第11讲 几何体表面积与体积的综合计算（核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦高中数学几何体表面积与体积综合计算，系统梳理多面体（棱柱、棱锥、棱台）、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）及球体的核心公式，结合割补法、等体积法构建从规则几何体到组合体的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 该资料以6大易错辨析（如侧面积与表面积混淆、锥体体积漏系数等）精准突破认知难点，9类题型典例精讲（含上海期中期末真题变式）培养数学思维与空间观念，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层作业查漏补缺，提升运算与推理能力。

第11讲 几何体表面积与体积的综合计算 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】柱体体积的有关计算 【题型六】台体表面积的有关计算 【题型二】柱体表面积的有关计算 【题型七】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型三】锥体体积的有关计算 【题型八】求组合体、旋转体的体积 【题型四】锥体表面积的有关计算 【题型九】球的体积和表面积 【题型五】台体体积的有关计算 【知识点01】多面体公式（棱柱、棱锥、棱台） （1）棱柱 设棱柱底面积为，高为，侧面积为： 体积公式： 表面积公式： 直棱柱侧面积： （2）棱锥 设棱锥底面积为，高为： 体积公式： 表面积公式： （3）棱台 设上下底面积分别为，高为： 体积公式： 表面积公式： 【知识点02】旋转体公式（圆柱、圆锥、圆台） （1）圆柱 底面半径，高： 侧面积： 表面积： 体积： （2）圆锥 底面半径，高，母线： 侧面积： 表面积： 体积： （3）圆台 上下底半径，高，母线： 侧面积： 表面积： 体积： 【知识点03】球体公式 球半径为𝑅： 球的表面积公式： 球的体积公式： 【知识点04】核心解题方法 1. 割补法：将不规则、组合几何体分割为若干规则几何体，或补为完整规则几何体，通过分算、整体作差求解表面积、体积。 2. 等体积法：利用三棱锥体积的自等性，𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐵−𝐴𝐶𝐷，常用于求解点到平面的距离。 易错点1：侧面积与表面积概念混淆 误区：解题时默认表面积等于侧面积，遗漏几何体上下底面面积。 正解：侧面积仅包含侧面曲面/平面，表面积=侧面积+全部底面面积；无盖、空心几何体需根据题意扣除对应底面。 易错点2：锥体体积遗漏系数 误区：混淆柱体与锥体公式，将棱锥、圆锥体积记为。 正解：所有锥体体积公式均含固定系数，柱体无系数，这是计算类基础失分重灾区。 易错点3：高与母线混用 误区：计算圆锥、圆台体积时代入母线长，计算侧面积时代入垂直高。 正解：体积计算必须用垂直高，侧面积计算必须用母线长，二者可通过勾股定理相互推导，不可混用。 易错点4：组合几何体表面积重复计算 误区：两个几何体拼接组合，直接将二者表面积相加，未扣除贴合重叠面。 正解：拼接后重叠的两个面完全遮挡，组合表面积=总表面积和−2倍重叠面面积。 易错点5：台体、球体公式记忆错乱 误区：台体体积漏写根号、圆台侧面积公式记错；球体表面积、体积公式平方立方混淆。 正解：台体体积；球面积平方、体积立方，严格区分记忆。 易错点6：棱台定义误用 误区：任意上下底面平行的几何体都套用台体公式。 正解：台体必须由锥体平行于底面截取得到，上下底面相似，非相似几何体不可用台体公式。 【题型一】柱体体积的有关计算 【典例1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为____. 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式来求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【答案】 【分析】直接根据棱柱的体积公式求解即可． 【详解】边长为2的正六边形面积为，根据棱柱体积公式可得． 故答案为：． 【变式1-2】如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积． 【答案】 【分析】倒扣一个相同的斜截圆柱补成一个大圆柱，利用大圆柱的体积即可得到答案 【详解】解：倒扣一个相同的斜截圆柱补成一个大圆柱，则大圆柱的底面半径为20cm，高为130cm， 所以． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18． (1)求正三棱柱的体积； (2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由棱柱的体积公式即可求得答案； （2）取AC的中点E，在中可求得，则异面直线与BC所成的角可求. 【详解】（1）设底面边长为a，高为h，则，所以； （2）取AC的中点E，连接DE和，则就是异面直线与BC所成的角（或其补角） 在中，，，， 异面直线与BC所成的角为. 【题型二】柱体表面积的有关计算 【典例2-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是______． 【答案】 【分析】根据题意，由棱柱侧面积公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，该四棱柱的侧面积都是矩形，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则其侧面积为； 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为_____. 【答案】 【分析】根据条件，可求出圆柱的底面直径，母线长，然后根据圆柱的表面积公式求解 【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，面积为，即正方形的边长是， 则圆柱的母线长是，底面直径是， 于是圆柱的底面积是，侧面积是， 于是表面积是. 故答案为： 【变式2-2】已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积． 【答案】或． 【分析】分两种情况，求出底面积，从而求出表面积. 【详解】由题意可知该三棱柱为正三棱柱， ∵正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形， ∴有如下两种情况： ①6是底面周长，4是三棱柱的高， 此时正三角形边长为2， 此底面积， 表面积； ②4是底面周长，6是三棱柱的高， 此时正三角形边长为， 此时底面积， 表面积． 所以该三棱柱的表面积是或． 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． (1)试用表示圆柱的侧面积； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式直接求得结果； （2）通过平移直线法先确定所成的角为或其补角，然后利用余弦定理求解出角的大小，则结果可知. 【详解】（1）设圆柱的高为，因为， 所以. （2）连接，由正六边形的性质可知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即为或其补角， 因为为正三角形，所以， 在中，， 所以，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. 【题型三】锥体体积的有关计算 【典例3-1】已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积. 【详解】解：由题意 在圆锥中，设底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形 ∴ 解得： 由几何知识得 圆锥的高： ∴圆锥体积： 故选：C. 【变式3-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法求出三棱锥的体积； 【详解】因为，，，所以，所以， 又因为,,平面； 所以平面， 所以平面，， ； 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，PA⊥平面，，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求四棱锥的侧面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据线线平行，即可得为所求，利用三角形的边角关系即可求解, （2）求解每个面的面积，即可求解侧面积. 【详解】（1）取AD的中点F，连接EF、PF． ∵，∴的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小． 由，，平面，是矩形，得，，，， ∴， ∴异面直线与所成的角的大小等于； （2）∵平面，，，，，． ∵平面，平面，所以，又，平面, ∴平面，平面,∴，，． 连接AE，由，得，同理，， 又，∴， 由勾股定理逆定理得，∴． ∴四棱锥的侧面积为 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且． (1)求圆锥的体积； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆锥的高，进而利用锥体体积公式得到答案； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，得到，得到答案. 【详解】（1）圆锥的高， 则圆锥的体积为； （2）取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 由图可知，二面角为锐角， 故为二面角的平面角， 因为，所以， 故， 则， 故， 故. 【题型四】锥体表面积的有关计算 【典例4-1】如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． 【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， 又圆锥的侧面积， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得， 所以圆锥的表面积， 故选：A． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 【变式4-2】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】（1）因为圆锥母线长为6，底面圆半径长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为； （2）圆锥的表面积为. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期中）把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使（折叠后的）A、、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大．求此三棱锥的表面积． 【答案】 【分析】当三棱锥体积最大时，即二面角为时体积最大，再根据边长求出三棱锥的表面积. 【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是， 故当二面角为时，三棱锥的体积最大， 取的中点，连接,如图所示， 由题意可知,， 所以为二面角的平面角，即， 所以，, 所以和是边长为的等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， 所以， 所以三棱锥的表面积为：. 【题型五】台体体积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶形众多，经典的有相关数据（单位：cm）（可近似看作台体，不考虑壶壁厚），那么图中该壶的容积约接近于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的体积公式计算即可． 【详解】该壶可看作圆台， 设为圆台下底面圆半径，为上底面圆半径，高为， ，，， 则 . 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知某圆台的上、下底面半径分别为3和4，高为1，则该圆台的体积为______. 【答案】 【分析】根据圆台的体积公式直接求解即可. 【详解】据题意可所求圆台的体积为. 故答案为： 【变式5-2】一个圆台的母线长为cm，两底面面积分别为cm2和cm2，求： (1)圆台的体积； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出圆台的轴截面图，并截面图中利用勾股定理求出圆台的高； （2）在截面图中利用相似三角形,构建相似比即可求出圆锥的母线长. 【详解】（1）圆台的轴截面是等腰梯形 (如图)； 两底面面积分别为cm2和cm2 圆台上底半径cm，下底半径cm. 又因为母线长即等腰梯形得腰长为cm， 所以高为(cm)； ∴圆台的体积（cm3） （2）设截得此圆台的圆锥的母线长为， 圆台截面中， 可得， ∴cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 【变式5-3】设台体上、下底面面积分别为和，上、下底面的距离为h，试用，和h表示棱台的体积. 【答案】 【分析】根据棱台与棱锥的关系即可推导. 【详解】如图所示：棱台可看作是由两个棱锥截成，即， 设顶点到平面的距离为， 则由大小两四棱锥的相似性可得：， ，即， 则 故棱台的体积. 【题型六】台体表面积的有关计算 【典例6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台的侧面积公式即可直接求解. 【详解】圆台侧面积； 故选：A 【变式6-1】正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______． 【答案】 【分析】先求出一个侧面的面积，即可求出该棱台的侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为一个等腰梯形，如图示： . 过C作于E，则. 所以等腰梯形的面积为. 所以该棱台的侧面积为. 故答案为：. 【变式6-2】用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为30cm，桶底直径为25cm，母线长是27.5cm．已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆多少千克（精确到0.1kg）？ 【答案】8.6 【分析】根据圆台侧面积公式求出，则一个桶需要涂漆面积为，进而求解. 【详解】先将所有长度换算成米，质量换算成kg，，，故一个桶需要涂漆面积为，故个桶需要涂漆为：kg，故共需用漆kg 【变式6-3】一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【答案】 【分析】作出示意图，点，分别是上、下底面的中心，则，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过作的垂线，垂足为点；连接． 可求得，进而可求得，可求三棱台的侧面积. 【详解】如图，点，分别是上、下底面的中心，则． 连接并延长交于点，连接并延长交于点； 过作的垂线，垂足为点；连接． 在中，， ， ． 所以． 因此，三棱台的侧面积为． 【题型七】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例7-1】如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可. 【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高， 则该几何体的表面积为 . 故选：D. 【变式7-1】如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 【答案】/ 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 【变式7-2】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）. 【答案】36 【分析】结合图形可知该几何体水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积，因此表面积等于几何体的侧面积＋底面积的两倍，从而可以求出结果. 【详解】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1. 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积. ∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36， ∴该几何体的表面积为36. 【变式7-3】已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 【答案】 【分析】画出图形后，由，逐个计算求和即可得. 【详解】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥； 在直角梯形中，，， ，， 又， 故 . 【题型八】求组合体、旋转体的体积 【典例8-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示的几何体是底面积为，侧高为的直三棱柱斜劈，则其体积为______. 【答案】 【分析】将几何体作切割处理，应用棱锥、棱柱的体积公式求组合体体积即可. 【详解】如图，斜劈， 而，， 所以 . 故答案为： 【变式8-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 【答案】/ 【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可. 【详解】如图，是点关于的对称点，交于， 作于点，于点，， ，，    设、、绕直线旋转所成旋转体的体积 分别为，、，则有，， 所求体积． 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为． 【分析】由圆柱与圆锥的侧面积公式、体积公式计算． 【详解】由题意，，， 该旋转体是共底面的圆锥与圆柱组合体， 表面积为 ， 体积为 ． 所以旋转体表面积为，体积为． 【变式8-3】如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，. (1)求证：平面； (2)求几何体的体积. 【答案】(1) 由题意得：，，，、都在平面内， 所以平面，因为：平面，所以：， 又因为四边形为正方形，所以：， 因为，且、都在平面内， 所以平面，因为：平面，所以：， 又因为四边形为直角梯形，，，，， 所以，，则：，所以：, 又因为，且、都在平面内， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直知识可求解. （2）利用割补转化法可得，从而求出体积. 【详解】（1）略 （2）连接，过作的垂线，垂足为，由（1）可得：平面，且， 所以：， 所以：几何体的体积为：. 【题型九】球的体积和表面积 【典例9-1】已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得. 设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离. 根据勾股定理，将，代入可得： ,则，则，则，解得. 根据球的表面积公式，将代入可得： 故选：C. 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期中）某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 【答案】 【分析】先求纬线圆半径，根据直角三角形的性质，再求地球仪的半径． 【详解】如图所示，由题意知，北纬所在小圆的周长为， 则该小圆的半径，在中，， 所以该地球仪的半径， 所以该地球仪的体积是. 故答案为：. . 【变式9-2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积． 【答案】. 【分析】设截面的圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积． 【详解】解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′， 设球半径为R， 因为O′A＝. 在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2， 所以R2＝，所以R＝， 所以S球＝4πR2＝π. 【变式9-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据球体积的公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）根据球的表面积公式和侧面积公式求解即可. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. 1. 核心公式体系 本节课系统梳理了沪教必修三所有规则几何体的表面积、体积公式，核心区分：柱体体积无系数、锥体固定系数、台体为复合根式公式、球体区分平方表面积与立方体积，旋转体严格区分高与母线的使用场景。 2. 核心解题思路 基础题型直接套用公式计算；不规则、组合几何体优先使用割补法拆分或补形；立体几何求点面距离、高的问题，优先使用等体积法，无需建系即可快速求解。 3. 考场提分关键 审题优先区分侧面积/表面积、垂直高/母线；杜绝锥体体积漏写的低级错误；组合几何体计算务必核对重叠、镂空面积，规避重复计算、漏算问题，保证计算精准度。 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积，即可得解. 【详解】如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面. 由正八面体的性质可知，，则，， 所以体积，表面积， 所以. 故选：A.    2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 【答案】B 【分析】由题意可知：T是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果． 【详解】空间中，T在垂直于平面ABC的角度看，如下图所示： 其中：BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱； CDE，BFG，AHI区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C，B，A； ABC区域内的几何体是高为2的直三棱柱，因为四边形BCDF和ACEI为矩形， 则， 可得∠DCE＝2π﹣π﹣∠ACB＝π﹣∠ACB， 同理可得：∠FBG＝π﹣∠ABC，∠HAI＝π﹣∠CAB， 所以∠DCE+∠FBG+∠HAI＝3π﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝3π﹣π＝2π， 可得CDE，BFG，AHI区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球， 则CDE，BFG，AHI区域内的几何体的体积之和； 又因为BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体的体积之和； ABC区域内的直三棱柱体积， 所以T的体积为． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 6．（25-26高二上·上海·期中）已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 【答案】 【分析】统一长度单位并代入棱台体积公式进行计算即可. 【详解】由题意可知，该水库在水位上升过程中的形状可视为一个棱台， 设棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为， 根据题设数据可得：，，， 根据棱台的体积公式 ，代入上述数据得： ， 取 ，则： ， 所以，增加的水量约为 . 三、解答题 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图（图中单位：cm）是一种机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱．求此零件的体积与表面积．（结果分别精确到与） 【答案】体积为，表面积为 【分析】借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积. 【详解】圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 此零件的表面积为 . 8．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 9．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用球、圆锥的体积公式计算即可求解； （2）利用圆锥，球体的表面积公式计算即可求解. 【详解】（1）该平面图形绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体为一个圆锥挖去了半个球体， 圆锥的底面半径为，高为，球体的半径为， 所以圆锥的体积为，半球体的体积为， 所以该几何体的体积为； （2）因为，所以， 圆锥的表面积为， 半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为， 所以该几何体的表面积为. 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 又因为, 所以劣球缺的体积为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 几何体表面积与体积的综合计算 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】柱体体积的有关计算 【题型六】台体表面积的有关计算 【题型二】柱体表面积的有关计算 【题型七】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型三】锥体体积的有关计算 【题型八】求组合体、旋转体的体积 【题型四】锥体表面积的有关计算 【题型九】球的体积和表面积 【题型五】台体体积的有关计算 【知识点01】多面体公式（棱柱、棱锥、棱台） （1）棱柱 设棱柱底面积为，高为，侧面积为： 体积公式： 表面积公式： 直棱柱侧面积： （2）棱锥 设棱锥底面积为，高为： 体积公式： 表面积公式： （3）棱台 设上下底面积分别为，高为： 体积公式： 表面积公式： 【知识点02】旋转体公式（圆柱、圆锥、圆台） （1）圆柱 底面半径，高： 侧面积： 表面积： 体积： （2）圆锥 底面半径，高，母线： 侧面积： 表面积： 体积： （3）圆台 上下底半径，高，母线： 侧面积： 表面积： 体积： 【知识点03】球体公式 球半径为𝑅： 球的表面积公式： 球的体积公式： 【知识点04】核心解题方法 1. 割补法：将不规则、组合几何体分割为若干规则几何体，或补为完整规则几何体，通过分算、整体作差求解表面积、体积。 2. 等体积法：利用三棱锥体积的自等性，𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐵−𝐴𝐶𝐷，常用于求解点到平面的距离。 易错点1：侧面积与表面积概念混淆 误区：解题时默认表面积等于侧面积，遗漏几何体上下底面面积。 正解：侧面积仅包含侧面曲面/平面，表面积=侧面积+全部底面面积；无盖、空心几何体需根据题意扣除对应底面。 易错点2：锥体体积遗漏系数 误区：混淆柱体与锥体公式，将棱锥、圆锥体积记为。 正解：所有锥体体积公式均含固定系数，柱体无系数，这是计算类基础失分重灾区。 易错点3：高与母线混用 误区：计算圆锥、圆台体积时代入母线长，计算侧面积时代入垂直高。 正解：体积计算必须用垂直高，侧面积计算必须用母线长，二者可通过勾股定理相互推导，不可混用。 易错点4：组合几何体表面积重复计算 误区：两个几何体拼接组合，直接将二者表面积相加，未扣除贴合重叠面。 正解：拼接后重叠的两个面完全遮挡，组合表面积=总表面积和−2倍重叠面面积。 易错点5：台体、球体公式记忆错乱 误区：台体体积漏写根号、圆台侧面积公式记错；球体表面积、体积公式平方立方混淆。 正解：台体体积；球面积平方、体积立方，严格区分记忆。 易错点6：棱台定义误用 误区：任意上下底面平行的几何体都套用台体公式。 正解：台体必须由锥体平行于底面截取得到，上下底面相似，非相似几何体不可用台体公式。 【题型一】柱体体积的有关计算 【典例1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为____. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【变式1-2】如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18． (1)求正三棱柱的体积； (2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小． 【题型二】柱体表面积的有关计算 【典例2-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是______． 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为_____. 【变式2-2】已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积． 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆柱的底面半径和高均为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆． (1)试用表示圆柱的侧面积； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【题型三】锥体体积的有关计算 【典例3-1】已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高二上·上海松江·专题练习）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，PA⊥平面，，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求四棱锥的侧面积． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且． (1)求圆锥的体积； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）． 【题型四】锥体表面积的有关计算 【典例4-1】如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【变式4-2】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4.    (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积. 【变式4-3】（25-26高二上·上海·期中）把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使（折叠后的）A、、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大．求此三棱锥的表面积． 【题型五】台体体积的有关计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶形众多，经典的有相关数据（单位：cm）（可近似看作台体，不考虑壶壁厚），那么图中该壶的容积约接近于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知某圆台的上、下底面半径分别为3和4，高为1，则该圆台的体积为______. 【变式5-2】一个圆台的母线长为cm，两底面面积分别为cm2和cm2，求： (1)圆台的体积； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【变式5-3】设台体上、下底面面积分别为和，上、下底面的距离为h，试用，和h表示棱台的体积. 【题型六】台体表面积的有关计算 【典例6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______． 【变式6-2】用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为30cm，桶底直径为25cm，母线长是27.5cm．已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆多少千克（精确到0.1kg）？ 【变式6-3】一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【题型七】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例7-1】如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 【变式7-2】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）. 【变式7-3】已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 【题型八】求组合体、旋转体的体积 【典例8-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示的几何体是底面积为，侧高为的直三棱柱斜劈，则其体积为______. 【变式8-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【变式8-3】如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，. (1)求证：平面； (2)求几何体的体积. 【题型九】球的体积和表面积 【典例9-1】已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期中）某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 【变式9-2】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积． 【变式9-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 1. 核心公式体系 本节课系统梳理了沪教必修三所有规则几何体的表面积、体积公式，核心区分：柱体体积无系数、锥体固定系数、台体为复合根式公式、球体区分平方表面积与立方体积，旋转体严格区分高与母线的使用场景。 2. 核心解题思路 基础题型直接套用公式计算；不规则、组合几何体优先使用割补法拆分或补形；立体几何求点面距离、高的问题，优先使用等体积法，无需建系即可快速求解。 3. 考场提分关键 审题优先区分侧面积/表面积、垂直高/母线；杜绝锥体体积漏写的低级错误；组合几何体计算务必核对重叠、镂空面积，规避重复计算、漏算问题，保证计算精准度。 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海静安·期中）已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 5．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 6．（25-26高二上·上海·期中）已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 三、解答题 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图（图中单位：cm）是一种机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱．求此零件的体积与表面积．（结果分别精确到与） 8．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 9．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $