25.1一元二次方程的概念（分层作业，6大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层级设计，实现从概念理解到思维创新的递进，适配新授课知识巩固与能力分层培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|定义、一般形式、解的判断|以选择填空为主，夯实概念基础，体现抽象能力| |B组|参数求解、代入求参|通过解答题深化理解，培养推理能力| |C组|新定义问题|创设“同构二次方程”等情境，发展创新意识与应用意识|

分层作业 25.1 一元二次方程的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 判断一元二次方程的解 B组 能力进阶 题型01 由一元二次方程的定义求参数 题型02 已知方程的根，代入求字母参数 C组 思维拔高 题型 新定义问题 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 5．若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）关于的方程是一元二次方程，求的值． 8．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 一元二次方程的一般形式题型02 1．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 3．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 6．把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 7．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 8．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 判断一元二次方程的解题型03 1．下列各数是方程的解的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 3．（25-26八年级上·上海·月考）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 5．当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的一个根；当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的又一个根，所以一元二次方程的根与一元一次方程的情况不同． 6．（25-26九年级上·山东乐陵·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 由一元二次方程的定义求参数题型01 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 3．（25-26八年级上·上海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 5．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 6．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值． 7．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 8．（24-25八年级下·山东·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 已知方程的根，代入求字母参数题型02 1．（24-25九年级·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．小颖解一元二次方程时，发现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答案为，则□代表的为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 6．（2025·吉林·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 7．（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·联考）若是方程的一个根，求代数式的值． 新定义问题题型 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 3．定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________ ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.1 一元二次方程的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 判断一元二次方程的解 B组 能力进阶 题型01 由一元二次方程的定义求参数 题型02 已知方程的根，代入求字母参数 C组 思维拔高 题型 新定义问题 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意， B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意， C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意， D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A、中，a可能为0，此时方程不是二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程，符合题意； D、的最高次数为3，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则，则这个一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数及常数项得到结果即可． 【详解】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是1，常数项是，则这个一元二次方程可能是. 故选：D． 4．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可． 【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 综上所述，一元二次方程共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴n=2，m-3≠0， 即，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 6．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），是一元二次方程； （2），不含二次项，不是一元二次方程； （3），是一元二次方程； （4），不是整式方程，不是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 8．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可； （2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可. 【详解】解：化简，得 ． 方程是关于的一元二次方程，得 ，解得， 当时，方程是关于的一元二次方程； 由一次项系数为零，得． 则原方程是，即． 因式分解得， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程. 一元二次方程的一般形式题型02 1．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握一元二次方程的一般形式． 根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：∵一元二次方程化为一般形式后，常数项为， ∴一般形式为， ∴一次项系数是， 故选：A． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ∴该方程的一般形式为， 故选A 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 5．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 6．把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项 【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可. 【详解】解：原方程整理得 ∴ ∴各项与各项的系数分别为：二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号． 7．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 8．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 判断一元二次方程的解题型03 1．下列各数是方程的解的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的概念，将选项中答案依次代入方程即可判断． 【详解】解：A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·月考）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 5．当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的一个根；当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的又一个根，所以一元二次方程的根与一元一次方程的情况不同． 【答案】 0 0 【分析】本题先将的值代入代数式计算结果，再根据一元二次方程根的定义确定对应方程即可. 【详解】解：当时，将代入得： 根据一元二次方程根的定义，可知是方程的一个根. 当时，将代入得： 根据一元二次方程根的定义，可知是方程的又一个根. 故答案为 ；；；． 6．（25-26九年级上·山东乐陵·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 【答案】的长或的长 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴，即， ∴也是方程的正根． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 由一元二次方程的定义求参数题型01 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，最高次数为2且二次项系数不为零，由此计算即可得解，解题的关键是需同时满足次数和系数条件． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．一元二次方程要求二次项系数不为零，因此． 【详解】解：方程是一元二次方程， 二次项系数， 的值不可能是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 5．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 6．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 7．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 8．（24-25八年级下·山东·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 已知方程的根，代入求字母参数题型02 1．（24-25九年级·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·北京·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 3．小颖解一元二次方程时，发现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答案为，则□代表的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：设代表的数为，则一元二次方程为, ∵方程的解为 ∴代入可得 解得 故答案选B 4．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将代入方程得到，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， 代入方程得：， 移项得：． ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 6．（2025·吉林·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】21 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 根据是关于的一元二次方程的解，可以得到的值，然后代入代数式，即可求得所求式子的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程的解， ， ， ， ， 故答案为：21． 7．（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】 解：有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 【详解】略 8．（25-26八年级上·安徽安庆·联考）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，以及代数式的化简与求值；解题的关键是将方程的根代入方程，求出关于的关系式，再将其代入待求代数式计算． 先把代入方程，得到关于的一元二次方程；然后化简该方程，得到的值；最后将的值代入代数式（先化简代数式为），计算出结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得：， 即． 整理得：， 则原式． 新定义问题题型 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 3．定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________ ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 【答案】① 【分析】根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断①，根据题意得出即可判断②。 【详解】①∵关于的方程与的解相同，即与0的解相同， ∴，故说法①正确。 ② ∵的最小值为 ∴当时，有最小值，且最小值为1； 当时，有最大值，且最大值为1，故说法②不正确。 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新定义是解题的关键。 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3) 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1) 解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）略 （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； （3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $