专题三 线段的垂直平分线和角平分线【（挑战压轴题）导图知识卡片+五大考点讲练+思维拓展训练 共35题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦线段的垂直平分线和角平分线核心知识点，系统梳理其性质、判定及实际应用，以性质为基础、判定为延伸、实际应用为拓展，构建从基础到综合的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料含思维导图直观呈现知识结构，五大考点通过典例精讲与对应练习培养推理能力，实际应用题（如凉亭位置设计）提升应用意识。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺，发展数学思维与应用能力。

null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 线段的垂直平分线和角平分线 【思维导图+五大考点讲练+思维拓展训练 共35题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质 2 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定 8 【压轴考点03】角平分线的性质定理 13 【压轴考点04】角平分线的判定定理 19 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用 26 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【对应练习1】已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【思路引导】（1）过点E作交的延长线于点H，求出，然后利用角平分线的性质定理求解； （2）连接，，首先证明，得到，推出，然后证明，得到，即证明． 【规范解答】（1）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点E到的距离； （2）略 【对应练习2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【思路引导】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【考点剖析】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 【对应练习3】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【思路引导】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【思路引导】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【对应练习1】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【思路引导】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）略 【对应练习2】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴即 又∵ ∴ ∴，即平分； (2) 证明：∵ ∴ 由（1）可得 ∴垂直平分 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的判定； （1）证明得出，即可得证； （2）根据（1）可得，，即可得证； 【对应练习3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． (1)如图1，当点F与点A重合时，求线段与的数量关系； (2)如图2，当点F不与点A重合时，求线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 结论：． 理由：如图2，过点 作交的延长线于，连接．   ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． (3)的长为或1 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理． （1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，设，则，构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 垂直平分， ． （2）略 （3）如图3中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在线段的延长线上时，设，则．   ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【压轴考点03】角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 【对应练习1】已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【答案】(1)证明：平分，，， ，， 在和中， ， ； (2)2 【思路引导】（1）根据角平分线的性质可得，根据可证； （2）由题意可证：，可得，由，可得的长． 【规范解答】（1）略； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【规范解答】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵ 为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 【对应练习3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【思路引导】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【规范解答】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【考点剖析】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． 【压轴考点04】角平分线的判定定理 【典例精讲】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【思路引导】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【对应练习1】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【思路引导】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【规范解答】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 【对应练习2】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． (1)如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； 【答案】(1)，， (2) 证明：如图，过点O作，过O点作，设与交于点G， ∵，， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据绝对值与算术平方根的非负性求出a、b的值，进而得到A、B坐标，再通过作辅助线构造全等三角形求出C点坐标即可； （2）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边上的高相等得出，再利用角平分线的判定即可得证． 【规范解答】（1）解：∵， ∴、， ∴，， ∴，， 如图，过C作轴于D， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）略 【对应练习3】在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； (2) 证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． (3) 【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【思路引导】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【规范解答】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【对应练习1】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，： (1)如图1，当为中边上的高线时，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、角平分线的定义、三角形的高． 根据为中边上的高线，可知，设，利用勾股定理可得：，解方程求出的值，即为的长，再用勾股定理求出的长即可； 过点作，可证，根据全等三角形的性质可以求出，设，则，利用勾股定理可得：，解方程求出的值即为的长度． 【规范解答】（1）解：设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示，过点作， ， 为的平分线， ， 在和中，， ， ，， ， ， 由可知，， ， 设， 则，， 在中，， ， 解得：， ． 【对应练习2】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2) ①画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【规范解答】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①略 ②略 【对应练习3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【规范解答】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【思路引导】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【规范解答】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 3．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【思路引导】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【思路引导】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【规范解答】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 5．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】根据平行线的性质和角平分线的定义可证，从而判断①；利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而通过全等三角形证明，从而判断②；分情况讨论，当在的同侧时，根据②的结论得出，证明，得出，进而可得，当在的异侧时，得出，从而判断③． 【规范解答】解：①， ， 平分，平分， ， ， ， 在中， ， ．故①正确； ②过点作于，交于，作于， ， ， 平分，，， ， 同理可得， ， 在和 中， ， ， ．故②正确； ③当在的同侧时由②可得 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当在的异侧时， ， 同理可得，而， ∴，故③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【思路引导】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【规范解答】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 7．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【思路引导】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【答案】 【思路引导】作于点G，作于点H，由轴对称的性质得，，由角平分线的性质得，然后根据求解即可． 【规范解答】解：作于点G，作于点H， ∵点关于的对称点恰好是中点， ∴，， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为4． 9．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【思路引导】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【规范解答】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． 【答案】①②③ 【思路引导】根据作图可得是的垂直平分线，进而逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：根据作图可得，，， ∴是的垂直平分线 ∴，故①正确， ，， ∴点与点关于直线对称；故②正确， ∵， 若，则四边形的周长为 ，故③正确， ∵， ∴四边形的面积为，故④不正确． 综上所述，正确的序号为①②③． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【思路引导】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【规范解答】略 12．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【思路引导】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）略 14．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 证明：连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【思路引导】（1）根据题意得出，，再由等量代换即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，利用垂直平分线的判定得出垂直平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明 【规范解答】（1）略． （2）略． 15．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【思路引导】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三线段的垂直平分线和角平分线 【思维导图+五大考点讲练+思维拓展训练共35题〔原卷版〕】 目录 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质★★★ 2 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定★★★★ 3 ,【压轴考点O3】角平分线的性质定理★★★ .5 ,【压轴考点04】角平分线的判定定理★★★ .7 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用★★★★ .9 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 【专题复习思维导图指引】 八年级上册苏科版数学 挑战压轴题专题03《线段的垂直平分线与角平分线》思维导图 一、线段垂直平分线的性质 三、性质定理的应用 定义重直平分一条线织的直线，叫隙这条线职的 1.列廊点的位直 垂真平分线 ,若A=PB,则点P在线级AB的海直平分线上 2性质定理 ·若D-PE(点P在∠AOB内) 线段细直平分线上的点到线段两端的距离相等。】 则点P在∠A0B的平分线上. 几何请离：：【是线段B的重直平分线。P是【上任意一点 2解决三角形中的问题 +4别PB 3判定定理 ()装线段量直票分线 到线餐两端距商相等的点在这条线曼的睡直平分线上。 线段的垂直平分线 在三角形中，若已如PDP 且PD⊥B,PE1LAC, 与角平分线 本阳能质定草国等提图 A应用苹例 证明点在线胶垂直平分线上 绿学级0年 3馨决四边形中的问 三角全等等储论 二、角平分线的性质 4常用作图与方法 四、压轴题考点技巧 a 件角平分城： 拍流技巧 以点0为膜心，任鱼长为率径燕氧，文0A,0B于CD: 分则以CD为暖心，大于号CD的铁为率轻衡狐，两弧在 ∠，OB内交于点P:作射性OP.OP那为∠OB的平分运 2,常见罐助线 PD:PE 1 08. 3.解领 西空的内列指丙动面真后等的点在这个角的摩分生 五，知识8结 几同婚客1~PD-PE,阳⊥0L.P座1OB,点P春∠kB内即 线酸带直平分线 角平分线 众易福授醒 0P是的平分线 ·意“角的内部的条件，定定中点必须在角的内 重直平分线与角平分的性与判定不可爱清 作图必符合定义。符号表达规（知：雨记号。等记号） 第1页共17页 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上全国开学考试)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE1AB, 垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. E (1)求证：AC是∠BAD的平分线： (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC. 【对应练习1】己知，如图，AD平分∠BAC,AD⊥AE交BC的垂直平分线EG于E,EF⊥AB于F. B GD (1)点E到AC的距离 EF(填>，=或<) (2)求证：AF+AC=BF. 第2页共17页 【对应练习2】(25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, AB=5,D、E分别是BC、AB上的动点，连接AD、DE,则AD+DE的最小值为 B 【对应练习3】(25-26八年级上·四川南充·期中)如图，在△ABC中，D为边AC的中点，过点D作DE1AC, 交∠ABC的平分线于点E,过点E作EF1BC于点F.若AB=5,BC=9,求CF的长. 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·广东深圳·期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE1AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. B (1)证明：AD垂直平分EF; (2)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 第3页共17页 【对应练习1】(25-26八年级下·广东佛山·阶段检测)如图，在△ABC中，直线垂直平分边BC,分别 交AC,BC于点D,E,连接BD D B (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为一一： (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平分线上， 并说明理由. 【对应练习2】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上的一 点，DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,BM=CN. M B 0 (1)求证：AD平分∠BAC; (2)连接MN,求证：AD垂直平分MN. 第4页共17页 【对应练习3】(25-26八年级上·四川成都·期中)如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E 在直线BC上（点E不与点B,C重合），连接DE,过点D作DF L DE交直线AC于点R,连接EF (F A B B E 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点F与点A重合时，求线段EF与BE的数量关系： (2)如图2，当点F不与点A重合时，求线段AF,EF,BE之间的数量关系，并说明理由： (3)若AC=5,BC=3,EC=1,求线段AF的长 【压轴考点03】角平分线的性质定理★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE1AB 于点E,DF1BC于点F,AG是△ABC的高，交BC于点G.已知：DE=3,AB=6,BC=8. E D B G (1)求DF的长： (2)求AG的长. 第5页共17页 【对应练习1】己知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE,∠DBM=∠DAN,DML BE 于M,DN⊥AC于N. ■ M E (1)求证：△BDM≌△ADN; (2)若AC=7,BC=3,则CM的长=_· 【对应练习2】(25-26七年级下·河南郑州·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=12,BM 为∠ABC的平分线，交AC于点M,过点M作MN1BM,垂足为点M,交AB于点N,点P,Q分别为MN,AM上 一个动点，则AP+PQ的最小值为( A.4 B.6 C.8 D.10 【对应练习3】(25-26八年级上·湖南常德·期末)某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在 锐角△ABC中，AB<AC,AD是∠BAC的平分线，DM,DN分别是△ABD,△ACD的高，E是边DC上一点， 且DE=DB,F是边AC上一动点（不包括两端点），连接FE,FD,老师安排了两个不同的任务. MA D E D D 1 图2 图3 【问题提出】 (1)填空：DMDN;(填“>”“=”或“<”) 第6页共17页 【问题探究】 (2)任务一：如图2，若∠FEB=∠B.求证：∠AFD=∠EFD: (3)任务二：如图3，AB=6,BM=2,DN=4,若∠FEB+∠B=180°，试说明∠AFD=∠EFD;此 时，点E关于DF的对称点E'落在边AC上，连接DE',求△AE′D的面积. 【压轴考点04】角平分线的判定定理★★★ 【典例精讲】如图，在△ABD和△ACE中，AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90. B (1)求证：△ACD兰△AEB; (2)∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由 【对应练习1】(24-25八年级上·江西吉安·期中)解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE1OA于点E,PF1OB于点F,且PE=PF,求证：点P 在∠AOB的平分线上： y E B 图1 第7页共17页 (②)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F,BE=FC. 图2 ①求证：AD平分∠BAC; ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 【对应练习2】(25-26八年级上·江西上饶·阶段检测)在平面直角坐标系中，己知点A(a,0)在x轴的负 半轴上，点B(0,b)在y轴的正半轴上， B B 图1 图2 (1)如图1，过点B作BC1AB,且BC=AB,连接AC,点C在第一象限，若实数a、b满足：a+2+Vb-4=0, 请直接写出点A、BC的坐标： (2)如图2，在x轴上一点M(b,O),MN1AB于点N,连接ON,求证：NO平分∠ANM; 第8页共17页 【对应练习3】在△ABC中，点DE分别在AB、AC边上，连接DE、CD,EF L CD于F,且DF=CF. H G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：DE=CE: (2)如图2，若∠AED=∠ABC,EG L BC于G,连接BE交CD于H,求证：∠ABE=∠CBE: (3)如图3，在(2)的条件下，若BC=6CG,DH=4,求HF的长. 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上河北邢台期末)计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥PQ, 小路AB与MN,PQ均相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,PQ的距离相等，关于如图 所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是( M M B C 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 第9页共17页 【对应练习1】(25-26八年级上·浙江金华·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=15cm,BC=14cm, AC=13cm: B D B E D 图1 图2 (1)如图1，当AD为△ABC中BC边上的高线时，求AD的长； (②)如图2，当AE为△ABD的角平分线时，求DE的长， 【对应练习2】(25-26八年级上·北京·期中)己知点A和两条相交直线0P,0Q,点A不在这两条直线上.作 -条经过点A的直线l,交直线OP于M,交直线OQ于N.若A,M,N这三点之中，有一点是另两点所连线段 的中点，则称为关于这个中点的“好线” 图1 图2-1 图2-2 (1)如图1，已知点A在∠P0Q的平分线上，若为关于点A的“好线”，则∠OAM的度数是_一一： (2)如图2，已知点A不在∠P0Q的平分线上. ①怎样画出一条关于点N的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足AN=MN,如图2-1， 那么可以在图中构造出一个以A为顶点、且与△MON全等的三角形.由此小明发现了画关于点N的“好线” 的一种方法 第10页共17页 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点N的“好线”的方法.写出画图步骤，再证明此时W是AM 的中点： ②在图2-2中画关于点A的“好线”并写出画图步骤.结论不需证明. (注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1步骤3的写法. 【对应练习3】(25-26八年级上·福建厦门·期末)如图，在△ABC中，AB=5,AD1BC于点D,CD=2, ∠BAD=2∠CAD,将△ABC沿着AD折叠，若点B恰好落在射线BC上的点E处，则△ACE的面积为一-一· B D 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(25-26八年级下·辽宁辽阳·期末)如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC 于点E,连接BE,若AB=4,AC=8,则△ABE的周长为( ) B D A.8 B.10 C.12 D.16 2.(25-26八年级上·四川南充·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：① 以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点：②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为 半径作弧，两弧相交于点P;③作射线BP,交AC于D点.若AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的长为 第11页共17页 B A.3 B.5 c.9 D.6 3.(25-26八年级上·安徽准南·期末)如图，在锐角△ABC中，BC=4,S△4Bc=14,分别以A、C为圆 心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN.若D为BC边上的一个动点，E为直线MN 上的一个动点，则CE+DE的最小值是( ) M D A.7 B.9 C.12 D.14 4.(25-26七年级下·山东菏泽·期末)如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取AM,AN, 使AM=AW,分别以点M,N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接射线AP与BC相交于 点D,过点D作DE L AC于点E.若DE=2,则△ABC的面积为()· A.10 B.9 C.8 D.7 5.如图，直线AB II CD,E,F分别在AB,CD上，EP平分∠FEB,FP平分∠EFD,过点P的直线与直线AB, CD分别交于点M,N(不与点E,F重合). 有以下结论： ①EP⊥FP;②PM=PN;③EF=EM+FN; 上述结论中，所有正确结论的序号是( 第12页共17页 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 6.(25-26七年级下·河北张家口·期末)如图，△ABC的边BC的长为3cm,面积为12cm2,AB边的垂 直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值为 cm. 7.(25-26七年级下·辽宁铁岭·期末)已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A、B为圆心，以大于AB 为半径作弧，两弧相交于MN;作直线MN交BC于点D,连接AD,DE平分∠ADC,交AC于点E,BD=6,△ADE 的面积为12，则EC的长为 W 8.(25-26七年级下·重庆·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上的点，连接CE,点B 关于CE的对称点D恰好是AC中点，连接BD,ED,若BC=6,则点E到BC的距离为 B 9.(25-26七年级下·辽宁锦州·期末)如图，在△ABC中，AD1BC,1是AC边的中垂线，点E是直线 1上动点.点F是直线AB上动点，当AB=5,AD=3,BC=11时，则AE+EF的最小值为 第13页共17页 D 10.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，经过已知直线AB外一点C,试利用尺规作图，按下列作法 准确地作出直线AB的垂线， 10 N B (1)以点C为圆心、适当长（大于点C到直线AB的距离）为半径作弧，交直线AB于M、N两点： (2)分别以点M、N为圆心，相同长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，两弧相交于点P: (3)作直线CP,交AB于点O,顺次连结C、M、P、N. 直线CP就是所要求作的垂线 给出以下四个结论：①∠COM=90°；②点M与点N关于直线CP对称：③若CM=2MP,则四边形CMPN的 周长为6PW;④四边形CMPN的面积为CP·MN. 以上结论正确的序号为 11.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，已知∠ADE=∠ADF,DE1AB,DF1AC,垂足分别为点 E和点F,BE=CF.求证：AB=AC. 第14页共17页 12.(25-26七年级下·江西吉安·期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，连接AE,BD 交于点F,且BD垂直平分AE,连接DE. D G (1)若∠ABC=30°，∠C=50°，求∠CDE的度数： (2)若△ABC的周长为30，△DEC的周长为10，求AB的长. 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE,BE,BE L AE,延长AE交BC的延长线于 点F.求证： (1)AD=FC; (2)BE是AF的垂直平分线： (3)猜想：线段AB,BC,AD之间关系，并说明理由. 第15页共17页 14.(25-26七年级下·山东泰安·期末)在△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线 上的一点，CE=CD,F为CB边上一点，EFI射线AD于点K,过点D作直线DG 1 AB于G,交EF于点H,作∠AGD 的角平分线交AD于M,过点M作AB的平行线，交DG于点O,交BC于点Q,交EF于点N,MO=NO. M D B (1)求证：∠DHK=∠BAK; (2)求证：MD=EH+NF. 第16页共17页 15.(25-26七年级下·山东青岛·期末)己知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°， 求证：AD=DC. E A D B B E E 图① 图② 图③ (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连接DE, 请按小明的思路进行证明 (②)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE…请按小刚的思路进 行证明. (3)如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE⊥BC, 垂足为点E,探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由. 第17页共17页 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 线段的垂直平分线和角平分线 【思维导图+五大考点讲练+思维拓展训练 共35题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质 2 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定 3 【压轴考点03】角平分线的性质定理 5 【压轴考点04】角平分线的判定定理 7 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用 9 【压轴考点01】线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【对应练习1】已知，如图，平分，交的垂直平分线于E，于F． (1)点E到的距离___________（填，或） (2)求证：． 【对应练习2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【对应练习3】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【压轴考点02】线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【对应练习1】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【对应练习2】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【对应练习3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接． (1)如图1，当点F与点A重合时，求线段与的数量关系； (2)如图2，当点F不与点A重合时，求线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，求线段的长． 【压轴考点03】角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【对应练习1】已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【对应练习3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【压轴考点04】角平分线的判定定理 【典例精讲】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【对应练习1】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【对应练习2】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． (1)如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； 【对应练习3】在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【压轴考点05】角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【对应练习1】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，： (1)如图1，当为中边上的高线时，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 【对应练习2】（25-26八年级上·北京·期中）已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【对应练习3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 3．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 5．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 7．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 9．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 12．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 13．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 14．（25-26七年级下·山东泰安·期末）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 15．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null