. 又平面，平面，故平面. 题型四、利用线面平行的性质证明线面平行 【方法点拨】根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 16. 在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，则，由线面平行的判定可得平面,再由线面平行的性质得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：如图所示，连接，． 因为多面体是长方体， 所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面过与平面交于，所以． 因为平面，平面， 所以平面． 17.如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 18.如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】作出辅助线，由中位线得到，得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行，从而平面． 【详解】如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 题型五、通过面面平行证线面平行 【方法点拨】要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 19.如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 19.如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【详解】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 20.如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 21. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 【答案】证明见解析. 【分析】取中点，连，，根据给定条件，结合线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答. 【详解】取中点，连，，如图， 因是的中点，则，又平面，平面，因此平面， 在梯形中，，是线段的中点，则，又平面，平面， 因此平面，而平面，，则平面平面，又平面， 所以平面． 22.如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】取BE的中点M，连接GM，HM，EF，可证明平面平面，从而可证直线平面. 【详解】如图，取BE的中点M，连接GM，HM，EF，      因为为的中点， 所以是的中位线，所以， 同理，是的中位线，是的中位线， 所以，，所以， 由，平面,平面，得平面， 同理，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 23.如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据线线平行可证明线面平行，根据线面平行进一步证明面面平行，根据平面与平面平行的性质可证明线面平行. 【详解】因为四边形为菱形，则， 平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，所以，平面平面， 因为平面，平面. 24. 如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】取CD的中点K可得，，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得答案. 【详解】如图，取CD的中点K，连接MK，NK， ∵M，K分别是AE，CD的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 又∵是的中点，K分别是CD的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面MNK，平面MNK， ，∴平面平面， 又平面MNK，∴平面.    25.在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点. 求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理以及性质定理得出结果. 【详解】因为为线段的中点，所以． 又因为，所以． 在梯形中，， 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 26.如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【解析】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线在平面内， ∴平面平面，∵平面， ∴平面． （2）∵平面，， ∴平面， 过C在平面内，作，垂足为，则， ∵，又直线FG，BF在平面内， ∴平面， ∴的长是点C到平面的距离， ∵中，， ∴由等面积可得， ∴点C到平面的距离为． 考点二、线线平行证明 题型六、利用线面平行的性质证线线平行 27.在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】连接，即可得到，从而得到平面，根据线面平行的性质即可得证； 【详解】证明：连接， ∵，分别为，的中点，即是三角形的中位线， ∴ 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴ 28.如图，四棱锥中，底面为矩形，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立. 【详解】证明：因为四边形为矩形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，所以，. 29.如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 30.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 题型七、利用线面垂直的性质证线线平行 31. 如图所示，在正方体中，是上一点，是的中点，平面.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据正方体的性质，易证平面，又因为平面，利用线面垂直的性质定理，得到. 【详解】因为四边形为正方形，所以. 又平面，平面， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理，还考查了空间想象的能力，属于基础题. 32.如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交． 求证：. 【答案】证明见详解. 【分析】连接，，，，根据线面垂直的判定定理，证明平面，推出；同理得到，推出平面；再证明平面；即可得出结论成立. 【详解】连接，，，， 因为在正方体中，平面，平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面，因此； 同理可证：， 又，平面，平面， 所以平面； 因为与异面直线、都垂直相交， 即，， 又在正方体中，与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，因此， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面； 因此. 【点睛】本题主要考查证明线线平行，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 33.如图所示，在长方体中，平面，平面，且平面.求证：. 【答案】见解析. 【分析】根据线面垂直的性质可得. 【详解】由长方体可得：, ，平面， 因为平面，故. 【点睛】本题考查线面垂直的性质即垂直于同一平面的两条直线是平行的，属于容易题. 题型八、利用面面平行证明线线平行 34.如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 35.如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 考点三、面面平行证明 题型九、面面平行的证明 【方法点拨】判定时“相交直线”的条件必不可少。如果只是一个平面内的两条平行线都平行于另一个平面，不能推出面面平行（它们可能都平行于交线）。 性质定理中，“第三个平面” 与两个平行平面相交得到的交线平行，是证明空间中线线平行的常用工具。 36.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】要证明两平面平行，所以需要证明一平面内两条相交直线与另一平面平行，即证明平面和平面. 【详解】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 37.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【分析】根据面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 38.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 39．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）证明出和，从而证明出面面平行； （2）证明出线面垂直，从而得到面面垂直，作出辅助线，再由面面垂直得到线面垂直，得到点到平面的距离为的长，求出答案. 【解析】（1）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故，， 又，，所以，， 故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥， 又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 过点作⊥于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 故点到平面的距离为的长， 因为，是的中点， 所以， 由勾股定理得， 故， 点到平面的距离为. 考点四、平行关系探究 题型十、立体几何中的线面平行探索性问题 【方法点拨】将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 40.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 41. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 42.如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【详解】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 题型十一、立体几何中的面面平行探索性问题 43.如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 44. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点. （1）求证：BC∥AD； （2）线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB？若不存在请说明理由；若存在给出证明. 解：证明：因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD. 解：存在，且当点N是AD的中点时，平面CEN∥平面PAB.下面给出证明： 因为E，N分别是PD，AD的中点，所以EN∥PA， 又EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EN∥平面PAB. 由（1）知，BC∥AN，又N是AD的中点，BC＝AD，所以BC＝AN，所以四边形ABCN是平行四边形，从而CN∥BA， 又CN⊄平面PAB，BA⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB. 又因为CN∩EN＝N， 所以平面CEN∥平面PAB. 题型十二、立体几何中翻折类平行问题 【方法点拨】翻折问题中，同一平面内的平行关系保持不变，先在原平面图形中利用中点、比例、平行四边形确定线线平行，翻折后空间位置改变但平行关系保留，再通过构造中位线、平行四边形或证明面面平行，完成翻折后的线面平行或面面平行证明。 45.在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 46.如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【详解】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 47.如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2. (1)证明：图2中的平面； (2)在图2中，若，求该几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面. （2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面， 因为平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：若， 因为，，则，故， 所以两两垂直， 连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥， 则， 因为平面平面，故， 所以该几何体的体积为. 48.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②. (1)求证：AM∥平面BEC； (2)求点D到平面BEC的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可. 【详解】证明：取EC的中点为N，连接MN，BN. 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM. 又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC. (2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE⊂平面BDE，所以BC⊥BE. 故S△BCE＝BE·BC＝××＝. S△BCD＝BD·BC＝××＝1. 又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h， 则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $