河北省承德市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则 A． B． C． D． 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知，角为第三象限角，则的值为 A． B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则 A． B．或 C． D．或 6．陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．如图，将一个底面半径为的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了周，则该陀螺的侧面积为 A． B． C． D． 7．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是 A． B． C． D．直线与平面所成的角为 8．如图，在中，，，为上一点，且满足．若的面积为，则的最小值为 A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，与的夹角为，则 A． B． C． D．在上的投影向量的坐标为 10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则 A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．若，为线段上两点（），且，则 A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．化简：____________． 13．已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为．若，则____________；若，则____________．（第1空2分，第2空3分） 14．在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16．（15分）海岸上建有相距海里的雷达站，，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，，，． （1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少海里？ （2）判断若船以30海里/时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？（参考数据：） 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 18．（17分）已知函数的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若当时，方程恰好有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，，，为的中点，为上一点． （1）求证：平面平面． （2）若，，且． ①当平面时，求的值； ②当时，求平面与平面夹角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案及评分意见 1.C【解折a·b=a·lbcosa,b>=2×3×2-3.枚选C 2D【解标】根据角0的终边过点P(一1w3),可得一0P-一1)十()一2，则m0-,an日-区，则 点Q停，-位于第四象限放击D 3.C【解析】若1∥α，l∥B,则a,3平行或相交，故A错误. 若l∥a,则l与平面α无公共点，即l与平面a内的直线无公共点. 又mCa,所以l∥m或l与m异面，故B错误. 若l⊥a,l⊥B,则α∥B,故C正确。 若1⊥a,a⊥B,则l∥B或lC3,故D错误.故选C. 4.D【解析】因为tanA= 2,所以sinA1 cos A 2 sin A 1 sin A=V5 sin A=5 由cosA2’ 6, 解得 或 sin2A+cos2A=1, cOs A=21/5 cos A=- 25 5， 6 因为角A为第三象限角，所以sinA= 5,C0sA=-25 5 所om-wAaA-2×号+-）号-3放D 10 5.A【解析】在△ABC中，由正弦定理可得，a=b sin Asin B将6=3，a=32,A=至代人上式，得3-3 √2 sinB,解 得snB=由于B∈(0，m,则B=看或B-又因为6=3<a=32,所以B<A=子，即B=晋不符合要 求，故舍去，因此B=石故选A 6.A【解析】设该圆锥形陀螺的母线长为l(即图中SA=SB=l).因为圆锥形陀螺的底面半径r=5, 所以圆锥形陀螺底面的周长为C底=2πr=2π×5=10π，即陀螺自身完整滚动1周时，它的底面边缘在水平面上 扫过的路径长度等于底面的周长10π. 陀螺绕顶点S在水平面滚动，首次回到原位置时，陀螺的底面边缘会绕点S画出一个以S为圆心、母线长1为半 径的完整大圆，这个大圆的周长为C总=2π. 由题意得2πl=3×10π，解得1=15.所以S侧=π×5×15=75元.故选A. 7.B【解析】由题可知AB+AD-C1C=AC+CC,=AC,A正确. AB.CC=DC.CC=-6×4cos∠C1CD=-12,B错误. 因为底面ABCD是正方形，所以AB·AD=0,同B可得AD.CC=一12. 所以|ACI2=(AB+AD+CC)2 =|AB2+|AD2+|CC2+2AB·AD+2AB·CC,+2AD·CC =42+42+62-24-24=20,所以AC11=2√5，即AC1=25,C正确. ④数学答案第1页（共7页） 如图，连接AC,则∠C1CA即为直线CC1与平面ABCD所成的角. ⊙ 所以cos∠C,CA=CC+AC2-AC:_V2 2CC1·AC =号，所以∠CCA=,D正确故选B. 8B【解折】抽A立=mAC+}A,A心-2D店，可得A时=mAC+}×Ad=mAC+A 因为CP,D三点共线，所以m+1,解得m-},故市-C+号应 设AB=c,AC=6.因为△ABC的面积为2F,∠BAC=号，所以cin号-。 3=4bc-23,解得bc=8. 将立-C+两边取平方，可得1萨-（得花+）°-衣+.心+应 16 31662+ +4c2+8bc. 因为+>26·0=c,当且仅当6=2x=4时，等号成立， 1. 所以当=46=2时，a取得最小值，为，食c-放选B 9,BC【解折]对于A,因为千号，即不存在实数X,使a-通，所以a与b不平行，故A不正病： 对于B,因为a-b=(-1,-2)-(1,-3)=(-2,1),所以a·(a-b)=-1×(-2)+(-2)×1=0,所以a⊥ (a一b),故B正确； 对于C,因为cos8=Tab a6-1X1十（-2)X-3》=,0°<0<180，所以0=45，故C正确 √5×/10 对于D.6在a上的投影向量的坐标为：ba=-1X1+(二2)X(一3》×(-1，一2)=(-1，-2)，故D不正确。 5 故选BC. 10.AC【解折设西数f)的最小正周期为T.由感意可得，T-石-2)一行，则。=3 7π 因为f(x)在x= 88处取得最大值，所以3X2+9十2k∈乙 2 解得9=一石+2kx,k∈Z又p<受，所以g=-5,故A正确。 由A法项知f）=2n(x一君》因为[后]所以红一晋∈[后] 所以了x)在[，]上先单调递减，再单调适增，放B错误。 因为f(）=2s3×8--2sin受=2，所以函数fx)的图象关于直线x-8对称，故C正确 ①数学答案第2页（共7页） 由题意得，gx)=f-哥=2sim3(x-哥若]-2sin3x---2cos3x, 则g(-x)=一2cos3x=g(x),故g(x)为偶函数，故D错误故选AC. 11.ACD【解析】对于A,如图，连接A1C交AC1于点E,连接DE.易知E为线段AC1的中点，又D为线段BC的 中点，则DE∥A1B.又DEC平面AC1D,A1B中平面ACD,所以A1B∥平面AC1D,故A正确. 对于B,由A选项知A1B∥DE,所以∠EDC1即为异面直线A1B与C1D所成的角或其补角. 因为AA1⊥AB,AA1⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,所以A1B=A1C=√5，BC=√2， 所以DE=A,B-9C,E-号AC-A.C-CD-VCD+C √2 2 +23v2 2 在△EDC,中，cos∠EDC,=-DE+CD:-C,E +⑨ 3√1 2DE·C1D 2X5×32 10 ,故B不正确， 2×2 对于C,由题意，得VB-APQ=VA-BPQ 因为在平面BB,C,C中，点B到CB1的距离为定值，且PQ二6， 所以△BPQ的面积是定值. 又因为三棱柱A1B1C1一ABC是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.又ADC平面ABC,所以BB1⊥AD. 因为D为BC的中点，AB=AC,所以BC⊥AD. 因为BB1∩BC=B,BB1,BCC平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C, 1 所以VA-sPQ=3 XADXS△BQ是定值，所以三棱锥B-APQ的体积为定值，故C正确。 对于D,设点A1到平面AC1D的距离为d. 因为AD-号，AC,=5,DC,-3号，所以AD+CD=AC,所以AD1CD. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC. 又AA1C平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AA1C1C. 因为平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AB⊥AC,ABC平面ABC,所以AB⊥平面AA1C1C. 因为D为BC的中点，所以点D到平面AA,CC的距离为2AB=号 由v=。海时×行×号×3号d-写×名×1x2x得d-号 故D正确.故选ACD. 12.-/-0.5【解析】 (xa)tan a cos asin atan a 1 2cosa cos(5x-a)tan(3x-a) -2sin a(-cos a)(-tan a)2. ④数学答案第3页（共7页） 13.2日（第1空2分，第2空3分）【解析】由题意，m=(1,a+26,a-1D(a,6∈R)是直线L的方向向量，m=(2, 3,3)是平面a的一个法向量. 5 a= 1a+2b_a-1 29 若1La,则m∥n,即2= 3,解得 则a十b=2; 3 b= 2’ 若1/e,则mLm,即m·n=2+3(a+26)+3(a-1)=60十6-1=0，解得a+b=合 【解析】在△ABC中，由osB+5snB=2,得smB+)-1 又BE(0,0,则B+晋-舌解得B=吾 由9 B co5 C2A及正弦定理，得egB+osC2c即cosB+beosC孕3 b c 3 ab. 由余弦定理得ca+c-+6.。2+63-c2g 2ac 2ab =3ab,则b=3 2 3 由正弦定理，得a cb1 a=sin A,c=sin C, sin A sin C sin B 3 因此a+c=mA+mC-sinA+sn管-A=nA+停asA+号nA -8smA+osA=5n(A+） 由0<A<,得g<A+吾<则sma+}(合小： 所以a:的承位范田是停] l5.解：()根据两角和的正切公式tan(a十)=一tan atan' tan a+tan B 1,1 10 10 代入tana=},tan月=7，得an(a十g)= 3+7 21211 120 …6分 1..1 -3×71-2i 21 (2)因为1-cos2a=2sin2a,sin2a=2 sin acos a, 所y1一cos2a=Zs1nQ一=s1nQ=tang, ………………10分 sin 2a 2sin acos a cos a 又因为ana=3,所以气cos20= sin 2a 3,…………13分 16.解：(1)在△ADC中，因为∠ACD=30°，∠BDC=45°，∠ADB=75°， 所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°，∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°.…3分 DC AC 又DC=203,所以由正弦定理可得in∠DACsin∠ADC,即203=AC sin30sin120,解得AC=60, 所以A船距离雷达站C的距离为60海里。…7分 ④数学答案第4页（共7页） (2)在△BDC中，因为∠BCA=45°，∠ACD=30°，∠BDC=45°， 所以∠DBC=180°-∠BCA-∠ACD-∠BDC=60. 由正弦定理可得 BC DC in∠BDC-sin∠DBC' Si0450-2033解得BC=202… 在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cOs∠BCA =602+(20√2)2-2×60×20W2c0s45°=2000， 獬得AB=20W5.…I3分 因为A臀以80海里/时的速度前金日处，面20.5-25≈149<1.5 30 所以能在1.5小时内赶到救援.……15分 17.(1)证明：如图，连接BO..AB⊥平面PBC,BC,PCC平面PBC,∴.AB⊥BC,AB⊥PC ∠ACB=45°，∴.在Rt△ABC中，∠CAB=45°，.AB=BC..点O为AC的中点，∴.BO⊥AC.…3分 又平面PAC⊥平面ABC,OBC平面ABC,平面ABC∩平面PAC=AC, ∴.BO⊥平面PAC.,PCC平面PAC,∴.BO⊥PC.… …6分 又AB∩BO=B,AB,BOC平面ABC,∴.PC⊥平面ABC.…7分 (2)解：取PA的中点E,连接OE,则OE为△PAC的中位线， OE∥PC,OE⊥平面ABC.…8分 以O为坐标原点，OB,OC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(√2,0,0)，C(0,W2,0),A(0,一√2,0)，P(0,W2,m), AB=(√2,2,0)，Ap=(0,2W2,m）.…10分 设平面PAB的法向量为n=(x,y,之)， 1AB·n=0,1W2x+√2y=0, 则 即 Ap.n=0,22y+mz=0. 令x=m,则y=-m,之=2W2,∴.n=(m,-m,2√2). …12分 设直线OP与平面PAB所成的角为a.:OP=(0,√2，m), ÷sina=lcos(OP,m=1Oi·n=V2m =v42 1021n|Vm2+2·√2m2+828' 3m-38m2+24=0,m2=12或m2=名 3' ①数学答案第5页（共7页） 解得m=23或m=6<1(舍去).… …15分 1 18.解：(1)因为√3 sin wxcos wx= 1 2 sin 2wx, 2 sin'wx= 所以fx)=3sin in2ar+2os2ar=snm2a+）】 …3分 因为函数了(x)的最小正周期T=,且T-无，所以无=，解得如=1， 2w 因此fx)=sin2x+ …5分 不等式f,即如2z士………6 很据正弦函数的图象，解不等式$in0<,得一4十2k<0<十2π，∈乙.……8分 令0=2z+否代人得-经+2x<2x+看<智+2kx,搬得kx-<r<km+5k∈Z 3 放不等式的解集为x，x+)∈ …11分 《3)令1-2+后当x[吾，]时，4∈[若，]，方程fx)=m恰好有网个不同的根等价于y-sim:在 一天，27上的图象与直线y=m有两个交点，…一 …12分 y=s如：在[晋]上的大致图象，如图。 结合y=sint在| π2π 6’3 上的图象，得 当m∈ 3,时，直线y=m与y=sint的图象有两个交点， 因此实数m的取值范围为 15分 由正弦函数图象的对称性知，若sin=sin1:=m,则，十1&=元，即2x:十石十2x:十名=元， 整理得2十）-行故1+：-子 π …17分 19.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PD=D,ADC平面PAD,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. 又DEC平面PAD,所以DE⊥AB.…2分 在△PAD中，AD=PD,E为AP的中点，所以DE⊥AP 又AP∩AB=A,APC平面PAB,ABC平面PAB, ①数学答案第6页（共7页） 所以DE⊥平面PAB.…4分 又DEC平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.…5分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2).…6分 ①因为PF=λPC,PC=(0,2,-2),所以F(0,2λ，2-2λ)， 所以DB=(2,1,0),Df=(0,2以，2-2λ).…7分 设平面BFD的法向量为n=(x,y,之)， 则"·D店=2x+y=0, n·DF-2λy+(2-2x)z=0. 令x1则y=-2%度a-(,-2》 2λ …9分 因为PA=(2,0,-2),PA∥平面BFD, 所以Pi,n=0,放2-2：2=0，解得X=号 3 …11分 ②当X=2时，F=(0,1,1).因为E为PA的中点，所以E(1,010. 所以BE=(-1,-1,1),BF=(-2,0,1).…12分 设平面BEF的法向量为m=(x1y1,之1)， m·BE=-x1-y1+之1=0， 则 m·BF=-2x1十z1=0. 令x1=1,则之1=2，y1=1,故m=(1,1,2).…14分 由(1)知DE⊥平面PAB,则DE=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量. 设平面BEF与平面PAB的夹角为9，则cos日=m·D 1+2 3 m|1D2V1+1+22X/1+1-2 又0c0,],所以0=若，放平面BEF与平面PAB的夹角大小为行 ，…17分 ①数学答案第7页（共7页）