专题02 全等三角形及其判定 讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习) 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识点，从图形变换（平移、翻折、旋转）角度揭示“重合”本质，系统梳理概念、对应边角关系、性质（对应边和角相等及周长面积推论）与判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），构建从概念到性质再到判定的学习支架，为后续几何学习奠定基础。 资料以“观察-猜想-操作-验证”为主线，通过易错点警示（如SSA误区、HL适用前提）和分层题型（基础到综合，含倍长中线模型），培养学生几何直观与逻辑推理能力。课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过典型例题与错题分析查漏补缺，强化模型思想应用。

专题02全等三角形及其判定精讲学案 课堂核心立意 立足“重合”这一本质，从图形变换（平移、翻折、旋转）角度认识全等；经历观察、猜想、动手操作、归纳验证，得到全等三角形的性质与判定定理。发展学生几何直观、逻辑推理能力，学会规范书写几何证明，建立“执因索果、逆向分析”的几何思维，体会模型思想，为后续几何学习打下基础。 全等图形 能够完全重合的图形叫做全等图形；特征：形状相同、大小相等，与摆放位置无关。 平移、翻折、旋转前后的图形全等。 全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，符号：。 书写要求：对应顶点写在对应位置上，如 ABC DEF，A对D，B对E，C对F。 对应边、对应角 互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 找对应边角小技巧： ①公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； ②最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角。 全等三角形的性质（高频考点） 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 拓展推论：周长相等、面积相等； ⚠️注意：周长、面积相等的三角形，不一定全等，不能当作判定使用。 全等三角形的判定 普通三角形判定共4种：SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形额外有HL ❌禁止：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等！ SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等，两个三角形全等。 关键点：必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角。 常见隐含条件：公共角、对顶角。 ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等，两个三角形全等。 关键点：相等的边必须是两个角中间的夹边。 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等。 苏科版：由三角形内角和，AAS可由ASA推导出来。 经常结合平行线，得到同位角、内错角相等作为条件。 SSS（边边边） 三条边对应相等，两个三角形全等。 推论：三角形的稳定性，三边确定，三角形形状大小固定；四边形没有稳定性。 HL（斜边、直角边，只用于直角三角形） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ⚠️前提条件：必须是直角三角形，做题要先有垂直/直角条件，普通三角形不能用HL。 判定方法选择思路（解题核心） 1. 已知两边：找夹角SAS，或找第三条边SSS； 2. 已知两角：找任意一组对应边ASA/AAS}； 3. 已知一边一角：找另一组角，或该角的另一组邻边； 4. 直角三角形：优先考虑HL，也可以用SAS/ASA/AAS。 1. 全等书写时对应顶点位置写错，后续直接找错对应边、对应角； 2. 运用SAS判定时，误用两边及其中一边的对角（SSA）证明全等，忽略必须是夹角； 3. 将HL判定用在普通非直角三角形；使用HL时，漏掉题干“直角/垂直”这个前提条件； 4. 错误认为“周长相等、面积相等的两个三角形就一定全等”，反向把性质当判定； 5. 几何证明跳步，条件没有推导出来，直接拿来用；缺少条件就得出全等结论； 6. 混淆对应边、对应角和对边、对角的概念；看到全等符号，不会快速定位对应边角； 7. ASA和AAS混淆：分不清哪条是两角的夹边，选判定定理出错； 8. 看不见题目隐含条件：忽略公共边、公共角、对顶角；平行线、垂直给出的间接等角条件； 9. 全等性质用反：证明完全等之后，错写非对应边角相等； 10. 做尺规作图题，不保留作图圆弧痕迹；语言描述作图步骤表述不严谨。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 将已知图形分割成几个全等图形 ★★ 题型三 全等三角形的概念 ★ 题型四 全等三角形的性质 ★★ 题型五 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型六 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型七 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★★ 题型八 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型九 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十一 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十三 三角形的稳定性及应用 ★ 题型十四 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型十五 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十六 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十七 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十八 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十九 倍长中线模型 ★★★★ 题型二十 全等三角形综合 ★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一： 图形的全等 解题思路： ①全等图形定义：能够完全重合，形状、大小都相同，和摆放位置无关； ②平移、旋转、翻折前后的图形全等； ③仅形状相同（大小不同）、仅大小相同（形状不同）都不是全等图形。 1．下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 3．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 题型二：将已知图形分割成几个全等图形 解题思路： ①分割后的各部分必须形状、大小完全一致； ②利用图形的对称性、网格等分，先算总面积，求出每一块的面积； ③画线分割，多次尝试，保证分割出的每一块可以完全重合。 4．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 6．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 题型三：全等三角形的概念 解题思路： ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； ②找准对应顶点、对应边、对应角；书写全等符号时，对应顶点写在对应位置； ③注意：对应边/角≠对边/对角，不要混淆概念。 7．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 8．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 9．已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 题型四：全等三角形的性质 解题思路： ①全等三角形：对应边相等，对应角相等；拓展：周长相等、面积相等； ②由全等先找相等边、相等角，作为后续证明的条件； ③周长、面积相等的三角形不一定全等，不能反过来当判定使用。 10．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 11．如图，，点在线段上，，，则________． 12．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 题型五：尺规作图 —— 作三角形 解题思路： ①依据判定定理作图：已知两边夹角(SAS)、两角夹边(ASA)、三边(SSS)作三角形； ②保留作图痕迹：圆弧、截取得的线段，不擦除辅助弧线； ③严格按步骤：先画基准边，再作角、截取边长，最后连接顶点。 13．已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 14．课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 15．利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 题型六：用 SAS 证明三角形全等 解题思路： ①SAS：两边及其夹角对应相等，注意必须是两边的夹角，不能是“边边角SSA”； ②先找两组相等边，再找它们中间的夹角相等； ③公共角、对顶角可以直接作为相等夹角条件。 16．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 17．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 18．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型七：用 SAS 间接证明三角形全等 解题思路： ①不能直接得到条件时，先利用等式性质：线段相加/相减得到需要的边相等； ②先证一组角或者边相等，再套用SAS完成全等证明； ③看清夹角，避开SSA陷阱。 19．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 20．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 21．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 题型八：全等的性质和 SAS 综合 解题思路： ①先用SAS证三角形全等； ②再利用全等性质得到对应边、对应角相等； ③结合角的和差、线段和差，求解线段长或角度大小。 22．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 23．如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 24．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 题型九：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路： ①ASA：两角及其夹边对应相等；AAS：两角及其中一组等角的对边相等； ②公共边、对顶角、平行线得到内错角/同位角，常作为条件； ③区分ASA与AAS：看相等的这条边是不是两个角的夹边。 25．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 26．如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 27．如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 题型十：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路： ①先用ASA/AAS证明全等； ②借助全等推出边角相等； ③常和平行线、三角形内角和结合，计算角度、线段。 28．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，要想知道A、B两点的距离，只需测出图中（） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 29．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 30．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 题型十一：用 SSS 证明三角形全等 解题思路： ①SSS：三条边对应相等，两三角形全等； ②条件常来自公共边、线段和差得到相等线段； ③三条边全部对应相等即可，不需要找角的条件。 31．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 32．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 33．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 题型十二：全等的性质和 SSS 综合 解题思路： ①通过SSS证明全等，得到对应角、对应边相等； ②结合线段加减、角的加减进行计算； ③SSS可用来证明角相等，不需要再用角的判定。 34．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 35．如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 36．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型十三：三角形的稳定性及应用 解题思路： ①三角形三边确定，形状大小固定，就是三角形稳定性；四边形不具备稳定性； ②实际应用：支架、钢架固定；四边形变形问题通过加对角线变成三角形实现加固。 37．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 38．劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 39．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型十四：用 HL 证全等（HL） 解题思路： ①HL只适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等，两个Rt△全等； ②做题先标注两个三角形是直角三角形； ③普通三角形不能使用HL，不要和SSA混淆。 40．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 42．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 题型十五：全等的性质和 HL 综合 解题思路： ①先确定两个直角三角形，找斜边、直角边条件，用HL证全等； ②利用全等得到边角相等，再进行线段、角度计算； ③直角除了直接给出，还可以来自垂直条件。 43．如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 44．如图，在和中，，，若，则__________． 45．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为(   ) A．2 B． C．4 D． 题型十六：利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题思路： ①在网格中构造全等三角形，把分散角转移，进行角的等量代换； ②经常和45°、90°特殊角结合； ③通过全等把要计算的角拼到同一个直角或者等腰直角三角形中求和。 46．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 47．如图，在的方格纸中_____． 48．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十七：添加条件使三角形全等 解题思路： ①先看题目已经给出哪些边、角条件； ②结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL，分析还缺哪一个条件； ③注意SSA不能作为判定，不能填这类无效条件；直角三角形优先考虑HL。 49．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 50．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 51．如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 题型十八：灵活选用判定方法证全等 解题思路： ①看已知条件：已知两边→找夹角(SAS)或第三边(SSS)；已知两角→找一条对应边(ASA/AAS)；已知一边一角→找另一角，或者角的邻边； ②直角三角形优先尝试HL； ③公共边、公共角、对顶角是题目隐含条件，注意挖掘。 52．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 53．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 54．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型十九：倍长中线模型 解题思路： ①模型条件：题干出现三角形中线； ②辅助线做法：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等； ③作用：转移线段，把分散的两条边转移到同一个三角形中，再用三边关系求解； ④得到边平行、线段相等的结论。 55．如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 57．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型二十：全等三角形综合 解题思路： ①多步证明：常常先证一次全等，得到边角条件，再证第二次全等； ②结合平行线、垂直、三角形内角和、外角； ③常见模型：倍长中线、一线三垂直、旋转全等； ④看清求证目标，逆向推导，从要证明的结论反推需要哪些条件。 58．在如图的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（   ）个与全等的格点三角形（不含）． A．3 B．4 C．7 D．8 59．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 60．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 解答题 1．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 2．如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，点E、F在上，，，．求证． 4．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 5．如图，已知，，，求证：． 6．如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 7．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 8．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 9．如图，于E，于F，，．求证：． 10．如图所示是一个的正方形，求的度数． 11．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 12．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形及其判定精讲学案 课堂核心立意 立足“重合”这一本质，从图形变换（平移、翻折、旋转）角度认识全等；经历观察、猜想、动手操作、归纳验证，得到全等三角形的性质与判定定理。发展学生几何直观、逻辑推理能力，学会规范书写几何证明，建立“执因索果、逆向分析”的几何思维，体会模型思想，为后续几何学习打下基础。 全等图形 能够完全重合的图形叫做全等图形；特征：形状相同、大小相等，与摆放位置无关。 平移、翻折、旋转前后的图形全等。 全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，符号：。 书写要求：对应顶点写在对应位置上，如 ABC DEF，A对D，B对E，C对F。 对应边、对应角 互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 找对应边角小技巧： ①公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； ②最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角。 全等三角形的性质（高频考点） 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 拓展推论：周长相等、面积相等； ⚠️注意：周长、面积相等的三角形，不一定全等，不能当作判定使用。 全等三角形的判定 普通三角形判定共4种：SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形额外有HL ❌禁止：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等！ SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等，两个三角形全等。 关键点：必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角。 常见隐含条件：公共角、对顶角。 ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等，两个三角形全等。 关键点：相等的边必须是两个角中间的夹边。 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等。 苏科版：由三角形内角和，AAS可由ASA推导出来。 经常结合平行线，得到同位角、内错角相等作为条件。 SSS（边边边） 三条边对应相等，两个三角形全等。 推论：三角形的稳定性，三边确定，三角形形状大小固定；四边形没有稳定性。 HL（斜边、直角边，只用于直角三角形） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 ⚠️前提条件：必须是直角三角形，做题要先有垂直/直角条件，普通三角形不能用HL。 判定方法选择思路（解题核心） 1. 已知两边：找夹角SAS，或找第三条边SSS； 2. 已知两角：找任意一组对应边ASA/AAS}； 3. 已知一边一角：找另一组角，或该角的另一组邻边； 4. 直角三角形：优先考虑HL，也可以用SAS/ASA/AAS。 1. 全等书写时对应顶点位置写错，后续直接找错对应边、对应角； 2. 运用SAS判定时，误用两边及其中一边的对角（SSA）证明全等，忽略必须是夹角； 3. 将HL判定用在普通非直角三角形；使用HL时，漏掉题干“直角/垂直”这个前提条件； 4. 错误认为“周长相等、面积相等的两个三角形就一定全等”，反向把性质当判定； 5. 几何证明跳步，条件没有推导出来，直接拿来用；缺少条件就得出全等结论； 6. 混淆对应边、对应角和对边、对角的概念；看到全等符号，不会快速定位对应边角； 7. ASA和AAS混淆：分不清哪条是两角的夹边，选判定定理出错； 8. 看不见题目隐含条件：忽略公共边、公共角、对顶角；平行线、垂直给出的间接等角条件； 9. 全等性质用反：证明完全等之后，错写非对应边角相等； 10. 做尺规作图题，不保留作图圆弧痕迹；语言描述作图步骤表述不严谨。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 将已知图形分割成几个全等图形 ★★ 题型三 全等三角形的概念 ★ 题型四 全等三角形的性质 ★★ 题型五 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型六 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型七 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★★ 题型八 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型九 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十一 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十三 三角形的稳定性及应用 ★ 题型十四 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型十五 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十六 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十七 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十八 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十九 倍长中线模型 ★★★★ 题型二十 全等三角形综合 ★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一： 图形的全等 解题思路： ①全等图形定义：能够完全重合，形状、大小都相同，和摆放位置无关； ②平移、旋转、翻折前后的图形全等； ③仅形状相同（大小不同）、仅大小相同（形状不同）都不是全等图形。 1．下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 2．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 3．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 题型二：将已知图形分割成几个全等图形 解题思路： ①分割后的各部分必须形状、大小完全一致； ②利用图形的对称性、网格等分，先算总面积，求出每一块的面积； ③画线分割，多次尝试，保证分割出的每一块可以完全重合。 4．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 6．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 题型三：全等三角形的概念 解题思路： ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； ②找准对应顶点、对应边、对应角；书写全等符号时，对应顶点写在对应位置； ③注意：对应边/角≠对边/对角，不要混淆概念。 7．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 8．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 9．已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 题型四：全等三角形的性质 解题思路： ①全等三角形：对应边相等，对应角相等；拓展：周长相等、面积相等； ②由全等先找相等边、相等角，作为后续证明的条件； ③周长、面积相等的三角形不一定全等，不能反过来当判定使用。 10．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 11．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 12．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 题型五：尺规作图 —— 作三角形 解题思路： ①依据判定定理作图：已知两边夹角(SAS)、两角夹边(ASA)、三边(SSS)作三角形； ②保留作图痕迹：圆弧、截取得的线段，不擦除辅助弧线； ③严格按步骤：先画基准边，再作角、截取边长，最后连接顶点。 13．已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 14．课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 15．利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】根据作图顺序进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知，先作，然后作线段，再过点C作，即作，因此根据作图的已知条件为两角及一角的对边． 题型六：用 SAS 证明三角形全等 解题思路： ①SAS：两边及其夹角对应相等，注意必须是两边的夹角，不能是“边边角SSA”； ②先找两组相等边，再找它们中间的夹角相等； ③公共角、对顶角可以直接作为相等夹角条件。 16．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点 ， 在和中 判定依据是． 17．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 18．能判断的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判定即可得出答案． 【详解】解：A．由不能判定，故不符合题意； B．由不能判定，故不符合题意； C．由不能判定，故不符合题意； D．由能判定，故符合题意； 故选：D． 题型七：用 SAS 间接证明三角形全等 解题思路： ①不能直接得到条件时，先利用等式性质：线段相加/相减得到需要的边相等； ②先证一组角或者边相等，再套用SAS完成全等证明； ③看清夹角，避开SSA陷阱。 19．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 20．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 21．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 题型八：全等的性质和 SAS 综合 解题思路： ①先用SAS证三角形全等； ②再利用全等性质得到对应边、对应角相等； ③结合角的和差、线段和差，求解线段长或角度大小。 22．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据O为和的中点，且即可判定，即可求得的长度． 【详解】解：连接，， ∵，的中点连在一起， ∴，， ∵， ∴， 即， 故． 23．如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，解答即可； 【详解】解：∵凳腿和的长相等，是它们的中点， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴； 24．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 题型九：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路： ①ASA：两角及其夹边对应相等；AAS：两角及其中一组等角的对边相等； ②公共边、对顶角、平行线得到内错角/同位角，常作为条件； ③区分ASA与AAS：看相等的这条边是不是两个角的夹边。 25．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 26．如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：AAS． 根据“角角边”的方法判定即可得到答案． 【详解】解：添加条件， 在和中， ∴ 故答案为：． 27．如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 通过证明，再通过全等三角形的对应边相等得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴与，之间的距离相等的是， 故选：A． 题型十：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路： ①先用ASA/AAS证明全等； ②借助全等推出边角相等； ③常和平行线、三角形内角和结合，计算角度、线段。 28．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，要想知道A、B两点的距离，只需测出图中（） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据“”证明，得到，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴要想知道A、B两点的距离，只需测出图中的长度． 故选：D． 29．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 【答案】①②③ 【分析】由“”可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， 又， ， ，，， 平分，故①②③正确． 30．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ∴的周长为． 题型十一：用 SSS 证明三角形全等 解题思路： ①SSS：三条边对应相等，两三角形全等； ②条件常来自公共边、线段和差得到相等线段； ③三条边全部对应相等即可，不需要找角的条件。 31．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 32．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 33．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 题型十二：全等的性质和 SSS 综合 解题思路： ①通过SSS证明全等，得到对应角、对应边相等； ②结合线段加减、角的加减进行计算； ③SSS可用来证明角相等，不需要再用角的判定。 34．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴， 即即是的平分线． 故选：B． 35．如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故答案为：． 36．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 题型十三：三角形的稳定性及应用 解题思路： ①三角形三边确定，形状大小固定，就是三角形稳定性；四边形不具备稳定性； ②实际应用：支架、钢架固定；四边形变形问题通过加对角线变成三角形实现加固。 37．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 38．劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 39．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 题型十四：用 HL 证全等（HL） 解题思路： ①HL只适用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等，两个Rt△全等； ②做题先标注两个三角形是直角三角形； ③普通三角形不能使用HL，不要和SSA混淆。 40．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：． 41．如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 42．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 题型十五：全等的性质和 HL 综合 解题思路： ①先确定两个直角三角形，找斜边、直角边条件，用HL证全等； ②利用全等得到边角相等，再进行线段、角度计算； ③直角除了直接给出，还可以来自垂直条件。 43．如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ 则A，B，D正确；C不一定正确． 故选：C． 44．如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 45．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 题型十六：利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题思路： ①在网格中构造全等三角形，把分散角转移，进行角的等量代换； ②经常和45°、90°特殊角结合； ③通过全等把要计算的角拼到同一个直角或者等腰直角三角形中求和。 46．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 47．如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 题型十七：添加条件使三角形全等 解题思路： ①先看题目已经给出哪些边、角条件； ②结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL，分析还缺哪一个条件； ③注意SSA不能作为判定，不能填这类无效条件；直角三角形优先考虑HL。 49．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 50．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题已经给了和（隐藏条件），所以添加即可用来判定． 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． 51．如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 题型十八：灵活选用判定方法证全等 解题思路： ①看已知条件：已知两边→找夹角(SAS)或第三边(SSS)；已知两角→找一条对应边(ASA/AAS)；已知一边一角→找另一角，或者角的邻边； ②直角三角形优先尝试HL； ③公共边、公共角、对顶角是题目隐含条件，注意挖掘。 52．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：根据三角形全等的判定定理，只有选项C满足ASA条件，能唯一确定三角形的形状和大小． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，不符合题意； B、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； C、能确定唯一三角形，符合题意； D、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； 故选：C． 53．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 54．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 题型十九：倍长中线模型 解题思路： ①模型条件：题干出现三角形中线； ②辅助线做法：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等； ③作用：转移线段，把分散的两条边转移到同一个三角形中，再用三边关系求解； ④得到边平行、线段相等的结论。 55．如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 【详解】解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． 56．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 57．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型二十：全等三角形综合 解题思路： ①多步证明：常常先证一次全等，得到边角条件，再证第二次全等； ②结合平行线、垂直、三角形内角和、外角； ③常见模型：倍长中线、一线三垂直、旋转全等； ④看清求证目标，逆向推导，从要证明的结论反推需要哪些条件。 58．在如图的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（   ）个与全等的格点三角形（不含）． A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查三角形全等的判定，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：． 根据判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ∴正方形每条边上（该边上的边与相等）都可作两个全等的三角形， ∴共有八个全等三角形， ∴图中能画出与全等的格点三角形（不含）的个数为7个， 故选：C． 59．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及动点问题的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合动点的运动路程与速度、时间的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设运动时间为秒，则，，， ①若≌， 则，， 即 解得； ②若≌， 则，， 即 解得 故或． 故选：C ． 60．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 解答题 1．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 2．如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 3．如图，点E、F在上，，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在与中， ∴． 【分析】先说明、，再利用“边角边”即可证明结论． 【详解】略 4．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【答案】(1)证明：在与中， ∴， ∴， 即平分． (2)证明：由（1）得， 在与中， ∴， ∴ 【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由等式的性质可得，由可得，进而可通过角角边的判定定理证明． 【详解】略 6．如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】由证明，进而得出结论． 【详解】略 7．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【详解】略 8．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略 10．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 11．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【答案】(1)①（①或②都可以） (2)见解析 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到；添加②，由两个三角形全等的判定定理得到. （2）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】（1）解：添加①或②都可以 （2）证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加②， ， ， 在与中， ， ， ． 12．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $