1.4 线段的垂直平分线与角平分线(讲义，2大知识15大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形中线段垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理定义、性质、判定及三角形外心、内心等内容，通过尺规作图、基础计算、综合证明等题型构建从概念到应用的递进学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”为特色，结合实际问题（如口袋公园凉亭选址）培养几何直观（数学眼光），通过性质与判定区分训练推理能力（数学思维），规范几何书写强化数学语言。课中助力教师系统授课，课后学生可分层练习查漏补缺。

第一章 三角形 1.4 线段的垂直平分线与角平分线 课标要点 1.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，理清因果逻辑。 2.熟练尺规作线段垂直平分线、角平分线，理解作图原理。 3.运用两大定理计算边长、角度，结合全等完成简单证明。 4.解决模型、作图、最短路径综合题型，规范几何书写。 学习重难点 重点： 1.线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理。 2.标准尺规作图步骤与作图依据。 3.直接套用定理进行基础计算与证明。 难点： 1.区分性质、判定，避免因果颠倒。 2.作辅助线、挖掘内心 / 外心隐藏条件。 3.结合将军饮马、全等的几何综合题。 4.应用题区分 “到两点等距”“到两边等距” 作图要求。 知识点一 线段垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的________并且_______于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离_______. （利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题） 2）三角形三边的____________的交点又称三角形的外心. 特别提醒 1）线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 2）线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的长是___． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知的周长为，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，则的周长为___． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C．D． 知识点二 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离_______． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离________的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 特别提醒 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型01 利用垂直平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 题型02 利用垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为_______． 题型03 利用垂直平分线的性质求最值 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 题型04 垂直平分线的判定 解题贴士 根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系，并说明你的理由． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 题型05 尺规作垂直平分线 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，请在上找一点，使得．（尺规作图，不写作法，保留痕迹） 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 题型06 垂直平分线判定与性质综合 解题贴士 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，连接，且． (1)求证：平分． (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，于点F，连接，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：垂直平分． 题型07 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 题型08 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为______． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线与的平分线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型09 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，的面积是，则的长为（） A．2 B．1 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，是的中线，若的面积是10，，，则的面积是_______． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______． 题型10 利用角平分线的性质求最值 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，连接，若，，点是边上一动点，则长的最小值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值________． 题型11 角平分线/垂直平分线性质的实际应用 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路两处劳动（如图），使P到的距离相等，且使．请找出点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹） 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 3．（21-22八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 题型12 角平分线的判定 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，证明的外角的平分线的交点在的平分线上． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    题型13 角平分线的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 例13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是，的角平分线的交点，是，外角的角平分线的交点， (1)点在的角平分线上吗？为什么？ (2)求证：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，E是的中点，平分．求证：平分．（提示：过点E作，垂足为F．） 题型14 与角平分线的有关的热考模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知的面积为，平分，且于，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，P是平分线上一点，交于，于D，若，则___________． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是，，则的周长为（　 ） A．9 B．15 C．21 D．24 题型15 垂直平分线与角平分线综合 典｜例｜精｜析 例15．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多，的面积为，则三角形的面积为多少？ 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分，垂直于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（   ） A．B．C．D． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 9（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（   ） A．P B．A C．N D．M 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，若和的面积分别为56和40，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．4 D．6 2．（河南省周口市西华县2025-2026学年上学期期中八年级数学统考试卷）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则______． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作直线分别交，于点E，F，且，若，，，则的周长为__________． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，的面积为10，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段上一动点，是的中点，连接，，则周长的最小值为_________． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.4 线段的垂直平分线与角平分线 课标要点 1.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，理清因果逻辑。 2.熟练尺规作线段垂直平分线、角平分线，理解作图原理。 3.运用两大定理计算边长、角度，结合全等完成简单证明。 4.解决模型、作图、最短路径综合题型，规范几何书写。 学习重难点 重点： 1.线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理。 2.标准尺规作图步骤与作图依据。 3.直接套用定理进行基础计算与证明。 难点： 1.区分性质、判定，避免因果颠倒。 2.作辅助线、挖掘内心 / 外心隐藏条件。 3.结合将军饮马、全等的几何综合题。 4.应用题区分 “到两点等距”“到两边等距” 作图要求。 知识点一 线段垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 小结：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. （利用此性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题） 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 特别提醒 1）线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 2）线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，，则的长是___． 【答案】6 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，即垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．先根据是边的垂直平分线结合，得出的值，再根据求解即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知的周长为，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，则的周长为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据的周长为，，可得：，由垂直平分线的性质可知，可得的周长为． 【详解】解：的周长为， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是角平分线的作图，不能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是垂直平分线的作图，能确定． 故选：D． 知识点二 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 特别提醒 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（    ） A．24 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，关键是利用角平分线的性质得到点到和的距离相等，再求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 【详解】解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 题型01 利用垂直平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行计算即可． 【详解】垂直平分，， ， ， ． 故选． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 题型02 利用垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线性质，等边对等角，由三角形内角和定理可得，又，所以，通过垂直平分得，最后由等边对等角即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接、、，设直线m交于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得到、，进而得到是线段的垂直平分线，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据和，得到，则，从而得出的度数． 【详解】解：连接、、，设直线m交于点D，如图： 设 直线m，n分别是、的垂直平分线 、 、 是线段的垂直平分线 解得 故答案为：． 题型03 利用垂直平分线的性质求最值 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及两点之间线段最短的原理；连接，由垂直平分线的性质可得，将的周长进行转化，即可求解． 【详解】如图，连接， 由垂直平分线的性质可知：， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在等边中，边上的高是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，则，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，是边上的中线，F是边的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、F、E三点共线时，， 即的最小值为． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型04 垂直平分线的判定 解题贴士 根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定. 根据证明，可得，，即可得证垂直平分． 【详解】解：在和中， ， ∴； ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，理由见解析 【分析】（1）根据证明，即可得； （2）由可得，，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及线段垂直平分线的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：是线段的垂直平分线，理由如下： ， ，， 和都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，的角平分线，相交于点O． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型05 尺规作垂直平分线 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；. （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，请在上找一点，使得．（尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 作线段的垂直平分线交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质，，再根据“等边对等角”得． 【详解】解：如图，点即为所求． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键 （1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求： （2）解：连接， ∵为的角平分线∶ ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 题型06 垂直平分线判定与性质综合 解题贴士 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 典｜例｜精｜析 例6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． （1）连接，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明； （2）由含度角的直角三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： 垂直平分， ， ，点是的中点， 垂直平分， ， ． （2）解：∵，，， ， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，连接，且． (1)求证：平分． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，则，再根据角平分线的判定定理即可求出答案； （2）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得，由，可得，再根据角之间的关系即可求出答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， 又， ， 于点， 平分； （2）解：，， ， 又， ， ， ． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，于点F，连接，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形全等判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． （1）根据，求得，再根据是的垂直平分线，可得，推出，由即可求解； （2）由（1）知，得到平分，再根据，易证，易证，推出，结合，证明，推出，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 题型07 利用角平分线的性质求长度 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点D作，根据角平分线的性质得出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作分别垂直于，垂足分别为E、F、G，连接， ∵，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，平分，，交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 题型08 利用角平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形的内角和为即可求出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定； 根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵是的平分线，，垂足为点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，的垂直平分线与的平分线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作，证明，得到，进而得到，根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∵的垂直平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 题型09 利用角平分线的性质求面积 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质；过点作， 交于点，根据角平分线的性质可得和， 再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明， 求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解： 如图， 过点作， 交于点， 如图所示： 由条件可知， ， ∵， ， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的面积是 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，的面积是，则的长为（） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作图复杂作图，熟知以上知识是解题的关键． 过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图， 由作图可知是的角平分线， ， ， ， 的面积是， ， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，是的中线，若的面积是10，，，则的面积是_______． 【答案】32 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质、中线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．作于点F，于点H，由平分，得，由是的中线，的面积是10，得，所以，而，且，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点F，于点H， ∵平分， ∴， ∵是的中线，的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形中线的性质和角平分线的性质．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线， ∵为中点， ∴，， 设，则， 则， 故答案为：． 题型10 利用角平分线的性质求最值 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，连接，若，，点是边上一动点，则长的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键；由题意易得，过点D作于点E，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即平分， 过点D作于点E，如图所示： ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：长的最小值为3； 故答案为3． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．   ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 题型11 角平分线/垂直平分线性质的实际应用 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路两处劳动（如图），使P到的距离相等，且使．请找出点P的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线及线段垂直平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，又，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点P应是的平分线与的垂直平分线的交点．据此解答即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线；作的角平分线交的垂直平分线于点P；如图 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤． 根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 3．（21-22八年级下·河南郑州·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）． 【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．    （2）如图2所示（答案不唯一）．    【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 题型12 角平分线的判定 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，证明的外角的平分线的交点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．作的平分线，相交于点，过点作于点，于点，于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【详解】证明：如图，作的平分线，相交于点，过点作于点，于点，于点， ∵平分，， ∴， 同理得， ∴， ∴平分， ∴的外角的平分线的交点在的平分线上． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质．证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 即平分． 题型13 角平分线的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 例13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 【答案】(1)40 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，即可证明平分； （3）由三角形面积公式得到，即可求出的出，即可求出△ABE的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过E作于M，于N， ，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：3． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是，的角平分线的交点，是，外角的角平分线的交点， (1)点在的角平分线上吗？为什么？ (2)求证：． 【答案】(1)点在的角平分线上，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质定理得到，，则，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）根据角平分线的定义以及角的和差得到，再利用四边形的内角为即可证明． 【详解】（1）解：点在的平分线上，理由如下： 如图，作于点，作于点，作于点， ∵是，外角的角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上； （2）证明：∵平分，平分的外角， ∴，， ∴ ， 同理可得，， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，E是的中点，平分．求证：平分．（提示：过点E作，垂足为F．） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定定理，过点E作，垂足为F，由角平分线的性质得到，再由线段中点的定义推出，则由角平分线的判定定理可证明结论． 【详解】证明；如图所示，过点E作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． 题型14 与角平分线的有关的热考模型 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知的面积为，平分，且于，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质和全等三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，三角形中线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 通过延长交于点，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出面积关系求解． 【详解】解： 延长交于点， 平分， ， 又， ， 在与中， , ． , ，， 又， , , ． 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，P是平分线上一点，交于，于D，若，则___________． 【答案】16 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， 是平分线上一点，， ， ， ， 故答案为：16． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是，，则的周长为（　 ） A．9 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形周长的计算，通过证明等腰三角形，将的周长转化为即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ． 故选：B． 题型15 垂直平分线与角平分线综合 典｜例｜精｜析 例15．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多，的面积为，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角平分线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分，垂直于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线，三角形的内角和定理 ，等腰三角形的定义及性质； （1）根据题意得到，，，再结合计算求解即可． （2）根据题意得到，求出点A和D都在线段的垂直平分线上，即可证明结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵平分，垂直， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴ ， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识点，是做题的关键．根据线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，则， ∴ A正确，故不符合题意； ∵点P到线段两个端点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上， ∴ B正确，故不符合题意； ∵ 角平分线的判定要求点到和的垂直距离相等，但选项C中和是点到和上点M、N的距离，不一定垂直， ∴ 不能推出是的平分线， ∴ C错误，故符合题意； ∵是的平分线，P是上一点，则点P到、的距离相等， ∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，分别是的边、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为 故选：C 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点P在的平分线上（不与点O重合），于点C，，若D是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到的距离为3，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，，， ∴点P到边的距离等于3， ∴点P到的距离为3， ∵点D是边上的任意一点， ∴的最小值为3，即． 故选：D． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是3，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是3， ∴点的坐标为， 故选：D． 9（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； 的周长，故②正确； 和不一定相等，故不一定等于，故③错误； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（   ） A．P B．A C．N D．M 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【详解】解：由图形可知，点M在的角平分线上，点A、P、N不在的角平分线上， 所以点M到两边距离相等， 故选：D． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，若和的面积分别为56和40，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，同理可得，从而可得，再由，计算即可得，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵和的面积分别为56和40， ∴， ∴， 故选：A． 2．（河南省周口市西华县2025-2026学年上学期期中八年级数学统考试卷）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解:由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：C． 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作直线分别交，于点E，F，且，若，，，则的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质．连接，过点D作于点H，于点K，于点P，根据角平分线性质得，由此可依据“”证明，得，设，则，同理证明，，同理证明，，进而得，则是等边三角形，由此得，，同理证明，得，根据得，由此解得，在中，根据得，则，据此即可得出的周长． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，于点K，于点P， ∴，，， ∵和的平分线相交于点D， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 同理证明：， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 同理证明：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴的周长为：． 故答案为：24． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，的面积为10，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段上一动点，是的中点，连接，，则周长的最小值为_________． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，线段垂直平分线的性质，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，于是可得出当位于与的交点时，最小，最小值为，再利用三角形面积求出，从而可求得周长的最小值． 【详解】解：连接交于点，连接，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当位于与的交点时，最小，最小值为， 在中，，为中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴周长的最小值为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”． (1)如图1，三角形内角分别为，这个三角形_____（填“存在”或“不存在”）“准黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条“准黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可解答； （2）设，则，分别证明和都是等腰三角形，即可解答； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 这个三角形存在“准黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：如图2，设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 和都是等腰三角形， 是的一条“准黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ， 是一个“准黄金三角形”， 和都是等腰三角形， ， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ， ， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，，， ， ， ， ， ， ； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，， ， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $