第09讲 线面、面面位置关系的综合证明（核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二上学期数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本高中数学讲义聚焦线面、面面位置关系的综合证明，系统梳理空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本位置关系，依托平面基本公理构建逻辑基础，深入解析平行与垂直的判定定理及性质定理，形成“位置关系-公理-判定性质-传递转化”的完整知识支架。 资料以5个易错辨析强化定理条件严谨性，如强调线面平行需“线在面外”，培养学生逻辑推理的数学思维。8类典例结合高考真题，引导学生用数学眼光观察几何体结构，规范证明步骤训练数学语言表达。课中助力教师分层授课，课后作业针对性强，有效帮助学生查漏补缺。

第09讲 线面、面面位置关系的综合证明 （核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【题型一】证明线面平行 【题型五】证明面面平行 【题型二】线面平行的性质 【题型六】面面平行的性质 【题型三】证明线面垂直 【题型七】证明面面垂直 【题型四】线面垂直证明线线垂直 【题型八】面面垂直证线面垂直 【知识点01】直线、平面的基本位置关系 1. 空间直线与直线位置关系 ① 共面直线：相交（有且仅有一个公共点）、平行（无公共点、共面）； ② 异面直线：不同在任何一个平面内，无公共点、不平行、不相交。 2. 直线与平面位置关系 ① 直线在平面内：有无数个公共点； ② 直线与平面相交：有且仅有一个公共点； ③ 直线与平面平行：无任何公共点。 3. 平面与平面位置关系 ① 平行：无任何公共点； ② 相交：有一条公共直线（无数个公共点）。 【知识点02】平面基本公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号： 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线均可确定唯一平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号： 【知识点03】平行关系判定与性质 1. 线面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号：𝑎⊄𝛼,𝑏⊂𝛼,𝑎∥𝑏⇒𝑎∥𝛼 性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和该平面相交，则这条直线和交线平行。 符号：𝑎∥𝛼,𝑎⊂𝛽,𝛼∩𝛽=𝑏⇒𝑎∥𝑏 2. 面面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行。 符号：𝑎⊂𝛼,𝑏⊂𝛼,𝑎∩𝑏=𝑃,𝑎∥𝛽,𝑏∥𝛽⇒𝛼∥𝛽 性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得两条交线平行。 符号：𝛼∥𝛽,𝛼∩𝛾=𝑎,𝛽∩𝛾=𝑏⇒𝑎∥𝑏 【知识点04】垂直关系判定与性质 1. 线面垂直 定义：直线与平面内任意一条直线垂直，则直线垂直于平面。 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 符号：𝑚⊂𝛼,𝑛⊂𝛼,𝑚∩𝑛=𝑃,𝑙⊥𝑚,𝑙⊥𝑛⇒𝑙⊥𝛼 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 符号：𝑎⊥𝛼,𝑏⊥𝛼⇒𝑎∥𝑏 2. 面面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号：𝑙⊥𝛼,𝑙⊂𝛽⇒𝛼⊥𝛽 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 符号：𝛼⊥𝛽,𝛼∩𝛽=𝑙,𝑎⊂𝛽,𝑎⊥𝑙⇒𝑎⊥𝛼 【知识点05】空间平行、垂直传递核心结论 1. 平行传递：线线平行⇒线面平行⇒面面平行； 2. 垂直转化：线面垂直可推线线垂直、面面垂直，是立体几何证明的核心桥梁； 3. 平行不推垂直、垂直不直接推平行，必须严格套用定理条件。 易错点1：线面平行判定条件缺失 典型误区：只要直线平行于平面内一条直线，就直接判定线面平行，忽略直线在平面外的条件。 正解：必须同时满足三个条件：线在面外、面内有直线、两线平行，缺一不可。若直线在平面内，不满足线面平行定义。 易错点2：面面平行判定误用平行直线 典型误区：一个平面内两条平行直线分别平行于另一平面，判定面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法撑开平面，不能判定面面平行。 易错点3：线面垂直判定用无数条平行直线 典型误区：直线垂直于平面内无数条直线，判定线面垂直。 正解：无数条平行直线等价于一条直线，必须垂直于平面内两条相交直线才可判定。 易错点4：面面垂直性质定理乱用 典型误区：两平面垂直，直接认为一个平面内任意直线都垂直于另一平面。 正解：仅平面内垂直于交线的直线才垂直于另一平面，普通直线不具备垂直关系。 易错点5：证明逻辑跳步、条件不写全 典型误区：立体几何证明省略相交、在面内、在面外等关键条件，直接得出结论。 正解：高考阅卷按点给分，所有定理条件必须逐条罗列，逻辑闭环才可得分。 【题型一】证明线面平行 【典例1-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式1-1】（25-26高三上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.    (1)求证: 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，找出面内的直线平行于即可证明平面； （2）根据等积法，即可算出． 【详解】（1）连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因正方体的棱长为2，点为的中点，平面， 则点到平面的距离等于到平面的距离的一半，距离为1， 因， 即三棱锥的体积为．    【变式1-2】（25-26高三上·上海金山·阶段检测）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明： 因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）略； （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 【变式1-3】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）在四棱锥中；平面，四边形是矩形，，，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求多面体的体积. 【答案】(1) 取的中点，连接，， 则，且， 因为四边形是矩形，是的中点，所以，且， 由此可得，且，所以四边形是平行四边形， 因为四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）通过构造平行四边形证明线面平行； （2）采用分割法将多面体体积转化为两个部分体积之和进行计算. 【详解】（1）略 （2）已知，则， 因为平面，所以是四棱锥的高，， 四边形是矩形，其面积， 所以； 因为是的中点，所以，是的中点，， 则，， 的面积，是三棱锥的高， 所以，, 多面体的体积. 【题型二】线面平行的性质 【典例2-1】如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点． 【答案】证明:由已知可得，平面. 又平面，平面平面， 所以. 又因为点是的中点，所以是中点． 【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可得出证明. 【变式2-1】如图，在四棱台中，平面ABCD, ，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行. 【详解】 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面 平面，所以， 由，，可知. (2) 【分析】（1）先根据线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明，由此可完成证明； （2）先证明平面，然后可知直线与平面所成角即为，利用线段长度结合正切值计算出结果； 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为； 因为，所以， 因为，所以， 在中，，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. 【变式2-3】如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形． (1)求证：平面． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1) 四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面. 平面，平面平面， ，又平面，平面， 平面. (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证明. （2）由线面平行的性质定理结合可得平行四边形为矩形，利用相似可得，，则四边形的面积为. 【详解】（1）略 （2）四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面 又平面，平面平面， ，又，， ， 平行四边形为矩形， 由（1）知， 与相似， 又，即， ，又， ，解得， ，， 同理， 与相似， ，又，可得， 四边形的面积为. 【题型三】证明线面垂直 【典例3-1】（25-26高二上·上海·单元测试）点P是菱形ABCD所在平面外一点，，，．    (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线段关系可证，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知为四棱锥的高，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）∵ABCD是菱形，且，， ∴． 在中，，，， 所以，则，同理得. 又，，面， ∴平面ABCD. （2）由（1）知为四棱锥的高， 所以. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在直四棱柱中， ，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 取的中点，连接， 因该几何体为直四棱柱，平面ABCD， 因平面，则， ，，， ，，，则四边形ABED为正方形，， ， ， ，，，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出； （2）求证平面，将问题转化为求的大小即可. 【详解】（1）略 （2）因平面ABCD，平面，则， 因，，平面，则平面， 则为直线与平面所成的角， 在矩形中，，则， 则直线与平面所成的角为. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）略 （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 【变式3-3】（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证； （2）过作，垂足为，求证平面，即可得出点到平面的距离，再求出点到直线的距离，即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为， 所以，则， 所以点到直线的距离为， 所以二面角的平面角的正弦值为， 由于二面角的平面角为钝角，则其正切值为， 故二面角的大小为. 【题型四】线面垂直证明线线垂直 【典例4-1】如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； (2)2 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）略 （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 【变式4-1】如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线性质可知，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据线面垂直性质和正方形特征可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 【变式4-2】（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明： 平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； 【变式4-3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) 由四棱锥为正棱锥，且O为底面的中心，可得底面， 因为底面，所以， 又因为四边形为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）连接，证得和，得到是二面角的平面角，再证得平面，得到，在等腰直角中，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：连接，因为平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角， 由，可得，为的中点，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，为的中点，可得， 在等腰直角中，可得，所以二面角的大小为. 【题型五】证明面面平行 【典例5-1】如图，在平面与平面上分别有不共线的三点、、与、、，假设、与交于一点，且，，．求证：平面平面．    【答案】 因为，，且， 所以，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可证，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【分析】依题意可得，则，从而得到，即可证明平面，同理可证平面，从而得证. 【详解】略 【变式5-1】如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.求证：平面 平面. 【答案】 连接交于点，连接.由三棱柱的性质可知四边形均为平行四边形，为的中点. 为的中点，为的中位线，. 又平面平面 平面. 在平行四边形中，分别为棱的中点，则四边形为平行四边形，. 又平面平面 平面. ，平面， 平面 平面. 【分析】先证明线面平行，然后利用面面平行的判定来证明. 【详解】略 【变式5-2】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】 由于垂直下底面圆， 故， 平面，平面， 所以平面， 又，所以， 平面，平面， 所以平面 平面， 所以平面平面 【变式5-3】如图，在长方体中，E，F，G分别为，，DC的中点，．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点H，分别连接FH，， 因为F、H分别是的中点，所以且， 在长方体中，E是的中点，则且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 故，又平面，所以平面； (2)因为F、H分别是的中点，所以且， 由，得且， 又G是的中点，则，所以且， 所以四边形CGFH为平行四边形，故， 又平面，所以平面， 由(1)知平面， 结合平面，平面， ， 所以平面 平面. 【分析】(1)如图，根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形是平行四边形，，进而得出，利用线面平行的判定定理即可证明； (2)根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形CGFH是平行四边形，，进而得出，结合(1)与面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】面面平行的性质 【典例6-1】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 【答案】 证明：∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE． ∵平面ADE，，平面BCF， ∴平面平面． 又平面平面，平面平面， ∴． 【分析】根据题意，先证明平面平面，进而利用面面平行的性质定理即可得到答案. 【详解】略 【变式6-1】如图，空间六面体中，，，平面 平面为正方形，平面平面.求证： ； 【答案】 平面平面， 平面. 四边形为正方形， ， 平面，平面， 可得 平面. 平面平面， 平面 平面. 平面平面平面平面， . 【分析】根据条件可得平面 平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】略 【变式6-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知平面平面，点是平面、外的一点（不在与之间），直线、分别与、交于点和．    (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1) 因为直线直线， 所以点共面， 可得平面，平面，又因为， 所以； (2) 【分析】（1）利用面面平行的性质可证结论； （2）由平行线分线段成比例定理可求. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 故 【变式6-3】已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1) 在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. (2) 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）略 （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 【题型七】证明面面垂直 【典例7-1】如图，四棱锥的底面是梯形，平面.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面. 【详解】因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正四棱柱中， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合线面平行的判定定理即可求证； （2）先证明平面，后利用面面垂直的判定定理即可求证. 【详解】（1）因为为正四棱柱， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为底面为正方形，所以， 又为正四棱柱，所以底面， 又底面，所以，同时是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面 【变式7-2】（25-26高三上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． (2)证明：在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【分析】（1）连接，，交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论． 【变式7-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，分别为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案； （2）点到平面的距离即边上的高, 利用等面积法可求答案， 【详解】（1）在和中，，故， 又，故 和相似， 故，故，即， 因为平面，平面，所以， 又，且面，平面， 又平面，所以平面平面， （2） 在中，过作, 因为平面，平面，所以， 又,且平面，平面， 即点到平面的距离， 在中，，又,故 所以，点到平面的距离为 【题型八】面面垂直证线面垂直 【典例8-1】如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：直线平面PAD； (2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）在平面PAD内作，垂足为点E．证明平面ABCD．设，则，．由棱锥体积求得后可得各面面积．即可得侧面积． 【详解】（1）证明：因为，且，所以且． 又，平面，所以直线平面PAD． （2）解：在平面PAD内作，垂足为点E． 由（1）知平面PAD，故． 又，平面，所以平面ABCD． 设，则，．故四棱锥的体积． 由题设得，故． 从而，，． 所以四棱锥的侧面积为． 【变式8-1】如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：直线平面PAD； (2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）在平面PAD内作，垂足为点E．证明平面ABCD．设，则，．由棱锥体积求得后可得各面面积．即可得侧面积． 【详解】（1）证明：因为，且，所以且． 又，平面，所以直线平面PAD． （2）解：在平面PAD内作，垂足为点E． 由（1）知平面PAD，故． 又，平面，所以平面ABCD． 设，则，．故四棱锥的体积． 由题设得，故． 从而，，． 所以四棱锥的侧面积为． 【变式8-2】如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）先由等腰三角形的性质得出，再根据面面垂直的性质即可证明； （2）设点到平面的距离为，根据等体积法求得，即可用反三角函数得出直线与平面所成角． 【详解】（1）略 （2）同理（1）得，平面，又平面， 所以， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 在中，，所以， 则， ， 设点到平面的距离为，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为． 【变式8-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点、分别为棱和的中点. (1)求证：平面； (2)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求侧面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，证明是平行四边形，由此可得，根据线面平行判定定理证明结论， （2）作，，根据面面垂直性质定理可得平面，由已知，根据线面垂直判定定理证明平面，解三角形求，利用平行四边形面积公式求结论. 【详解】（1）取中点，因为点为棱的中点， 所以，， 因为多面体为三棱柱， 所以，， 因为点为棱的中点，所以，， 所以，， 所以是平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面， （2）作，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为侧棱与底面所成的角， 由已知， 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以， 因为，，，所以， 因为，，，平面， 所以平面， 于是. 在中，，，得到. 所以侧面的面积. 1. 两大核心证明体系 平行体系：线线平行线面平行面面平行；反向可由性质定理逆向推导。 垂直体系：线线垂直线面垂直面面垂直；垂直是立体几何证明的核心难点与必考考点。 2. 证明通用解题逻辑 第一步：明确待证结论（平行/垂直）； 第二步：逆向推导所需定理条件； 第三步：结合几何体性质（正方体、长方体、面面平行等）补齐条件； 第四步：规范书写定理，形成完整逻辑闭环。 3. 考场绝对避错要点 1. 平行证明必查：线在面外、相交直线两个关键条件； 2. 垂直证明必查：两条相交直线、垂直交线核心条件； 3. 严禁跳步证明，所有定理依据必须显性写出； 4. 区分共面与异面直线，杜绝位置关系概念混淆。 4. 高频解题工具 正方体/长方体几何性质、平面三大公理、平行与垂直的判定及性质定理，是本章所有综合证明题的核心解题工具。 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期末）在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 2．（24-25高二上·上海静安·期中）若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面垂直的性质判断B；根据空间直线的位置关系判断C；根据面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A：，，，则有可能与异面，A不对； 对于B：，，则有可能 ，B不对； 对于C：，，则有可能与异面，C不对； 对于D：，，则在内必存在直线，则，而， 则有，D对. 故选：D 二、填空题 3．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）下来命题中，真命题的编号为__________． （1）若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线； （2）若直线平面，则内不存在与不垂直的直线； （3）若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线； （4）若直线平面，则内不存在与不平行的直线． 【答案】（2）（3） 【分析】举例判断（1）；根据线面垂直的性质分析判断（2）；根据反证法及线面平行的判定定理分析判断（3）；举例判断（4）． 【详解】对于（1），如图，在长方体中，直线与平面斜交，，故假命题； 对于（2），若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直， 所以内不存在与不垂直的直线，故为真命题； 对于（3），若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行，这与已知条件相矛盾，故为真命题； 对于（4），如图，直线平面，，与不平行，是异面直线，故为假命题， 故答案为：（2）（3）． 4．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______. 【答案】6 【解析】由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解. 【详解】解：，O为的中点， . 又平面平面，且交线为， 平面. 平面，， 为直角三角形. ∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题. 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则______．    【答案】2 【分析】连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，即可证明平面平面，从而得到平面，再根据线段平行得到线段的关系，即可得解. 【详解】连接、，设、，连接， 过点作交于点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 同理可得平面，，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，则为的中点， 又为的中点，所以，， 所以，又，所以， 所以，又为的中点， 所以， 则， 所以.    故答案为： 三、解答题 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）（1）如图1，已知平面，，且，，.求证：. （2）如图2，已知平面，，，且，，记.求证：.           【答案】（1）过作平面与平面交于直线，因为，所以， 过作平面与平面交于直线，因为，所以， 所以，又因为平面，平面，所以， 而平面，且，所以， 所以； （2）设平面面，平面面， 在直线上取点，在平面内作，在平面内作， 由于，平面面，所以，同理， 由于过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，所以与重合， 则与为两平面的交线，即均与直线重合，即. 【分析】（1）过作平面与平面交于直线，作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得证； （2）设平面面，平面面，在直线上取点，在平面内作，在平面内作，借助面面垂直的性质定理可得与重合，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）根据圆的性质，可得，再根据线面垂直的性质，可得，再利用线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据线面垂直的性质，可得，进而可得即为二面角的平面角，再结合几何关系，即可求得其大小. 【详解】（1）因为是圆的直径，点是圆周上不同于的任意一点， 所以， 又垂直于圆所在的平面，底面圆， 所以， 又平面，平面，且相交于点， 所以平面； （2）由（1）得平面，平面，所以， 又，平面与平面相交于， 所以即为二面角的平面角， 又垂直于圆所在的平面，底面圆， 所以， 所以，又， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 8．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，进而可得，利用正方形的性质得，再由线面垂直的判定定理，即可求解； （2）过点作于点，根据条件可得的长即为点到平面的距离，再利用几何关系，即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）过点作于点， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 则的长即为点到平面的距离， 又，则，， 则， 故点到平面的距离为． 9．（2025高二上·上海松江·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行、面面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案． 【详解】（1）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得，又因为平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面； （2）因为，， ，可得是等边三角形， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 由得，， 解得，所以点A到平面的距离为.    10．（25-26高二上·上海·阶段检测）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第09讲线面、面面位置关系的综合证明 (核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业) 目标导航 【题型一】证明线面平行 【题型五】证明面面平行 【题型二】线面平行的性质 【题型六】面面平行的性质 【题型三】证明线面垂直 【题型七】证明面面垂直 【题型四】线面垂直证明线线垂直 【题型八】面面垂直证线面垂直 核心知识 【知识点01】直线、平面的基本位置关系 1.空间直线与直线位置关系 ①共面直线：相交（有且仅有一个公共点）、平行（无公共点、共面）： ②异面直线：不同在任何一个平面内，无公共点、不平行、不相交。 2.直线与平面位置关系 ①直线在平面内：有无数个公共点： ②直线与平面相交：有且仅有一个公共点： ③直线与平面平行：无任何公共点。 3.平面与平面位置关系 ①平行：无任何公共点： ②相交：有一条公共直线（无数个公共点）。 【知识点02】平面基本公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 1 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期脉 符号：A∈l,B∈l,A∈，B∈→lCa 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线均可确定唯一平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号：P∈a,P∈β→anB=l,P∈1 【知识点03】平行关系判定与性质 1.线面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号：ata,bca,a∥b→a∥a 性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和该平面相交，则这条直线和交线平行。 符号：a∥a,acB,anB=b→a∥b 2.面面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行。 符号：ac,bca,anb=P,a∥B,b∥B→a∥B 性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得两条交线平行。 符号：u∥B,any=a,Bny=b→a∥b 【知识点04】垂直关系判定与性质 1.线面垂直 定义：直线与平面内任意一条直线垂直，则直线垂直于平面。 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 符号：mca,nc,mnn=P,lLm,l⊥n→lLc 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 符号：a⊥a,b⊥→a∥b 2.面面垂直 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。 符号：l⊥a,lcB→⊥B 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 符号：a⊥B,anB=l,aCB,a⊥l→a⊥a 【知识点05】空间平行、垂直传递核心结论 1.平行传递：线线平行→线面平行→面面平行： 2.垂直转化：线面垂直可推线线垂直、面面垂直，是立体几何证明的核心桥梁： 3. 平行不推垂直、垂直不直接推平行，必须严格套用定理条件。 易错辨析 易错点1：线面平行判定条件缺失 典型误区：只要直线平行于平面内一条直线，就直接判定线面平行，忽略直线在平面外的条件。 正解：必须同时满足三个条件：线在面外、面内有直线、两线平行，缺一不可。若直线在平面内，不满足线面平行定 义。 易错点2：面面平行判定误用平行直线 典型误区：一个平面内两条平行直线分别平行于另一平面，判定面面平行。 正解：必须是两条相交直线，平行直线无法撑开平面，不能判定面面平行。 易错点3：线面垂直判定用无数条平行直线 典型误区：直线垂直于平面内无数条直线，判定线面垂直。 正解：无数条平行直线等价于一条直线，必须垂直于平面内两条相交直线才可判定。 易错点4：面面垂直性质定理乱用 典型误区：两平面垂直，直接认为一个平面内任意直线都垂直于另一平面。 正解：仅平面内垂直于交线的直线才垂直于另一平面，普通直线不具备垂直关系。 易错点5：证明逻辑跳步、条件不写全 典型误区：立体几何证明省略相交、在面内、在面外等关键条件，直接得出结论。 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 正解：高考阅卷按点给分，所有定理条件必须逐条罗列，逻辑闭环才可得分。 典例精讲 【题型一】证明线面平行 【典例1-1】(25-26高二上·上海期中)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB=2CD=2AP=2PD=4,PA⊥PD,AB⊥BC,AB∥CD,E为PB的中点.证明：CE∥平面PAD D 【变式1-1】(25-26高三上·上海期中)如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，F为DC1的中点. D 小八 B F (1)求证：BD1/平面C1DE, (2)求三棱锥A-BDF的体积 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 【变式1-2】(25-26高三上·上海金山·阶段检测)在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，SA⊥平面 ABCD,AD1∥BC,AB=CD=2,SA=BC=2AD=4,P、Q为SB、SC的中点. A (1)求证：PQ/∥平面SAD: (2)求四棱锥S-ABCD的体积. 【变式1-3】(25-26高二上·上海奉贤·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中；PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形， AB=P=号AD,AB=2,E,F分别是AD,BC的中点 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 E Ai----- D B F (1)求证：EF∥平面PCD: (2)求多面体EFCDP的体积. 【题型二】线面平行的性质 【典例2-1】如图，E、F分别是空间四边形ABCD中边BC和AD的中点，过EF平行于AB的平面与AC交于点G.求 证：G是AC中点. 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式2-1】如图，在四棱台ABCD-A1BC1D1中，DD1⊥平面ABCD,AD1/BC,AD=DC=2,BC=1, ∠BCD=60°，A1D1=DD=1.记平面A1ADD1与平面BBCC1的交线为l,证明：l/BC: D B 【变式2-2】(25-26高二上·上海期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD,E 为PD的中点 B (1)设平面ABE与直线PC相交于点F,求证EF//CD: (②)若AB=2,PD=2V2,AB⊥AD,求直线BE与平面PAD所成角的大小. 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式2-3】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，且截面EFGH为平行四边形. B (1)求证：AB∥平面EFGH (2)若AB⊥CD,且AB=CD=6,2BF=FC,求四边形EFGH的面积. 【题型三】证明线面垂直 【典例3-1】(25-26高二上·上海单元测试)点P是菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PA=AC=a, PB=PD=V2a. D B (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求棱锥P-ABCD的体积. 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式3-1】(25-26高二上·上海阶段检测)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD,AB=AD=1, D1D=CD=2,AB⊥AD D C A 、B D B (1)求证：BC⊥平面D1DB: (2)求直线BD1与平面ADD1A1所成角的大小 【变式3-2】(25-26高二上·上海·阶段检测)如图，长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=AD=1,AA1=2,点P为 DD的中点 D C B P D以 B 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)求证：直线AC⊥平面BDD1 (2)求直线AP与平面D1DB所成角的大小. 【变式3-3】(25-26高二下·上海期中)如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=2,BC=AA1=2V2, A B B (1)证明：AB⊥平面ACC1A1: (2)求二面角A1-BC1-C的大小. 【题型四】线面垂直证明线线垂直 【典例4-1】如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB⊥AC,D,E分别为BC,A1B的中点. 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 E D R (1)求证：AB⊥DE (2)若AA1=3,AB=AC=2,求三棱锥A-BCE的体积 【变式4-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中 点 A B (1)证明：PA∥平面BDE: (2)证明：CD⊥PA 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式4-2】(25-26高二下·上海杨浦·期末)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD, PA=AB=1. D A B (1)求异面直线PC与AD所成角的大小； (2)求证：CD⊥平面PAD 【变式4-3】(24-25高二下·上海嘉定期末)如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为底面ABCD的中心，，AP=AD E为PB的中点. E -:>D B 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (I)求证：PB⊥AC: (2)求二面角E-AC-B的大小. 【题型五】证明面面平行 【典例5-1】如图，在平面C与平面B上分别有不共线的三点A、B、C与A1、B1、C1,假设AA1、BB与CC1交于 一点O,且AO=OA1,BO=OB,CO=OC.求证：平面a∥平面B. a 【变式5-1】如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，D,D1分别为棱AC,A1C1的中点.求证：平面ABD1/平面BC1D B 13 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 【变式5-2】(25-26高三·上海一轮复习)如图，在圆台010中，A1ABB1为轴截面， AB=2A,B=4,∠A1AB=60,C为下底面圆周上一点，F为下底面圆O内一点，A1E垂直下底面圆O于点 E,∠COF=∠EFO.求证：平面O1OC1/平面A1EF; A 0 C 【变式5-3】如图，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，B,F,G分别为C1D1,A1B,DC的中点，AB=AA1=2AD 求证： D E B D 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)EF/平面BBC1C: (2)平面EFG/平面BB,C1C. 【题型六】面面平行的性质 【典例6-1】如图，平面ABCD,BF∥平面ADE,CF∥AE.求证：AD∥BC. D. 【变式6-1】如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD1IBC,EH/1FG,∠BCD=∠FGH=90°，平面ABCD/ 平面EFGH,CDHG为正方形，平面HDCG⊥平面ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求证：AE//BF: H G D 15 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式6-2】(24-25高二·上海·课堂例题)如图，已知平面Q/1平面β，点P是平面Q、β外的一点（不在Q与β之间）， 直线PB、PD分别与Q、B交于点A,B和C,D D B (I)求证：ACBD: (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 【变式6-3】已知直四棱柱ABCD-A1BC1D1,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=3,CD=4. D C B (1)证明：直线AB/平面DCC1D1: 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)若该四棱柱的体积为36，求A1A的长， 【题型七】证明面面垂直 【典例7-1】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，BC/AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=3,PA⊥ 平面ABCD.求证：平面PBC⊥平面PAB, 【变式7-1】(2425高二上上海阶段检测)如图，在正四棱柱ABCD-A1BCD1中， B 17 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)求证：B1D1/平面A1BD: (2)求证：平面A1ACC1⊥平面A1BD 【变式7-2】(25-26高三上·上海·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平 面ABCD,E为PC中点. ◇ D月 (1)证明：PA/平面BDE: (2)证明：平面PCD⊥平面PBC. 【变式7-3】(25-26高二上上海阶段检测)如图，长方体ABCD-A1BC1D1中， DA=2,DC=22,DD1=3,M、N分别为棱AB、BC的中点. 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D A B D (1)证明：平面D1MN⊥平面D1DM: (2)求点D到平面AA1C1C的距离. 【题型八】面面垂直证线面垂直 【典例8-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°， B (1)证明：直线AB⊥平面PAD: 8 (②若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,且四棱锥P.ABCD的体积为3求该四棱锥的侧面积. 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式8-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且∠BAP=CDP=90°， D B (1)证明：直线AB⊥平面PAD: 8 (②)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为3求该四棱锥的侧面积. 【变式8-2】如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=V2,PA=PC.O为AC的中点，且OP=2,平面 PAC⊥平面ABC. 的 (1)求证：OB⊥平面PAC: (2)求直线PC与平面PAB所成角的大小. 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式8-3】(25-26高三上·上海·阶段检测)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,侧面BB1C1C⊥底 面ABC,点E、F分别为棱BC和A1C1的中点. B C F B E A (1)求证：EF//平面AA1B1B (2)若底面△ABC为边长为2的正三角形，且CC1=BC,侧棱CC1与底面ABC所成的角为60°，求侧面ACC1A1的 面积 课堂小结 1.两大核心证明体系 平行体系：线线平行二线面平行面面平行；反向可由性质定理逆向推导。 垂直体系：线线垂直线面垂直面面垂直；垂直是立体几何证明的核心难点与必考考点。 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 2.证明通用解题逻辑 第一步：明确待证结论（平行/垂直)： 第二步：逆向推导所需定理条件； 第三步：结合几何体性质（正方体、长方体、面面平行等）补齐条件： 第四步：规范书写定理，形成完整逻辑闭环。 3.考场绝对避错要点 1.平行证明必查：线在面外、相交直线两个关键条件： 2.垂直证明必查：两条相交直线、垂直交线核心条件： 3.严禁跳步证明，所有定理依据必须显性写出： 4.区分共面与异面直线，杜绝位置关系概念混淆。 4.高频解题工具 正方体/长方体几何性质、平面三大公理、平行与垂直的判定及性质定理，是本章所有综合证明题的核心解题工具。 A课后作业 一、单选题 1.(25-26高二上·上海期末)在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F,M分别为棱CD,BC,AA1的中点，P为底面 A1BC1D1的中心，则直线MP与直线EF() A.异面且垂直 B.不异面且垂直 C.异面且不垂直 D.不异面且不垂直 2.(24-25高二上上海静安·期中)若l、m、n是互不相同的直线，c,B是不重合的平面，则下列命题中为真命题的 是() A.若aB,1ca,ncβ，则lnB.若a⊥B,lcac,则l⊥β c.若l⊥n,m⊥n,则l‖m D.若1⊥a,l∥B,则a⊥β 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 二、填空题 3.(24-25高二上·上海宝山阶段检测)下来命题中，真命题的编号为 (1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线： (2)若直线l⊥平面M,则M内不存在与l不垂直的直线： (3)若直线I与平面M斜交，则M内不存在与平行的直线： (4)若直线l∥平面M,则M内不存在与l不平行的直线. 4.如图，平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90,CA=CB,△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三 角形的个数为 A B 0 D 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E,F,G分别为AD,AB,PC的中点，点H在棱PC上， PH 且BH∥平面EFG,则HC 三、解答题 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考期中期脉 6. (25-26高二上.上海阶段检测)(1)如图1，已知平面C,β，且anB=l,m/1c,m/1β.求证：111m (2)如图2，已知平面c,B,y,且a⊥Y,B⊥y,记anB=l.求证：1⊥y m B 图1 图2 7.(25-26高二上·上海·阶段检测)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A、B 的任意一点 (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)若PA=2AC,求二面角P-BC-A的大小. 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 8.(25-26高二上·上海浦东新·阶段检测)如图，四边形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD, AF//BE,AB=BE=2,AF=1. B (1)求证：平面ACF⊥平面BDE: (2)求点C到平面BDF的距离. 9.(2025高二上·上海松江专题练习)如图，在直四棱柱ABCD-A1BC1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱 AA1的中点，P为棱DD的中点，AB=2,AA1=4. A D C E -刀 B 25 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)证明：平面PA1C∥平面EBD (2)求点A到平面BDE的距离. 10.(25-26高二上·上海·阶段检测)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1,BE=BF=2,∠CBF=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图②. D E(F B 图① 图② (1)证明：DG∥平面ABC; (2)求直线AG与平面ABC所成角的正切值. 26