专题1.8 三角形常考几何模型专训 讲义（9大题型+15道拓展培优题）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过“9大题型”系统构建三角形几何模型知识体系，涵盖中线、高、全等证明、辅助线、垂直平分线、角平分线及特殊三角形性质等核心内容，以题型框架呈现知识脉络，突出各考点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“经典例题+拓展培优题”设计，如“做辅助线证明三角形全等”中通过倍长中线法培养推理意识，“等边三角形性质”例题结合动态图形提升几何直观。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生解决复杂几何问题的能力。

专题1.8 三角形常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 根据三角形中线求长度和面积 题型二 与三角形高有关的计算问题 题型三 证明三角形全等 题型四 做辅助线证明三角形全等 题型五 垂直平分线的性质和判定 题型六 角平分线的性质和判定定理 题型七 等腰三角形的性质和判定 题型八 等边三角形的性质和判定 题型九 直角三角形的性质和判定 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 【例1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． (1)在方格纸中画出平移后的； (2)画出的角平分线，边上的中线； (3) 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图所示，角平分线，中线即为所求； (3)8 【分析】（1）根据点平移后的对应点是，得到平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，按照平移规则作图即可． （2）在上取格点，连接，即为的角平分线；取的中点，连接，即为边上的中线； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点是， ∴平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位； （2）略 （3）解：． 【点睛】本题考查了平移作图，作角平分线和中线，割补法求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）三角形的面积是24平方厘米，，是的中点，是的中点，求阴影面积． 【答案】14 【分析】此题考查利用中线求三角形的面积，根据，得到，， 再利用是的中点，是的中点，得到，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵三角形的面积是24平方厘米，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴阴影面积． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ∵的周长为10， ， ， ， ∴的周长． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题二 与三角形高有关的计算问题】 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知是上的高，，点是上的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含、的式子表示）； (2)可以仅通过一种图形的运动变换即可与完全重合，请写出具体的运动变换过程：________（包含主要要素）． 【答案】(1) (2)将绕点顺时针旋转，即可与完全重合 【分析】（）根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去三角形的面积，即可解答； （）根据旋转的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是上的高， ∴，共线，共线， ∵，， ∴， ∴阴影面积 ． （2）解：∵，，， ∴， 将绕点顺时针旋转，即可与完全重合． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的高线、三角形的面积等知识点，灵活运用等面积法求三角形的高是解题的关键． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，然后再求即可； （2）直接运用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵是中点， ∴， ， ∴， ， ∴的周长． （2）解：如图：过A作于M， ， ∴，解得：． ∴点A到的距离． 2．（2023八年级上 宁夏中卫·阶段测试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 【经典例题三 证明三角形全等】 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，点、在上，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； (2) 证明：由可知， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据，可知，根据两直线平行，内错角相等，可证，利用可证结论成立； 根据可知，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 【答案】(1) 解：，， ， ． 平分， ． 在和中， ， ． (2) 解：如图，过点分别作于点，的延长线于点． ，， ． 同（1）可知，． 又， 在和中， ， ． 【分析】（1）先证明，再通过证明即可证明结论； （2）过点分别作于点，的延长线于点．由同角的补角可得．同（1）可知，，再通过证明即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段检测）已知在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°． (1)如图1，若AD=10，∠BAD=90°，求CD的长度； (2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：； (3)如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1)DC=10 (2) 证明：如图，延长，在上面找一点，使得，连接 在和中 （） ， ， ， 在和中 （） (3)（2）中结论不成立，应该是：，理由： 在延长线上找一点，使得，连接 在和中 （） ， ， ， 在和中 （） 【分析】（1）如图1，利用证得两个直角三角形全等：，则其对应边相等：； （2）如图2，延长，在上面找一点，使得，连接，通过证（）得到：，．然后由全等三角形的徐表格中求得，结合已知条件可以推知； （3）（2）中结论不成立，应该是：． 如图，在延长线上找一点，使得，连接，构建全等三角形：（），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是度可以推得：． 【详解】（1）解，   在和中， （） ， （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 3．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 过点作于， ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； (2) 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 【经典例题四 做辅助线证明三角形全等】 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·单元测试）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 　　 (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 【答案】(1) 结论：AC＝EF+FC， 理由如下：过D作DH⊥CB于H， ∴∠DHC＝∠DHB＝ 90° ∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， ， ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC=BC， ∴∠B＝45°， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC＝CB+HB ∴AC＝FC+EF； (2) 依题意补全图形，结论：AC＝EF-CF， 理由如下： 过D作DH⊥CB交BC的延长线于H， ∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， ， ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC=HB-CH ∴AC＝EF-CF． (3)AC＝CF-EF 【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论； （2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论． （3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）AC=CF-EF． 如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H， 同理可证△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH=FC，DH=EF， ∵∠DHB=90°， ∴∠B=∠HDB=45°， ∴DH=HB=EF， ∵BC=CH-BH， ∴AC=CF-EF． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； (3) 解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）略 （3）略 2．（24-25八年级上·广东深圳·单元测试）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）略 （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题五 垂直平分线的性质和判定】 【例5】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点B、C关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，则的周长是____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，则直线即为所求的直线； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下： 则直线即为所求的直线； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， ∵，． ∴的周长为． 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 【答案】(1)如图，D即为所求； (2)证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点． 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）（1）如图，点为的内部一点．用直尺和圆规在，上分别作点，，得到四边形，使得． （2）如图，点为的内部一点，用直尺和圆规在，上分别作点，，得到四边形，使得．且四边形有一个角为直角． 【答案】 （1）如图，四边形即为所作 （2）如图，在图中，保留图中的垂线段，四边形即为所作． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、即可； （2）利用线段垂直平分线画图即可． 【详解】解：（1）如图， 连接，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、， ∴，， ∴， 则四边形即为所作； （2）如图， ①以点为圆心画弧，交于点、两点，连接、，则， ②分别以点、为圆心，以的长为半径分别画弧，在的另一侧交于点，连接、，则， ③连接交于点， ∴垂直平分， ∴，即， 在图中，保留图中的垂线段， ④以点为圆心，为半径画弧交于点， ⑤以为圆心，为半径画弧交的延长线于点， ⑥连接，作的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 即， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了尺规作图（作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线），线段垂直平分线的性质等知识点，解题关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【经典例题六 角平分线的性质和判定定理】 【例6】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 1．（26-27八年级上·江苏）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1) 如图，过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上， ∴平分； (2) ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理得到，，进而得到，从而得到结论； （2）易证得和，进而得到和，从而得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1) 如图所示： (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 3．（23-24八年级上·陕西商洛·单元测试）【问题情境】在和中，，，．    (1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； (2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：成立，证明：如图2，   ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； (3) ， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，   ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【详解】（1）证明：如图1，    在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定】 【例7】（2026八年级上 江苏南京·阶段测试）如图，在中，，点D、E分别为、的中点，连接，相交于点O．求证：点O在的垂直平分线上． 【答案】 证明：∵， ， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， 则点O在的垂直平分线上． 【分析】利用等腰三角形的性质可得， 结合已知可证，利用全等三角形的性质可得，即可证，从而证明点O在的垂直平分线上． 【详解】略 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】延长交的延长线于点，证明，得出，．结合，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【详解】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴，， 又是中点， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 又， 即． ∴是等腰三角形， ∵是中点， ∴，即． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出，即可得证； （2）作，交于点，进而得到，三线合一，得到，证明，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）作，交于点， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026八年级上 江苏扬州·阶段测试）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）． (1)若点与点重合，则 ， ； (2)若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为 ． (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)；； (2)； (3)证明：如图：延长、，交于点， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可解决问题； （2）延长、，交于点，易证，则有，接着证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而就可求出； （3）根据是的线段垂直平分线，得到，结合，得到，故可求解． 【详解】（1）解：若点与点重合， 则，， 故答案为：；； （2）解：如图：延长、，交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 由折叠可得， ， ， 故答案为：； （3）略． 【经典例题八 等边三角形的性质和判定】 【例8】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形； 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及等边三角形的判定是关键．根据等腰三角形的性质，求得，所以，可进一步求得，即可证明结论． 【详解】略 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； (2) 证明：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25八年级上·江苏盐城·单元测试）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2) 证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； (3) 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）略 （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 【经典例题九 直角三角形的性质和判定】 【例9】（2026八年级上 江苏常州·阶段测试）如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：略． （2）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：，由（1）知， ∴ ∵F是CE边上的中点， ． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】（1）解：，是边上的中线， ，， ； （2）略 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道，对于，若，则从顶点出发的中线、高线和角平分线互相重合，简称“三线合一”．小亮在学完这个知识后进一步探究发现，若，这三条线互不重合，而且排列具有一定的规律．下图中，，若从顶点出发，分别作出中线、高线和角平分线，你能发现这三条线的排列规律吗？请你写出、、在上的排列顺序，并给出证明． 【答案】 解：如下图所示，排列顺序是、、， 证明：如下图所示，在上截取， 是的中线， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在点的右侧； ， ， ，， ，， ， ， ， ， 点在点的右侧． 【分析】在上截取，可证，根据全等三角形的性质可知，根据三角形内角和定理和平角的定义可知，根据大角对大边可证；根据直角三角形的两个锐角互余，可证，可证． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边之间的关系，解决本题的关键是根据中，可得：，根据三角形中角之间的关系，找到边之间的大小关系． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)4 (3)线段的长不会发生变化，且 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，结合， 证明，根据，可证即可证明是直角三角形； （2）根据，结合，证明是直角三角形；再利用直角三角形的性质解答即可； （3）设，则，过点P作交于点F，证明 是等边三角形，得，证明， 得到，结合，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：线段的长不会发生变化，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点P作交于点F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故线段的长不会发生变化，且为． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）如图，直线，与分别相交于点，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到； （2）过作于，依据，即可求出． 【详解】（1）解：∵直线， ， 又， ； （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离． ， ， ∴点到直线的距离为． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·单元测试）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【分析】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 【详解】解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 7．（24-25八年级上·安徽淮北·单元测试）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵是边上的中线 ∴ ∴ (3) ，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点    ∵是边上的中线 ∴ 【分析】（1）由且即可求解； （2）证可推出即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：∵且 ∴ 故答案为： （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1) 证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)①证明：如图 设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， 由（1）可知，， 是等边三角形； ②如图，点即为所求， 【分析】（1）根据，可得，再由证明，则，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证；②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，可得，从而推出此时点的位置即为所求，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）略 （2）①略 ②为最小值时，与的数量关系是， 理由：延长至，使，如图， ， 垂直平分，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 此时点的位置即为所求 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 10．（24-25八年级上·四川成都·单元测试）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【答案】(1) 证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. (2) 证明：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，    (3)7.5 【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 11．（2026八年级上 江苏扬州·阶段测试）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1) 如图即为． (2) 如图，过点作，取中点为，中点为，连接，． ， ，， ，，，为等腰三角形． 【分析】（1）根据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法作； （2）根据“过直线外一点作该直线的垂线”的尺规作图方法作，然后作，的垂直平分线，得出的中点为，的中点为，连接，即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，连接，，相交于点，求证：； (2)如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：交于I， 和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) ，理由如下： 连接，， ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴，， 由(1)可知， ∴， ∵ G是的中点， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴． 【分析】考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定（）、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一．解题关键是通过角的和差证角相等，结合已知条件证全等；利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，再用三线合一证垂直．易错点是忽略角的和差转化，或混淆直角三角形斜边中线的应用条件． （1）由等腰直角三角形得，结合、，用证，得；通过对顶角相等，将转化为，证． （2）连接、，由等腰直角三角形斜边中线性质得，由得，故；结合H是中点，用等腰三角形三线合一证． 【详解】（1）略 （2）略 13．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【答案】 （1）证明：，即， ， 在和中， ， ； （2）； （3）6 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由，即，可得，用可知； （2）由和均为等腰直角三角形，得，故，而，知，故； （3）连接，，由和均为等腰直角三角形，知，而点为的中点，可得，，又，故，是等腰直角三角形，有，，从而可证，得，，，即得，故，得，从而，即可解得． 【详解】（1）略 （2）解：，，， 和均为等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ， ； （3）解：如图，连接，， ，，， 和均为等腰直角三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在上取点使，连接，由得为等边三角形，结合证得．利用推出，再通过角的和差关系，最终得到； （2）延长、交于，由得为等边三角形，故．结合（1）中证得，得，进而即可证明． 【详解】（1）解：如图1，在上取一点D，使，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长、交于， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以角为突破口，通过构造等边三角形，结合平行线性质与全等三角形判定，将陌生的角度计算与线段和问题转化为熟悉的几何模型，体现了构造法在几何解题中的关键作用． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接． 沿翻折至， ，． 为等边三角形， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ，即． (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含度的直角三角形的性质，解本题的关键是构造全等三角形． （1）连接，根据折叠的性质可得，；根据等边三角形的性质可得，，通过角的等量代换以及边的等量代换，结合等边对等角可得出，得到，进而得证． （2）过点作于，作交的延长线于， 根据角平分线的性质可得， 证得， 得到，证明 ， 得到， 在中， 利用含的直角三角形的性质可得， 借助（1）的结论可得 ， 从而得到，代值计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作于，作交的延长线于， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 三角形常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 根据三角形中线求长度和面积 题型二 与三角形高有关的计算问题 题型三 证明三角形全等 题型四 做辅助线证明三角形全等 题型五 垂直平分线的性质和判定 题型六 角平分线的性质和判定定理 题型七 等腰三角形的性质和判定 题型八 等边三角形的性质和判定 题型九 直角三角形的性质和判定 【经典例题一 根据三角形中线求长度和面积】 【例1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． (1)在方格纸中画出平移后的； (2)画出的角平分线，边上的中线； (3) 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）三角形的面积是24平方厘米，，是的中点，是的中点，求阴影面积． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·单元测试）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【经典例题二 与三角形高有关的计算问题】 【例2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在三角形中，已知是上的高，，点是上的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含、的式子表示）； (2)可以仅通过一种图形的运动变换即可与完全重合，请写出具体的运动变换过程：________（包含主要要素）． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 2．（2023八年级上 宁夏中卫·阶段测试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【经典例题三 证明三角形全等】 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，点、在上，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 2．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段检测）已知在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°． (1)如图1，若AD=10，∠BAD=90°，求CD的长度； (2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：； (3)如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 3．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【经典例题四 做辅助线证明三角形全等】 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·单元测试）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 　　 (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·广东深圳·单元测试）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【经典例题五 垂直平分线的性质和判定】 【例5】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点B、C关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，则的周长是____． 1．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 2．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）（1）如图，点为的内部一点．用直尺和圆规在，上分别作点，，得到四边形，使得． （2）如图，点为的内部一点，用直尺和圆规在，上分别作点，，得到四边形，使得．且四边形有一个角为直角． 【经典例题六 角平分线的性质和判定定理】 【例6】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 1．（26-27八年级上·江苏）如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 3．（23-24八年级上·陕西商洛·单元测试）【问题情境】在和中，，，．    (1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； (2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定】 【例7】（2026八年级上 江苏南京·阶段测试）如图，在中，，点D、E分别为、的中点，连接，相交于点O．求证：点O在的垂直平分线上． 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在梯形中，，点为边的中点，连接、，且．求证：． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 3．（2026八年级上 江苏扬州·阶段测试）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）． (1)若点与点重合，则 ， ； (2)若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为 ． (3)在（2）的条件下，求证：． 【经典例题八 等边三角形的性质和判定】 【例8】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·单元测试）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【经典例题九 直角三角形的性质和判定】 【例9】（2026八年级上 江苏常州·阶段测试）如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道，对于，若，则从顶点出发的中线、高线和角平分线互相重合，简称“三线合一”．小亮在学完这个知识后进一步探究发现，若，这三条线互不重合，而且排列具有一定的规律．下图中，，若从顶点出发，分别作出中线、高线和角平分线，你能发现这三条线的排列规律吗？请你写出、、在上的排列顺序，并给出证明． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 2．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）如图，直线，与分别相交于点，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，求点到直线的距离． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·单元测试）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 7．（24-25八年级上·安徽淮北·单元测试）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 10．（24-25八年级上·四川成都·单元测试）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 11．（2026八年级上 江苏扬州·阶段测试）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，连接，，相交于点，求证：； (2)如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 14．（25-26八年级上·江苏南通·单元测试）如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，． (1)求的度数； (2)求证：． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将沿翻折至，为上一点，． (1)求证：； (2)如图，为上一点，连接、，，若，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $