第6讲 1.3全等三角形的判定（第3课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七升八年级数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第6讲 1.3全等三角形的判定（第3课时) 【学习目标】 1. 探索并理解“边边边”判定方法（SSS），知道三边分别相等的两个三角形全等。 1. 掌握“边边边”判定方法，能运用SSS证明两个三角形全等。 1. 会用尺规作图：已知三边作三角形。 1. 了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。 【知识梳理】 一、回顾与思考 已学判定方法： 判定方法 简写 条件 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等 角角边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 核心问题：如果已知两个三角形的三边分别相等，能否判定它们全等？ 研究路径：从“三边分别相等”出发，通过尺规作图验证三角形是否唯一确定。 二、“边边边”判定方法（SSS） 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 注意：SSS是判定两个三角形全等的最基本方法之一——三边确定，三角形的形状和大小就唯一确定。 符号语言： 如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS） 关键理解：SSS判定方法不需要角的条件，仅凭三边相等即可判定两个三角形全等。 三、尺规作图：已知三边作三角形 已知：线段 、、。 求作：△ABC，使 ，，。 作法： 1. 作射线 ，在射线 上截取 ； 1. 分别以点 、 为圆心，、 为半径画弧，两弧相交于点 ； 1. 连接 、，△ABC 即为所求。 作图的意义：已知三边，只能作出唯一的三角形（不考虑位置），说明SSS判定是合理的。 四、三角形的稳定性 定义：三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 应用举例： 1. 房屋屋顶的三角形钢架 1. 自行车的车架 1. 电线杆的拉线结构 1. 桥梁的三角形支撑结构 四边形的不稳定性：四边形的四边长度确定后，形状可以改变（容易变形）。 对比：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 做一做（即时练习）： 1. 如图，在△ABC 和△DEF 中，，，，则△ABC ≌ △DEF 的依据是______。 1. 如图，在△ABC 和△DCB 中，，，（公共边），则判定△ABC ≌ △DCB 的依据是______。 1. 已知三边作三角形时，若三条线段中有两条较短线段之和等于第三条线段，则______（填“能”或“不能”）作出三角形。 1. 三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的______。 1. 下列图形中，具有稳定性的是（　　） · A. 四边形　　B. 五边形　　C. 三角形　　D. 六边形 【典例精讲】 【例1】（直接应用SSS证明全等） 已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：△ACD≌△BDC 【答案】 证明：连接DC， 在△ACD与△BDC中 ∴△ACD≌△BDC（SSS） 【反思】 公共边是证明全等时常见的隐含条件。当两个三角形有公共边时，公共边是对应边。 【例2】（运用SSS） 如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（　　） A．40° B．15° C．25° D．30° 【分析】由“SSS”可证△CAD≌△CBD，可得∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B，由“SAS”可证△ADM≌△BDN，可得∠ADM＝∠BDN＝30°，即可求解． 【解答】解：在△CAD和△CBD中， ， ∴△CAD≌△CBD（SSS）， ∴∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B， 又∵AC＝CB，M，N分别为CA，CB的中点， ∴AM＝BN，又AD＝BD， ∴△ADM≌△BDN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BDN＝30°， ∵∠ADN＝80°， ∴∠ADM+2∠CDN＝80°， ∴∠CDN＝25°， 故选：C． 【反思】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【例3】（SSS在证明角相等中的应用） 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：∠C=∠F． 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ∴∠C=∠F 【反思】 证明两个角相等，可以通过证明这两个角所在的三角形全等来实现。SSS是证明角相等的常用工具之一。 【跟踪练习1】 1. 如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是 ． 1. 如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝　　． 1. 如图，、为上两点，，，，求证：． 【举一反三】 1. 图中是全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 1. 如图，通过尺规作图得到的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 两边及其中一边的对角分别相等　　B. 三个角分别相等 · C. 三边分别相等　　D. 两边分别相等 1. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 5.如图，点在上，且，，， 试说明：点是的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由． 解： 因为 ， 所以 ， 因为 ，， 所以_______________（理由：SSS） 所以 （理由：_________________） 因为 （理由：_________________） 所以 所以__________________（理由：全等三角形对应边相等） 所以点是中点． 6.下列图形中，具有稳定性的是（　　） · A. 正方形　　B. 三角形　　C. 平行四边形　　D. 梯形 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. “边边边”判定方法简写为______。 1. 将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是_____。 1. 如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加______条件无法证明△ABC≌△DEF． 1. 如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有__对． 1. 已知如图，在△ABC和△BDE中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 三边分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 三角形具有稳定性，四边形也具有稳定性。（　　） 三、选择题。 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 三边分别相等　　B. 三个角分别相等 · C. 两边及其中一边的对角分别相等　　D. 两边分别相等 1. 如图，，，若，则还需添加的一个条件有(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 1. 下列图形中，具有稳定性的是（　　） · A. 四边形　　B. 五边形　　C. 三角形　　D. 六边形 1. 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． ◆ B组·能力提升 1. 下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 1. 如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为 ．    1. 如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． ◆ C组·思维拓展 16. 如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 17.如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 18.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB＝BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？ （3）在（2）的条件下，若EC⊥BF，EC＝3，求点E到AB的距离． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 SSS基本事实 三边分别相等的两个三角形全等 不需要角的条件 SSS符号语言 三组边相等 → 推出全等 注意对应关系 SSS作图 已知三边作三角形 三角形唯一确定 三角形稳定性 三边确定，形状唯一 四边形不具有稳定性 四种判定方法对比 判定方法 简写 条件 角/边位置关系 边角边 SAS 两边 + 夹角 角是两边的夹角 角边角 ASA 两角 + 夹边 边是两角的夹边 角角边 AAS 两角 + 对边 边是其中一角的对边 边边边 SSS 三边 不需要角 注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与。AAA、SSA不能判定两个三角形全等。 常见错误提醒 错误类型 正确理解 认为SSS需要角的条件 SSS只要求三边相等，不需要角 误认为SSA能判定全等 SSA不能判定全等，必须区分SAS和SSA 认为四边形也具有稳定性 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 找错对应边 根据SSS的条件，三组边要一一对应 误认为三个角相等能判定全等 AAA只能判定相似，不能判定全等 学习建议 1. 判断SSS时，找三组边分别相等。 1. 当题目中有公共边、中点、线段和差等条件时，往往可以运用SSS。 1. 证明角相等可以通过证明三角形全等来实现。 1. 记口诀：边边边，最简单；三条边，判全等。 1. 四种判定方法的区别： SAS：两边一角（角是夹角） ASA：两角一边（边是夹边） AAS：两角一边（边是对边） SSS：三边（不需要角） 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：SSS 1. 答案：SSS 1. 答案：不能 1. 答案：稳定性 1. 答案：C 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：AB=DE 1. 答案：40° 1. 答案：， ， 即， 在和中， 举一反三 1. 答案：B 1. 答案：A 1. 答案：C 1. 证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 5.解：因为 ， 所以 ， 因为 ，， 所以（理由：）， 所以 （理由：全等三角形对应角相等）， 因为 （理由：对顶角相等）， 所以 ， 所以（理由：全等三角形对应边相等）， 所以点是中点， 故答案为：，全等三角形对应角相等，对顶角相等，． 6.答案：B A组·基础过关 1. 答案：SSS 1. 答案：SSS 1. 答案：（答案不唯一）． 1. 答案：4 1. 答案：100° 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：× 1. 答案：A 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案： B组·能力提升 1. 答案：C 1. 答案：8 1. 答案：（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． C组·思维拓展 16.答案：在△ABD 和△ACD 中， ∴ △ABD ≌ △ACD（SSS），。在△ADE 和△ADF 中， ∴ △ADE ≌ △ADF（AAS），。 解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 17.答案：B 18.证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC， ∵在△ADE与△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，， ∴△ABE≌△FBE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； （3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE， ∴∠ABE＝∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离， ∵CE⊥BF，CE＝3， ∴点E到AB的距离为3． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（12题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（5题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $