专题 1.1（1） 三角形中的线段和角 讲义- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“三角形中的线段和角”核心知识点，系统梳理三角形概念、边与对角关系、三边关系、中线/角平分线/高的定义及应用，延伸垂心/重心/内心等拓展内容，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为框架，精选各地阶段检测真题设计例题与变式，通过“大边对大角证明”“中线求面积”等题型培养推理意识与几何直观，同步检测分层设置选择、填空、解答题，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题 1.1（1） 三角形中的线段和角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的概念 1 【题型 1】三角形的概念 2 【知识点二】三角形中的边和对角关系 3 【题型 2】三角形中的边和对角 3 【知识点三】三角形三边关系 4 【题型 3】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 5 【题型 4】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 5 【知识点四】三角形中线、角平分线、高 6 【题型 5】利用三角形中线、角平分线、高求值 6 【题型 6】三角形中线、角平分线、高画法 7 二.综合培优题型精析 8 【知识点五】三角形的垂心、重心、内心（拓展延伸） 8 【题型 7】理解垂心、内心、重心 9 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 10 【题型 9】三角形中线、角平分线、高线综合 11 三.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的概念 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【知识点二】三角形中的边和对角关系 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.（简称“大边对大角,大角对大边”） 【题型 2】三角形中的边和对角 【例题2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【知识点三】三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 3】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 【例题3】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． （3）已知、、为三角形三边，化简：． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为大于6的偶数，求的周长． 【题型 4】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： （1）已知在中，，，求第三边的取值范围． （2）已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【知识点四】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 【题型 5】利用三角形中线、角平分线、高求值 【例题5】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． （1）点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． （2）画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 【题型 6】三角形中线、角平分线、高画法 【例题6】（23-24七年级下·上海·阶段检测）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【变式1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知（如图），按下列要求画图： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； 二.综合培优题型精析 【知识点五】三角形的垂心、重心、内心（拓展延伸） 分类 定义 示图 垂心 三角形三条高线交于同一点，这一点叫作三角形的垂心。 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 内心 三角形三条角平分线交于同一点，这一点叫作三角形的内心。 【题型 7】理解垂心、内心、重心 【例题7】（23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． （1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． （2）点G是三角形 的垂心． （3）点A是三角形 的垂心． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 【例题8】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【变式2】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，的面积等于是中线，请分别求出和的面积． （2）你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？ 【题型 9】三角形中线、角平分线、高线综合 【例题9】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… （1）请你接着完成丽丽的探究过程； （2）如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，3 C．3，6，12 D．6，8，10 2．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 3．（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 6．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 7．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 8．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 10．（2026·河北唐山·二模）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 12．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 15．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将三角形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若的面积为，则________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． （1）求的取值范围； （2）若，求的长度． 18．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 19．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 20．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： （1）若，求x、y的值； （2）已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出______，______，______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1（1） 三角形中的线段和角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形的概念 1 【题型 1】三角形的概念 2 【知识点二】三角形中的边和对角关系 4 【题型 2】三角形中的边和对角 4 【知识点三】三角形三边关系 7 【题型 3】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 7 【题型 4】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 9 【知识点四】三角形中线、角平分线、高 11 【题型 5】利用三角形中线、角平分线、高求值 11 【题型 6】三角形中线、角平分线、高画法 14 二.综合培优题型精析 17 【知识点五】三角形的垂心、重心、内心（拓展延伸） 17 【题型 7】理解垂心、内心、重心 17 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 20 【题型 9】三角形中线、角平分线、高线综合 23 三.同步检测 27 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 31 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 36 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的概念 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【答案】（1）5；，，，，；，，；，；（2）；；；（） 【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素． （1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形． （2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角． 解：（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． （2）在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 解：以为角的三角形是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】（1）的三个内角是：，，；（2）；；（3）6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 解：（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【知识点二】三角形中的边和对角关系 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.（简称“大边对大角,大角对大边”） 【题型 2】三角形中的边和对角 【例题2】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 解：证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 解：证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点三】三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 3】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 【例题3】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． （3）已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】（1）12；（2）等腰三角形；（3） 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行周长计算即可； （2），即可判断三角形形状； （3）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 解：（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：， 是等腰三角形． （3）解：根据三角形的三边关系得： ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 解：选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 解：从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为大于6的偶数，求的周长． 【答案】（1）；（2）的周长为． 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的周长，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据构成三角形的条件得到，求解即可； （2）根据题意可得，即可求解． 解：（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：∵，c的长为大于6的偶数， ∴， ∴的周长． 【题型 4】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 【答案】第三根木条长度大于且小于 【分析】三角形第三边的长度应该大于另两边长之差小于另两边长之和． 解：∵一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架， ∴第三根木条应大于，小于， 即第三根木条长度大于且小于． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出答案． 解：∵在中，，，， ∴， ∴． 在数轴上表示为： ． 【变式2】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： （1）已知在中，，，求第三边的取值范围． （2）已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 解：（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 【知识点四】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 【题型 5】利用三角形中线、角平分线、高求值 【例题5】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． （1）点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． （2）画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】（1），3；（2）图见分析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 解：（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 【题型 6】三角形中线、角平分线、高画法 【例题6】（23-24七年级下·上海·阶段检测）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 解：如图为中线， 为角平分线，为高 【变式1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 解：根据题意得：， ∴是的高线． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知（如图），按下列要求画图： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据三角形中线的定义，连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线．取的中点D，然后连接即可； （2）根据角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线．以D为顶点作角平分线，使平分交于M点； （3）根据三角形高的画法，过C点作于N点． 解：（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作； 二.综合培优题型精析 【知识点五】三角形的垂心、重心、内心（拓展延伸） 分类 定义 示图 垂心 三角形三条高线交于同一点，这一点叫作三角形的垂心。 重心 三角形三条中线交于同一点，这一点叫作三角形的重心。 内心 三角形三条角平分线交于同一点，这一点叫作三角形的内心。 【题型 7】理解垂心、内心、重心 【例题7】（23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． （1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． （2）点G是三角形 的垂心． （3）点A是三角形 的垂心． 【答案】（1）或或；（2）；（3） 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 解：（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 【例题8】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分，据此求解即可． 解：∵是的中点，即是的中线， ∴， ∵是中点，即是的中线，是的中线， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，的面积等于是中线，请分别求出和的面积． （2）你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？ 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积． （1）由中线的定义可得，设中边上的高为h，再根据三角形面积公式即可求解； （2）在三角形中，把其底边平均分成二等份，四等份，三等份，再把等分点与对角的点相连即可． 解：（1）中，是中线， ， 设中边上的高为h， 则， ， 即 （2）根据（1）的计算过程知，可以将一个三角形分成面积相等的两部分，只需作其中一边的中线即可．如图所示： 同理，可以将一个三角形分成面积相等的四部分，只需将一边平均分成4等份，将四等分点分别与此边相对的顶点相连即可．如图所示： 由上可知，可以将一个三角形分成面积相等的三部分，只需将一边平均分成3等份，将三等分点分别与此边相对的顶点相连即可．如图所示： 【题型 9】三角形中线、角平分线、高线综合 【例题9】（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… （1）请你接着完成丽丽的探究过程； （2）如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型． （1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可． （2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可． 解：（1）根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ， E是的中点， ， ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·重庆万州·期中）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，3 C．3，6，12 D．6，8，10 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系判定，即三角形任意两边之和大于第三边，只需判断每组中较小两边的和是否大于最大边，即可得出结论． 解：A、∵，∴2，3，4能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵，∴5，3，3能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵，∴3，6，12不能组成三角形，该选项符合题意； D、∵，∴6，8，10能组成三角形，该选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 解：由题意得： ， 故选：． 6．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 8．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 10．（2026·河北唐山·二模）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再选取范围内的整数即可． 解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 化简得． 因为为整数， 所以在内的整数均满足条件， 此处取． 故答案为（答案不唯一）． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【答案】13 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为130，， ∴， 解得， 故中边上的高为13． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 14．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将三角形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若的面积为，则________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，又根据三角形中线的性质得，进而可得 ，由于这两个三角形的高相同，进而可得． 本题考查了折叠的性质和三角形中线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：根据折叠的性质可得， 又∵F点是边的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 又∵与的高相同， ∴， ∴， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． （1）求的取值范围； （2）若，求的长度． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 18．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见分析 【分析】先证明，再根据平行的性质和等量代换证明，再根据证明，即可得到结论． 解：证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 19．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 【答案】小亮的说法正确．图见分析 【分析】能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线．作线段的中垂线，得到的中点，进而可画出中线． 解：小亮的说法正确．作图如下： 理由：由作图知，点E为的中点， ， 设点A到的距离为h， 则， ． 20．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： （1）若，求x、y的值； （2）已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出______，______，______． 【答案】（1），；（2），，或3 【分析】（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果； （2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可； 解：（1）解： ∴， 解得：，； （2）解： ∴， 解得， ∴，即 又∵c是中最短边的边长，且c为整数 ∴或3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $