河北省唐县第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 以阿基米德“圆柱容球”文化情境、折叠问题与统计分析等创新设计，覆盖立体几何、概率统计、向量等核心知识，体现数学眼光的空间观念与数学思维的推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、线面关系、数学史、四分位数|数学史情境（第3题）与空间位置判断（第2题）| |多选题|3/18|复数性质、空间向量表示|多选项逻辑推理（第9题复数判定）| |填空题|3/15|直线倾斜角、平行六面体对角线|空间度量计算（第13题棱长求解）| |解答题|5/77|立体几何二面角、统计频率分布、折叠与球综合|多知识交汇（第19题折叠后球半径最小化）与实际应用（第18题统计分析）|

高二数学试题 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．5 2．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 4．数据，，，，，，，，的第三四分位数为（） A． B． C． D． 5.已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 6．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 8．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为6的正三角形，侧面PAD与矩形ABCD所在平面垂直，M，N分别为侧棱PB，PD的中点，E为棱CD上一点，且CE＝2，DE＝1.若平面EMN与BC交于点F，则PF与底面ABCD所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 10．如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　) A.=b－c B.=b＋c－a C.=b－c－a D.=a＋b＋c 11．在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（    ） A．在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为 B．在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形 C．在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面 D．取的中点，当点运动的过程中，一定有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．直线的倾斜角是_________ 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14．在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为_____ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求与所成夹角的余弦值． 16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 18．（17分）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成、、、六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中的值，并估计众数； (2)已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 19．(17分）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D B A C ABC BD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14． 15.【解】（1）由，得，得，即，所以； （2）由，得，即，                              又因为，，所以，解得，        则与所成夹角的余弦值为． 16. 【解】（1）取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． （2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17．【解】（1）因为，由正弦定理得． 又，，则，． 又，所以． （2）由（1）知，则由余弦定理， 即． 又，由正弦定理， 则，所以． 所以，即是直角三角形． 则的面积，所以 所以． 18．【解】（1）由题意可得 ，解得. 根据频率分布直方图可知众数为的中点值. （2）成绩在内的人数为， 成绩在内的人数分别为， 所以． 设学生成绩在区间内的数据记为、、、，学生成绩在内的数据记为、、、， 所以 . 19．【解】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． （3）由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 答案第1页（共2页） 答案第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $